2. Ders

matematik

Konu: "Matematiksel kavramlar"

matematiksel kavramlar

kavramların tanımı

Kavramların tanımı için gereklilikler

Bazı tanım türleri

1. Matematiksel kavramlar

Matematiğin ilk dersinde işlenen kavramlar genellikle dört grup halinde sunulur. İlki sayılarla ilgili kavramları ve bunlarla ilgili işlemleri içerir: sayı, toplama, terim, daha fazlası vb. İkincisi cebirsel kavramları içerir: ifade, eşitlik, denklem vb. Üçüncüsü geometrik kavramları içerir: düz çizgi, doğru, doğru, üçgen vb. d. Dördüncü grup, nicelikler ve bunların ölçülmesi ile ilgili kavramlardan oluşur.

Çeşitli kavramların bu kadar bolluğu nasıl çalışılır?

Her şeyden önce, mantıksal bir kategori olarak kavram ve matematiksel kavramların özellikleri hakkında bir fikre sahip olunmalıdır.

Mantıkta kavramlar, nesneleri (nesneler veya fenomenler) temel ve genel özelliklerinde yansıtan bir düşünce biçimi olarak kabul edilir. Bir kavramın dilsel biçimi bir sözcük veya bir sözcük grubudur.

Bir nesne hakkında kavram oluşturmak, onu ona benzer diğer nesnelerden ayırt edebilmek demektir. Matematiksel kavramların bir takım özellikleri vardır. Asıl olan, hakkında bir kavram oluşturmanın gerekli olduğu matematiksel nesnelerin gerçekte var olmamasıdır. Matematiksel nesneler insan zihni tarafından yaratılır. Bunlar, gerçek nesneleri veya fenomenleri yansıtan ideal nesnelerdir. Örneğin, geometride nesnelerin şekli ve boyutu, diğer özellikleri dikkate alınmadan incelenir: renk, kütle, sertlik vb. Bütün bunlardan dikkatleri dağılır, soyutlanırlar. Bu nedenle geometride "nesne" yerine "nesne" derler. geometrik şekil».

Soyutlamanın sonucu da "sayı" ve "değer" gibi matematiksel kavramlardır.

Genel olarak, matematiksel nesneler yalnızca insan düşüncesinde ve matematiksel dili oluşturan işaret ve sembollerde bulunur.

Matematiğin uzamsal biçimlerini ve maddi dünyanın nicel ilişkilerini incelerken, matematiğin yalnızca çeşitli soyutlama yöntemlerini kullanmakla kalmayıp, soyutlamanın kendisinin de çok aşamalı bir süreç olarak hareket ettiği söylenebilir. Matematikte, yalnızca gerçek nesnelerin incelenmesinde ortaya çıkan kavramlar değil, aynı zamanda birincisi temelinde ortaya çıkan kavramlar da dikkate alınır. Örneğin, Genel kavram yazışma olarak işlevler, belirli işlev kavramlarının genelleştirilmesidir, yani. soyutlamalardan soyutlama.

İlk matematik dersinde kavramların incelenmesine yönelik genel yaklaşımlarda ustalaşmak için, öğretmenin kavramın kapsamı ve içeriği, kavramlar arasındaki ilişki ve kavramların tanım türleri hakkında bilgiye ihtiyacı vardır.

2. Kavramın kapsamı ve içeriği. kavramlar arasındaki ilişkiler

Her matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin, bir karenin dört kenarı vardır, dört dik açı köşegenine eşittir. Diğer özellikleri de belirtebilirsiniz.

Bir nesnenin özellikleri arasında, temel ve zorunlu olmayan ayırt edilir. Bir özellik, bir nesnenin doğasında varsa ve onsuz var olamazsa, bir nesne için gerekli kabul edilir. Örneğin bir kare için yukarıda sayılan özelliklerin tümü esastır. "AD kenarı yataydır" özelliği ABCD karesi için gerekli değildir. Kare döndürülürse, AD tarafı farklı şekilde yerleştirilecektir (Şek. 26).

Bu nedenle, belirli bir matematiksel nesnenin ne olduğunu anlamak için, onun temel özelliklerini bilmek gerekir.

Matematiksel bir kavramdan bahsederken, genellikle bir terimle (bir kelime veya bir kelime grubu) belirtilen bir dizi nesneyi ifade ederler. Yani, bir kareden bahsetmişken, kare olan tüm geometrik şekilleri kastediyorlar. Tüm kareler kümesinin "kare" kavramının kapsamı olduğuna inanılmaktadır.

Genel olarak Bir kavramın kapsamı, tek bir terimle gösterilen tüm nesnelerin kümesidir.

Herhangi bir kavramın yalnızca kapsamı değil, içeriği de vardır.

Örneğin, bir "dikdörtgen" kavramını düşünün.

Kavramın kapsamı bir dizi farklı dikdörtgendir ve içeriği dikdörtgenlerin “dört dik açıya sahip olması”, “eşit karşıt kenarları olması”, “eşgen köşegenleri olması” vb.

Bir kavramın hacmi ile içeriği arasında bir ilişki vardır: Bir kavramın hacmi artarsa ​​içeriği azalır ve bunun tersi de geçerlidir. Örneğin, "kare" kavramının kapsamı "dikdörtgen" kavramının kapsamının bir parçasıdır ve "kare" kavramının içeriği "dikdörtgen" kavramının içeriğinden daha fazla özellik içerir. ("tüm kenarlar eşittir", "köşegenler birbirine diktir" vb.). ).

Hiçbir kavram, diğer kavramlarla ilişkisi anlaşılmadan özümsenemez. Bu nedenle kavramların hangi ilişkilerde olabileceğini bilmek ve bu bağlantıları kurabilmek önemlidir.

Kavramlar arasındaki ilişkiler, hacimleri arasındaki ilişkilerle yakından ilişkilidir, yani. kümeler.

Kavramları Latin alfabesinin küçük harfleriyle adlandırmayı kabul edelim: a, b, c, ..., z.

a ve b kavramları verilsin. Hacimlerini sırasıyla A ve B olarak gösterelim.

Eğer bir B (A ≠ B), sonra diyorlar ki kavram a - konsepte göre özelB, ve kavram B- a kavramıyla ilgili genel.

Örneğin, a bir "dikdörtgen" ise, b bir "dörtgen" ise, A ve B hacimleri dahil etme ile ilişkilidir (A B ve A ≠ B), çünkü her dikdörtgen bir dörtgendir. Bu nedenle, "dikdörtgen" kavramının "dörtgen" kavramına göre özel, "dörtgen" kavramının ise "dikdörtgen" kavramına göre genel olduğu söylenebilir.

A = B ise, o zaman diyoruz ki kavramlar bir veBÖzdeş.

Örneğin, "eşkenar üçgen" ve "eşkenar üçgen" kavramları hacimleri aynı olduğu için aynıdır.

A ve B kümeleri bir içerme ilişkisi ile bağlı değilse, o zaman a ve b kavramlarının cins ve türlerle ilişkili olmadığını ve özdeş olmadıklarını söylerler. Örneğin, "üçgen" ve "dikdörtgen" kavramları bu tür ilişkilerle birbirine bağlı değildir.

Kavramlar arasındaki cins ve tür ilişkisini daha ayrıntılı olarak ele alalım. Birincisi, cins ve tür kavramları görecelidir: aynı kavram bir kavramla ilgili olarak türsel olabilir ve bir başka kavramla ilgili olarak tür olabilir. Örneğin, "dikdörtgen" kavramı, "kare" kavramına göre genel ve "dörtgen" kavramına göre özeldir.

İkincisi, için bu kavram birkaç genel kavram belirtmek çoğu zaman mümkündür. Dolayısıyla, "dikdörtgen" kavramı için "dörtgen", "paralelkenar", "çokgen" kavramları geneldir. Bunlar arasında size en yakın olanı belirtebilirsiniz. "Dikdörtgen" kavramına en yakın olanı "paralelkenar" kavramıdır.

Üçüncüsü, özel kavram, jenerik kavramın tüm özelliklerine sahiptir. Örneğin, bir "dikdörtgen" kavramına göre bir tür kavramı olan kare, bir dikdörtgenin doğasında bulunan tüm özelliklere sahiptir.

Bir kavramın kapsamı bir küme olduğu için, kavramların kapsamları arasında ilişkiler kurarken, onları Euler çemberleri kullanarak tasvir etmek uygundur.

Örneğin, aşağıdaki a ve b kavram çiftleri arasında bir ilişki kuralım, eğer:

1) a - "dikdörtgen", b - "eşkenar dörtgen";

2) a - "çokgen", b - "paralelkenar";

3) a - "düz çizgi", b - "segment".

1. durumda, kavramların hacimleri kesişir, ancak bir küme diğerinin alt kümesi değildir (Şekil 27).

Dolayısıyla bu a ve b kavramlarının cins ve türle ilgili olmadığı söylenebilir.

Durum 2'de, bu kavramların hacimleri dahil etme ile ilişkilidir, ancak çakışmaz - her paralelkenar bir çokgendir, ancak tersi değildir (Şekil 28). Bu nedenle, "paralelkenar" kavramının "çokgen" kavramına göre özgül olduğu ve "çokgen" kavramının "paralelkenar" kavramına göre genel olduğu söylenebilir.

Durum 3), kavramların hacimleri kesişmez, çünkü hiçbir parçanın düz bir çizgi olduğu söylenemez ve hiçbir düz çizginin bir parçası olarak adlandırılamaz (Şekil 29).

Dolayısıyla bu kavramlar cins ve tür ile ilgili değildir.

"Doğru çizgi" ve "segment" kavramları hakkında şu söylenebilir: bütüne ve parçaya ilişkindir: Segment, bir çizginin türü değil, bir parçasıdır. Ve eğer özel kavram, türsel kavramın tüm özelliklerine sahipse, o zaman parça, bütünün tüm özelliklerine sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, bir doğru parçasının sonsuzluğu gibi bir düz çizgi özelliği yoktur.

Daha genç bir öğrencinin temel matematiksel kavramlarının oluşumu

E.Yu. Togobetskaya, Pedagoji ve Öğretim Yöntemleri Anabilim Dalı yüksek lisans öğrencisi

Togliatti Pedagoji Üniversitesi, Togliatti (Rusya)

Anahtar Kelimeler: matematiksel kavramlar, mutlak kavramlar, göreceli kavramlar, tanımlar.

Dipnot: Okul uygulamasında birçok öğretmen, öğrencileri kavramların tanımlarını ezberlemeye zorlar ve kanıtlanması için temel özellikleri hakkında bilgi talep eder. Ancak, bu tür eğitimin sonuçları genellikle önemsizdir. Bunun nedeni, öğrencilerin çoğunluğunun okulda öğrenilen kavramları uygularken önemsiz işaretlere güvenirken, öğrencilerin kavramların temel işaretlerini yalnızca kavramın tanımını gerektiren soruları cevaplarken fark etmeleri ve yeniden üretmeleridir. Genellikle öğrenciler kavramları doğru bir şekilde yeniden üretirler, yani onun temel özelliklerine ilişkin bilgileri keşfederler, ancak bu bilgiyi pratikte uygulayamazlar, doğrudan deneyim yoluyla tanımlanan rastgele özelliklere güvenirler. Kavramların özümsenme süreci kontrol edilebilir, verilen niteliklerle oluşturulabilir.

anahtar kelimeler: matematiksel kavramlar, mutlak kavramlar, göreceli kavramlar, tanımlar.

Soyut: Okul uygulamasında birçok öğretmen, öğrencilerin kavramların tanımlarını öğrenmesinden ve onların temel ispatlanmış özellikleri hakkında bilgi taleplerinden elde eder. Ancak, bu tür eğitimin sonuçları genellikle önemsizdir. Bu, öğrencilerin çoğunluğunun okulda edindikleri kavramları uygulayarak önemsiz işaretlere yaslanmaları, kavramların temel işaretlerini ancak kavramın tanımlanmasını isteyen soruların cevaplarında fark etmeleri ve yeniden üretmeleri nedeniyle oluşur. Genellikle öğrenciler, kavramları açıkça yeniden üretirler, yani temel işaretlerinin bilgisini bulurlar, ancak bu bilgiyi uygulamaya koyamazlar, ilk elden bir deneyim sayesinde tahsis edilen rastgele işaretlere dayanamazlar. Kavramlara hakim olma süreci, işletmek, belirlenen niteliklerle biçimlendirmek mümkündür.

İlkokul öğrencileri bilimsel bilgide uzmanlaşırken farklı türde kavramlarla karşı karşıya kalırlar. Öğrencinin kavramları ayırt edememesi yetersiz özümsemesine yol açar.

Kavramlardaki mantık, hacim ve içeriği ayırt eder. Hacim, bu kavrama ait nesnelerin sınıfı olarak anlaşılır, onunla birleştirilir. Bu nedenle, bir üçgen kavramının kapsamı, belirli özelliklerinden (açı türleri, kenar boyutları vb.) bağımsız olarak tüm üçgen setini içerir.

Kavramların içeriği, bu nesnelerin tek bir sınıfta birleştirildiği temel özellikler sistemi olarak anlaşılır. Bir kavramın içeriğini ortaya çıkarmak için, diğer nesnelerle ilişkisini vurgulamak için hangi işaretlerin gerekli ve yeterli olduğunu karşılaştırma yoluyla belirlemek gerekir. İçerik ve özellikler belirlenmediği sürece, bu kavramın yansıttığı nesnenin özü net değildir, bu nesneyi yanındakilerden doğru ve net bir şekilde ayırt etmek imkansızdır, düşünce karışıklığı oluşur.

Örneğin, bir üçgen kavramı, aşağıdaki özellikleri içerir: kapalı bir şekil, üç doğru parçasından oluşur. Nesnelerin tek bir sınıfta birleştirildiği özellikler kümesine gerekli ve yeterli özellikler denir. Bazı kavramlarda, bu özellikler, nesnelerin tek bir sınıfta birleştirildiği içeriği bir araya getirerek birbirini tamamlar. Bu tür kavramlara bir örnek, bir üçgen, bir açı, bir açıortay ve diğerleridir.

Bu kavramın uygulandığı bu nesnelerin kümesi, mantıksal bir nesne sınıfını oluşturur. Mantıksal bir nesne sınıfı, ortak bir kavramla ifade edilmelerinin bir sonucu olarak ortak özelliklere sahip nesnelerin bir koleksiyonudur. Nesnelerin mantıksal sınıfı ve karşılık gelen kavramın kapsamı aynıdır.Kavramlar, uygulandıkları nesnelerin doğasına ve sayısına bağlı olarak içerik ve kapsama göre türlere ayrılır. Hacme göre, matematiksel kavramlar tekil ve genel olarak ayrılır. Kavramın kapsamı yalnızca bir nesneyi içeriyorsa, tekil olarak adlandırılır.

Tek kavramlara örnekler: “iki basamaklı en küçük sayı”, “5 numara”, “kenar uzunluğu 10 cm olan kare”, “yarıçapı 5 cm olan daire”. Genel konsept, belirli bir nesne kümesinin özelliklerini gösterir. Bu tür kavramların hacmi her zaman bir elementin hacminden daha büyük olacaktır. Genel kavramlara örnekler: “iki basamaklı sayılar kümesi”, “üçgenler”, “denklemler”, “eşitsizlikler”, “5'in katı olan sayılar”, “ilkokul matematik ders kitapları”. İçeriğine göre bağlaç ve ayırıcı, mutlak ve somut, bağıntısız ve göreli kavramları ayırt edilir.

Kavramlar, özellikleri birbirine bağlıysa ve hiçbiri bu sınıfın nesnelerini tek tek tanımlamanıza izin vermiyorsa, özellikler "ve" birliği ile bağlanırsa konjonktif olarak adlandırılır. Örneğin üçgen kavramıyla ilgili nesnelerin mutlaka üç doğru parçasından oluşması ve kapalı olması gerekir.

Diğer kavramlarda, gerekli ve yeterli özellikler arasındaki ilişki farklıdır: birbirlerini tamamlamazlar, ancak değiştirirler. Bu, bir özelliğin diğerine eşdeğer olduğu anlamına gelir. İşaretler arasındaki bu tür bir ilişkinin bir örneği, bölümlerin, açıların eşitliğinin işaretleri olarak hizmet edebilir. Eşit segmentler sınıfının, aşağıdaki segmentleri içerdiği bilinmektedir: a) ya üst üste bindirildiğinde çakışan; b) veya ayrı ayrı üçüncüye eşit; c) veya eşit parçalardan oluşması vb.

Bu durumda, birleşik kavram türlerinde olduğu gibi, listelenen özelliklerin tümü aynı anda gerekli değildir; burada listelenen tüm özelliklerden birine sahip olmak yeterlidir: her biri diğerleriyle eşdeğerdir. Bu nedenle, işaretler "veya" birliği ile bağlanır. Niteliklerin böyle bir bağlantısına ayırma denir ve kavramlara sırasıyla ayırma denir. Kavramların mutlak ve göreceli olarak bölünmesini hesaba katmak da önemlidir.

Mutlak kavramlar, nesneleri, bu nesnelerin özünü karakterize eden belirli özelliklere göre sınıflar halinde birleştirir. Böylece, açı kavramı, herhangi bir açının özünü karakterize eden özellikleri yansıtır. Durum diğer birçok geometrik kavramla benzer: daire, ışın, eşkenar dörtgen vb.

Göreceli kavramlar, nesneleri, diğer nesnelerle ilişkilerini karakterize eden özelliklere göre sınıflar halinde birleştirir. Böylece, dik çizgiler kavramında, iki çizginin birbiriyle ilişkisini karakterize eden sabittir: kesişme, aynı anda oluşum dik açı. Benzer şekilde, sayı kavramı, ölçülen değerin ve kabul edilen standardın oranını yansıtır. Göreceli kavramlar, öğrencilere mutlak kavramlardan daha ciddi zorluklara neden olur. Zorlukların özü, tam olarak, okul çocuklarının kavramların göreliliğini hesaba katmamaları ve onlarla mutlak kavramlar gibi hareket etmelerinde yatmaktadır. Bu nedenle, bir öğretmen öğrencilerden bir dik çizmelerini istediğinde, bazıları bir dikey çizer. Sayı kavramına özellikle dikkat edilmelidir.

Sayı, ölçülmekte olanın (uzunluk, ağırlık, hacim vb.) bu değerlendirme için kullanılan standarda oranıdır. Açıkçası, sayı hem ölçülen değere hem de standarda bağlıdır. Ölçülen değer ne kadar büyük olursa, sayı aynı standartta o kadar büyük olur. Aksine, standart (ölçü) ne kadar büyük olursa, aynı değer değerlendirilirken sayı o kadar küçük olacaktır. Bu nedenle, öğrenciler, büyüklük bakımından sayıların karşılaştırmasının ancak aynı standartla desteklendiğinde yapılabileceğini en başından anlamalıdır. Gerçekten de, örneğin uzunluk santimetre cinsinden ölçülürken beş, metre cinsinden ölçülürken üç elde edilirse, üç, beşten daha büyük bir değeri ifade eder. Öğrenciler sayının göreceli yapısını öğrenemezlerse sayı sistemini öğrenmede ciddi zorluklar yaşayacaklardır. Göreceli kavramları özümsemedeki zorluklar, orta ve hatta üst sınıflardaki öğrenciler arasında devam etmektedir. Kavramın içeriği ile kapsamı arasında bir ilişki vardır: Kavramın kapsamı ne kadar küçükse içeriği o kadar büyük olur.

Örneğin, herhangi bir kare bir dikdörtgen olduğu için "kare" kavramının kapsamı "dikdörtgen" kavramının kapsamından daha küçüktür, ancak her dikdörtgen bir kare değildir. Bu nedenle, "kare" kavramı, "dikdörtgen" kavramından daha büyük bir içeriğe sahiptir: bir kare, bir dikdörtgenin tüm özelliklerine ve bazılarına sahiptir (bir kare için, tüm kenarlar eşittir, köşegenler karşılıklı olarak diktir).

Düşünme sürecinde her kavram ayrı ayrı var olmaz, diğer kavramlarla belirli bağlantılara ve ilişkilere girer. Matematikte önemli bir bağlantı biçimi, genel bağımlılıktır.

Örneğin, "kare" ve "dikdörtgen" kavramlarını ele alalım. "Kare" kavramının kapsamı, "dikdörtgen" kavramının kapsamının bir parçasıdır. Bu nedenle, birincisine tür denir ve ikincisi - jenerik. Cins-tür ilişkilerinde, en yakın cins kavramı ile sonraki jenerik adımlar arasında ayrım yapılmalıdır.

Örneğin, "kare" görünümü için en yakın cins "dikdörtgen" cinsi olacaktır, dikdörtgen için en yakın cins "paralelkenar" cinsi olacaktır, "paralelkenar" için - "dörtgen", "dörtgen" için - "çokgen" ve "çokgen" için - "düz rakam.

V ilkokul ilk kez, her kavram, belirli nesneleri gözlemleyerek veya pratik işlemlerle (örneğin, onları sayarken) görsel olarak tanıtılır. Öğretmen, çocukların okulda edindikleri bilgi ve deneyimlerinden yararlanır. okul yaşı. Matematiksel kavramlara aşinalık, bir terim veya terim ve bir sembol yardımıyla sabitlenir. Matematiksel kavramlar üzerinde çalışmanın bu yöntemi, ilkokul Bu derste farklı türde tanımların kullanılmadığı anlamına gelmez.

Bir kavramı tanımlamak, bu kavrama dahil olan nesnelerin tüm temel özelliklerini listelemektir. Bir kavramın sözlü tanımına terim denir. Örneğin, "sayı", "üçgen", "daire", "denklem" terimlerdir.

Tanım iki sorunu çözer: belirli bir kavramı diğerlerinden ayırır ve ayırır ve onsuz kavramın var olamayacağı ve diğer tüm özelliklerin bağlı olduğu ana özellikleri belirtir.

Tanım az çok derin olabilir. Bu, kastedilen kavram hakkındaki bilgi düzeyine bağlıdır. Onu ne kadar iyi bilirsek, ona daha iyi bir tanım verme olasılığımız o kadar artar. Daha küçük öğrencilere öğretim pratiğinde açık ve örtük tanımlar kullanılır. Açık tanımlar, iki kavramın eşitliği veya çakışması şeklini alır.

Örneğin: "Propaedeutics, herhangi bir bilime giriştir." Burada iki kavram bire bir eşittir - “propaedeutics” ve “herhangi bir bilime giriş”. "Kare, tüm kenarlarının eşit olduğu bir dikdörtgendir" tanımında bir kavram çakışması var. Daha küçük öğrencilere öğretimde, bağlamsal ve göstermelik tanımlar, örtük tanımlar arasında özellikle ilgi çekicidir.

Metinden herhangi bir pasaj, bağlamı ne olursa olsun, bizi ilgilendiren kavramın içinde yer aldığı, bir anlamda, onun örtük bir tanımıdır. Bağlam, kavramı diğer kavramlarla ilişkilendirir ve böylece içeriğini ortaya çıkarır.

Örneğin, çocuklarla çalışırken “ifadenin değerlerini bulun”, “a = 7 ise 5 + a ve (a - 3) 2 ifadelerinin değerini karşılaştırın”, “toplam olan ifadeleri okuyun” gibi ifadeler ”, “ifadeleri oku ve sonra denklemleri oku”, sayılar veya değişkenler ve eylem işaretlerinden oluşan bir kayıt olarak “matematiksel ifade” kavramını ortaya koyuyoruz. Tanıştığımız hemen hemen tüm tanımlar Günlük yaşam bağlamsal tanımlardır. Bilinmeyen bir kelime duyduktan sonra, söylenen her şeye dayanarak anlamını kendimiz kurmaya çalışırız. Aynı şey genç öğrencilere eğitim vermek için de geçerlidir. İlkokulda birçok matematiksel kavram bağlam aracılığıyla tanımlanır. Bunlar örneğin “büyük - küçük”, “herhangi biri”, “herhangi biri”, “bir”, “çok”, “sayı”, “aritmetik işlem”, “denklem”, “görev” vb. kavramlardır.

Bağlamsal tanımlar kalır çoğu kısım için eksik ve eksik. Daha genç öğrencinin tamı ve dahası bilimsel tanımı özümsemeye hazırlıksızlığıyla bağlantılı olarak kullanılırlar.

Gösterişli tanımlar, gösterme yoluyla yapılan tanımlardır. Sıradan bağlamsal tanımlara benzerler, ancak buradaki bağlam, bir metnin bir pasajı değil, kavramın gösterdiği nesnenin kendini bulduğu durumdur. Örneğin, öğretmen bir kare (çizim veya kağıt model) gösterir ve "Bak - bu bir kare" der. Bu tipik bir gösterişli tanımdır.

İlköğretim sınıflarında “kırmızı (beyaz, siyah vb.) renk”, “sol - sağ”, “soldan sağa”, “sayı”, “önceki ve sonraki sayı”, “ işaretler aritmetik işlemler", "karşılaştırma işaretleri", "üçgen", "dörtgen", "küp" vb.

Sözcüklerin anlamlarının gösterişli bir şekilde özümsenmesine dayanarak, yeni sözcüklerin ve deyimlerin zaten sözlü anlamlarını çocuğun sözlüğüne sokmak mümkündür. Gösterişli tanımlar - ve sadece onlar - kelimeyi şeylere bağlar. Onlar olmadan dil, nesnel, anlamlı bir içeriği olmayan sözlü bir bağdır. İlköğretim sınıflarında kabul edilebilir tanımların "'Beşgen' kelimesine beş kenarlı bir çokgen olarak atıfta bulunacağız" gibi olduğunu unutmayın. Bu sözde "nominal tanım". Matematikte çeşitli açık tanımlar kullanılır. Bunlardan en yaygın olanı en yakın cins ve tür karakteri üzerinden tanımlamadır. Genel tanım aynı zamanda klasik tanım olarak da adlandırılır.

Bir cins ve belirli bir özellik üzerinden tanımlama örnekleri: “Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir”, “Bir eşkenar dörtgen, kenarları eşit olan bir paralelkenardır”, “Dikdörtgen, açıları dik olan bir paralelkenardır”, “A kare, kenarları eşit olan bir dikdörtgendir”, “Kare, dik açıları olan bir eşkenar dörtgendir”.

Bir karenin tanımlarını düşünün. İlk tanımda, en yakın cins "dikdörtgen" ve tür özelliği "tüm kenarlar eşittir" olacaktır. İkinci tanımda, en yakın cins "eşkenar dörtgen" ve spesifik özelliği "dik açılar" dır. En yakın cinsi ("paralelkenar") almazsak, o zaman karenin iki özel özelliği olacaktır: "Paralelkenara, tüm kenarları eşit ve tüm açıları dik olan kare denir."

Jenerik bağıntıda "toplama (çıkarma, çarpma, bölme)" ve "aritmetik işlem" kavramları, "dar (sağ, geniş) açı" ve "açı" kavramları yer alır. İlköğretim sınıflarında ele alınan pek çok matematiksel kavram arasında açık jenerik ilişkilerin çok fazla örneği yoktur. Ancak, ileri eğitimde cins ve tür özelliği aracılığıyla tanımlamanın önemi göz önüne alındığında, öğrencilerin bu türün tanımının özünü daha ilkokul sınıflarında anlamalarını sağlamak arzu edilir.

Ayrı tanımlar, oluşum veya oluşum kavramını ve yöntemini dikkate alabilir. Bu tür tanımlamaya genetik denir. Genetik tanım örnekleri: "Açı bir noktadan çıkan ışınlardır", "Dikdörtgenin köşegeni dikdörtgenin zıt köşelerini birleştiren doğru parçasıdır." İlköğretim sınıflarında "segment", "kırık çizgi", "dik açı", "daire" gibi kavramlar için genetik tanımlar kullanılır. Liste üzerinden yapılan tanım, genetik kavramlara da atfedilebilir.

Örneğin, "Doğal sayılar dizisi 1, 2, 3, 4 vb. sayılardır." İlköğretim sınıflarındaki bazı kavramlar yalnızca dönem aracılığıyla tanıtılır. Örneğin, zaman birimleri yıl, ay, saat, dakikadır. İlköğretim sınıflarında eşitlik şeklinde sembolik bir dilde sunulan kavramlar vardır, örneğin a 1 = a ve 0 = 0

Yukarıdakilerden, ilköğretim sınıflarında birçok matematiksel kavramın ilk önce yüzeysel, belirsiz bir şekilde kazanıldığı sonucuna varabiliriz. İlk tanışmada, okul çocukları sadece kavramların bazı özelliklerini öğrenirler, kapsamları hakkında çok dar bir fikirleri vardır. Ve bu doğal. Tüm kavramları kavramak kolay değildir. Ancak öğretmenin matematiksel kavramların belirli tanım türlerini anlaması ve zamanında kullanması, öğrencilerde bu kavramlar hakkında sağlam bilgi oluşturmanın koşullarından biri olduğu tartışılmaz.

Kaynakça:

1. Bogdanovich M.V. Matematiksel kavramların tanımı // İlkokul 2001. - No. 4.

2. Gluzman N. A. Küçük okul çocuklarında genelleştirilmiş zihinsel aktivite yöntemlerinin oluşumu. - Yalta: KSGI, 2001. - 34 s.

3. Drozd V.L. Kentsel M.A. Küçük problemlerden büyük keşiflere. //İlkokul. - 2000. - No. 5.

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı

"Gomel Devlet Üniversitesi onlara. F. Skaryna"

Matematik Fakültesi

MPM Bölümü

Öz

matematiksel kavramlar

Yürütücü:

M-32 grubunun öğrencisi

Molodtsova A.Yu.

Bilim danışmanı:

Cand. fizik ve matematik Bilimler, Doçent

Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Tanıtım

Birçok tanımın (teoremler, aksiyomlar) formülasyonları öğrenciler tarafından anlaşılabilir, az sayıda tekrardan sonra hatırlanması kolaydır, bu nedenle önce bunları ezberlemeyi önermeniz ve ardından bunları problem çözmede nasıl uygulayacağınızı öğretmeniz önerilir.

ayırmak.

1. Kavramın kapsamı ve içeriği. Kavram sınıflandırması

Gerçekliğin nesneleri: a) kendine özgü özelliklerini ifade eden ortak özellikler (örneğin, tek değişkenli üçüncü dereceden bir denklem - kübik bir denklem); b) nesneyi diğer birçok nesneden ayıran temel özelliklerini (özellikleri) ifade ettikleri takdirde ayırt edici olabilen genel özellikler.

"Kavram" terimi, belirli bir nesne sınıfının, süreçlerin zihinsel bir görüntüsünü belirtmek için kullanılır. Psikologlar üç düşünce biçimini ayırt eder:

1) kavramlar (örneğin, medyan, bir tepe noktasını bir üçgenin karşı tarafına bağlayan bir segmenttir);

2) yargılar (örneğin, keyfi bir üçgenin açıları için doğrudur:);

3) çıkarımlar (örneğin, a>b ve b>c ise, o zaman a>c).

için karakteristik kavramlarda düşünme biçimleri a) son derece organize bir maddenin bir ürünüdür; b) maddi dünyayı yansıtır; c) bilişte bir genelleme aracı olarak görünür; d) spesifik olarak insan faaliyeti anlamına gelir; e) Akılda oluşumu, konuşma, yazı veya sembol yoluyla ifade edilmesinden ayrılamaz.

Matematiksel kavram, gerçek durumlardan soyutlanmış gerçekliğin belirli biçimlerini ve ilişkilerini düşünmemize yansıtır. Oluşumları şemaya göre gerçekleşir:

Her kavram, bir dizi nesne veya ilişkiyi birleştirir. kavramın kapsamı, ve bu kümenin tüm öğelerinde ve yalnızca kendilerini ifade eden karakteristik özellikler kavramın içeriği.

Örneğin, matematiksel kavram bir dörtgendir. Onun Ses: kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, yamuk, vb. İçerik: 4 kenar, 4 köşe, 4 tepe (karakteristik özellikler).

Bir kavramın içeriği katı bir şekilde kapsamını belirler ve tersine, bir kavramın kapsamı içeriğini tamamen belirler. Duyusal düzeyden mantıksal düzeye geçiş, genellemeler: veya nesnenin ortak özelliklerinin seçimi yoluyla (paralelkenar - dörtgen - çokgen); veya belirli bir kavrama yol açan özel veya tekil ile birlikte genel işaretler yoluyla.

Genelleme sürecinde hacim genişler ve içerik daralır. Konseptin uzmanlaşması sürecinde hacim daralır ve içerik genişler.

Örneğin:

çokgenler - paralelkenarlar;

üçgenler eşkenar üçgenlerdir.

Bir kavramın kapsamı başka bir kavramın kapsamı içindeyse, ikinci kavram olarak adlandırılır. Genel, ilki ile ilgili olarak; ve ilki denir özel ikinci ile ilgili olarak. Örneğin: paralelkenar - eşkenar dörtgen (cins) (görüş).

Bir kavramın kapsamını netleştirme sürecine ne ad verilir? sınıflandırma, kimin şeması şöyle görünür:

bir küme ve bir özellik verilsin ve hem bu özelliğe sahip olan hem de olmayan öğeler olsun. İzin vermek:

Yeni bir mülk seçin ve bu mülke göre bölün:

Örneğin: 1) sayı kavramının gelişimini yansıtan sayısal kümelerin sınıflandırılması; 2) üçgenlerin sınıflandırılması: a) yanlara göre; b) köşeler.

Görev numarası 1. Karenin noktalarını kullanarak üçgen kümesini temsil ediyoruz.

ikizkenar özelliği;

Dikdörtgenlik özelliği;

Bu özelliklere aynı anda sahip olan üçgenler var mı?

2. Matematiksel tanımlar. Kavramları tanımlamada hata türleri

Bir kavramın oluşumundaki son aşama, onun tanım, yani koşullu anlaşmanın kabulü. Tanım, tutarlı bir cümleye (sözlü veya sembolik) indirgenmiş bir kavramın gerekli ve yeterli özelliklerinin bir listesi olarak anlaşılır.

2.1 Kavramları tanımlamanın yolları

Başlangıçta, tanımlanmamış kavramlar, matematiksel kavramların aşağıdaki şekillerde tanımlandığı temelinde ayırt edilir:

1) en yakın cins ve tür farkı ile: a) tanımlayıcı(tanımın oluşturulduğu süreci açıklamak veya hangi işlemlere bağlı olarak iç yapıyı tanımlamak bu tanım tanımsız kavramlardan inşa edilmiştir); B) yapıcı(veya genetik) kavramın kökenini belirtir.

Örneğin: a) dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir paralelkenardır; b) Daire, düzlemin belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Bu noktaya çemberin merkezi denir.

2) endüktif olarak.Örneğin, bir aritmetik ilerlemenin tanımı:

3) soyutlama yoluyla. Örneğin, bir doğal sayı, eşdeğer sonlu kümelerin sınıflarının bir özelliğidir;

4) aksiyomatik (dolaylı tanım). Örneğin, geometride bir şeklin alanını belirlemek: basit şekiller için alan pozitif bir değerdir, Sayısal değer aşağıdaki özelliklere sahiptir: a) eşit rakamlar eşit alanlara sahiptir; b) bir şekil basit şekiller olan parçalara bölünmüşse, bu şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir; c) Bir kenarı ölçü birimine eşit olan karenin alanı bire eşittir.

2.2 Açık ve kapalı tanımlar

Tanımlar ikiye ayrılır:

a) açık tanımlanmış ve tanımlayıcı kavramların açıkça ayırt edildiği (örneğin, en yakın cins ve spesifik fark yoluyla tanımlama);

B) örtük Bir kavramın başka bir kavramla daha geniş bir kapsamla değiştirilmesi ilkesi üzerine inşa edilen ve zincirin sonu tanımsız bir kavramdır, yani. biçimsel mantıksal tanım (örneğin, kare dik açılı bir eşkenar dörtgendir; eşkenar dörtgen, eşit bitişik kenarları olan bir paralelkenardır; bir paralelkenar, çift paralel kenarları olan bir dörtgendir; bir dörtgen, 4 açı, 4 köşeden oluşan bir şekildir, 4 taraf). V okul tanımlarıçoğu zaman şeması aşağıdaki gibi olan ilk yöntem uygulanır: o zaman kümelerimiz ve bazı özelliklerimiz var

Tanımları oluşturmak için temel gereksinim, tanımlanan kümenin minimum kümenin bir alt kümesi olması gerektiğidir. Örneğin, iki tanımı karşılaştıralım: (1) Kare, dik açılı bir eşkenar dörtgendir; (2) Kare, kenarları eşit ve dik açılı (fazlalıklı) bir paralelkenardır.

Herhangi bir tanım, “varlığın kanıtı” sorununa bir çözümdür. Örneğin, bir dik üçgen dik açılı bir üçgendir; onun varlığı bir inşadır.

2.3 Ana hata türlerinin özellikleri

Not tipik hatalarÖğrencilerin kavramları tanımlarken karşılaştıkları:

1) tanımlayıcı olarak minimal olmayan bir kümenin kullanılması, mantıksal olarak bağımlı özelliklerin dahil edilmesi (tipik malzeme tekrar ederken).

Örneğin: a) paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan bir dörtgendir; b) bir doğru, bu düzlemle kesişen düzlemde kesişme noktasından geçen her bir çizgiyle dik açı oluşturuyorsa, düzleme dik olarak adlandırılır, bunun yerine: “bir doğruya bir düzleme dik denir. bu düzlemin tüm hatlarına”;

2) tanımlanan kavramın ve tanımlayıcı olarak kullanılması.

Örneğin, bir dik açı, eşit komşu açılardan biri olarak değil, karşılıklı olarak dik kenarları olan açılar olarak tanımlanır;

3) totoloji - bir kavram, kavramın kendisi aracılığıyla tanımlanır.

Örneğin, bir benzerlik dönüşümü ile birbirine çevrilen iki şekil benzer olarak adlandırılır;

4) bazen tanım, tanımlanan alt kümenin seçildiği tanımlayıcı kümeyi göstermez.

Örneğin, “medyan düz bir çizgidir ...” yerine “medyan ...... bağlayan bir segmenttir”;

5)öğrenciler tarafından verilen tanımlarda bazen tanımlanan kavram tamamen yoktur, bu ancak öğrenciler tam cevaplar vermeye alışkın olmadığında mümkündür.

Tanımlardaki hataları düzeltmeye yönelik metodoloji, öncelikle yapılan hataların özünü bulmayı ve daha sonra bunların tekrarını önlemeyi içerir.

3. Tanımın yapısı

1) bağlaç yapısı: iki nokta ve p doğrusuna göre simetrik olarak adlandırılır( A(x)) eğer bu doğru p doğru parçasına dikse ve orta noktasından geçiyorsa. Ayrıca, p çizgisinin her noktasının, p çizgisine göre (“ve” birliğinin varlığı) kendisine simetrik olduğunu varsayacağız (* - “Bir açının açıortayı, tepe noktasından gelen, geçen bir ışındır. kenarları arasında ve açıyı ikiye böler”).

2)yapısal yapı: “Verilen bir rakam ve p sabit bir doğru olsun. Şeklin keyfi bir noktasını alın ve p çizgisine dik olarak bırakın. Noktanın ötesindeki dikeyin devamında, segmente eşit bir segment ayırın. Bir şeklin, her noktanın belirli bir şekilde oluşturulmuş bir noktaya gittiği bir şekle dönüştürülmesine p doğrusuna göre simetri denir.

3) ayırıcı yapı: tanım ayarla Z tamsayılar formdaki özelliklerin dilinde yazılabilir ZN veya n veya =0, ​​burada N- doğal sayıların tersi olan sayılar kümesi.

4. Matematiksel kavramların incelenmesindeki ana aşamaların özellikleri

Bir tanım üzerinde çalışma metodolojisi şunları içerir: 1) tanım bilgisi; 2) belirli bir tanıma karşılık gelen bir nesneyi tanımayı öğrenmek; 3) çeşitli karşı örneklerin inşası. Örneğin, bir "dik üçgen" kavramı ve onu oluşturan öğeleri tanımaya çalışın:

Matematiksel tanımların incelenmesi üç aşamaya ayrılabilir:

Aşama 1 - giriş - öğrenciler yeni şeyleri kendileri "keşfettikleri", bağımsız olarak onlar için tanımlar oluşturdukları veya basitçe onların anlaşılması için hazırlandıkları derste bir durum yaratmak.

Aşama 2 - asimilasyonun sağlanması - öğrencilerin aşağıdakileri sağlamasına indirgenir:

a) tanımı uygulamayı öğrenmiş;

b) bunları hızlı ve doğru bir şekilde ezberleyin;

c) Formülasyonlarındaki her kelimeyi anladılar.

3. aşama - konsolidasyon - sonraki derslerde gerçekleştirilir ve formülasyonlarını tekrar etmeye ve problemleri çözmek için uygulama becerilerini işlemeye gelir.

Yeni kavramlarla tanışma gerçekleştirilir:

Yöntem 1: öğrenciler bağımsız bir tanım oluşturmaya hazırlanırlar.

Yöntem 2: öğrenciler, formülasyonu kendilerine bitmiş biçimde bildirilen yeni bir matematiksel cümleyi anlayarak bilinçli algılamaya hazırlanırlar.

Yöntem 3: Öğretmen herhangi bir hazırlık yapmadan kendisi yeni bir tanım formüle eder ve ardından öğrencilerin çabalarını özümseme ve pekiştirmelerine odaklar.

Yöntem 1 ve 2, buluşsal yöntemi, yöntem 3 - dogmatik'i temsil eder. Yöntemlerden herhangi birinin kullanımı, sınıfın hazırlık düzeyine ve öğretmenin deneyimine uygun olmalıdır.

5. Kavramları tanıtma yöntemlerinin özellikleri

Kavramları tanıtırken aşağıdaki yöntemler mümkündür:

1) Öğrencilerin yeni bir kavramın tanımını hızla formüle etmelerini sağlayan alıştırmalar oluşturabilirsiniz.

Örneğin: a) =2 olan () dizisinin ilk birkaç üyesini yazın. Bu diziye geometrik ilerleme denir. Tanımını formüle etmeye çalışın. Kendinizi yeni bir kavramın algılanmasına hazırlanmakla sınırlayabilirsiniz.

b) Dizinin () = 4 olan ilk birkaç üyesini yazın, Sonra öğretmen böyle bir diziye aritmetik dizi dendiğini söyler ve tanımını kendisi verir.

2) Geometrik kavramları incelerken, alıştırmalar, öğrencilerin gerekli şekli kendileri oluşturacakları ve bir tanımı formüle etmek için gerekli olan yeni bir kavramın işaretlerini vurgulayabilecekleri şekilde formüle edilir.

Örneğin: keyfi bir üçgen oluşturun, köşesini bir segmentle karşı tarafın orta noktasına bağlayın. Bu segmente medyan denir. Medyanın tanımını formüle edin.

Bazen bir model çizilmesi veya hazır modeller ve çizimler dikkate alınarak yeni bir konseptin özelliklerini vurgulaması ve tanımını formüle etmesi önerilir.

Örneğin: paralelyüz tanımı 10. sınıfta tanıtıldı. Önerilen eğik, düz ve dikdörtgen paralelyüz modellerine göre, bu kavramların farklılık gösterdiği özellikleri belirleyin. Sağ ve dikdörtgen paralelyüzlerin karşılık gelen tanımlarını formüle edin.

3) Birçok cebirsel kavram, belirli örnekler temelinde tanıtılmaktadır.

Örneğin: doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

4)Uygun görevlerin yöntemi,(S.I. Shokhor-Trotsky tarafından geliştirilmiştir) Özel olarak seçilmiş bir görevin yardımıyla öğrenciler, yeni bir kavramı tanıtmanın gerekli olduğu ve ona matematikte zaten sahip olduğu anlamın aynısını vermenin uygun olduğu sonucuna varırlar.

5-6. sınıflarda kavramlar bu yöntemle tanıtılır: denklem, denklem kökü, eşitsizliklerin çözümü, toplama, çıkarma, çarpma, bölme kavramları doğal sayılar, ondalık ve sıradan kesirler, vb.

Beton endüktif yöntem

Öz:

a) belirli örnekler dikkate alınır;

b) temel özellikler vurgulanır;

c) bir tanım formüle edilir;

d) tatbikatlar yapılır: tanıma için; tasarım için;

e) tanıma dahil olmayan mülkler üzerinde çalışmak;

e) özelliklerin uygulanması.

Örneğin: konu - paralelkenarlar:

1, 3, 5 - paralelkenarlar.

b) temel özellikler: dörtgen, kenarların ikili paralelliği.

c) tanıma, yapım:

d) paralelkenarın dördüncü köşesini bulun (inşa edin) (* - görev No. 3, madde 96, Geometri derecesi 7-11: Üç köşede kaç paralelkenar oluşturulabilir) verilen puanlar aynı düz çizgide uzanmıyor mu? Onları inşa et.).

e) diğer özellikler:

AC ve BD O noktasında kesişir ve AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

e) A=C, B=D.

Konsolidasyon: problem çözme No. 4-23, s. 96-97, Geometri 7-11, Pogorelov.

Perspektif değeri:

a) bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen çalışmasında ve tanımında kullanılır;

b) Thales teoreminde paralel çizgiler arasına alınmış parçaların paralellik ve eşitlik ilkesi;

c) paralel öteleme kavramı (vektör);

d) bir üçgenin alanını türetirken bir paralelkenarın özelliği kullanılır;

e) uzayda paralellik ve diklik; paralel yüzlü; prizma.

Soyut-tümdengelim yöntemi

Öz:

a) kavramın tanımı: - ikinci dereceden denklem;

b) temel özelliklerin seçimi: x - değişken; a, b, c - sayılar; a?0'da

c) kavramın somutlaştırılması: - azaltılmış; denklem örnekleri

d) alıştırmalar: tanıma için, inşa için;

e) tanıma dahil olmayan özelliklerin incelenmesi: denklemin kökleri ve özellikleri;

e) problem çözme.

Okulda, soyut-tümdengelim yöntemi, yeni kavram, en yakın genel kavramın incelenmesi de dahil olmak üzere önceki kavramlar çalışılarak tamamen hazırlandığında ve yeni kavramın özel farkının öğrenciler için çok basit ve anlaşılır olduğu durumlarda kullanılır.

Örneğin: bir paralelkenar çalıştıktan sonra bir eşkenar dörtgen tanımı.

Ayrıca, yukarıdaki yöntem kullanılır:

1) kavramın tanımının “soy ağacını” derlerken:

Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir.

Dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir paralelkenardır.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.

Dörtgen, dört nokta ve bunları seri olarak birbirine bağlayan dört parçadan oluşan bir şekildir.

Başka bir deyişle, bir soykütük, önceki kavramın genellemeleri yoluyla inşa edilen ve sonuncusu tanımlanamayan bir kavram olan bir kavramlar zinciridir (okul geometrisi sırasında bunların bir nokta, bir şekil, bir düzlem, bir mesafe içerdiğini hatırlayın). arasında yatmak));

2) sınıflandırma;

3) teoremlerin ispatlarına ve problem çözümüne uygulanır;

4) bilginin güncellenmesi sürecinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bir görev sistemi tarafından temsil edilen bu süreci düşünün:

a) Kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgen verildi. Hipotenüse çizilen medyanın uzunluğunu bulun.

b) Üçgenin dik açısının köşesinden çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olduğunu kanıtlayın.

c) Bir dik üçgende, dik açının açıortayının, ortanca ile hipotenüse çizilen yükseklik arasındaki açıyı ikiye böldüğünü kanıtlayın.

d) ABC üçgeninin en uzun AC kenarının devamında, BC kenarına eşit CM doğru parçası çizilir. AVM'nin geniş olduğunu kanıtlayın.

Çoğu durumda, okul öğretiminde somut-tümevarım yöntemi kullanılır. Özellikle, bu yöntem, 1-6. sınıflarda cebir ve geometrinin başlangıcındaki propaedeutik döngülerdeki kavramları tanıtır ve birçok tanımlayıcı kavram katı formülasyonlar olmadan tanımlayıcı olarak tanıtılır.

Öğretmenin çeşitli tanımları tanıtma yöntemleri konusundaki cehaleti, kendisini şu şekilde gösteren biçimciliğe yol açar:

a) Öğrenciler, olağandışı bir durumda tanımları uygulamakta zorlanırlar, ancak ifadesini hatırlasalar da.

Örneğin: 1) fonksiyonun çift olduğunu düşünürler, çünkü “çünkü” - hatta;

2) - bir fonksiyonun monotonluğu ile bir eşitsizliğin çözümü arasındaki ilişkiyi anlamıyorum, yani. Ana araştırma yönteminin, fonksiyonun değerleri arasındaki farkın işaretini tahmin etmek olduğu ilgili tanımları uygulayamaz, yani. eşitsizliklerin çözümünde

b) Öğrenciler her türden problemi çözme becerisine sahiptir, ancak belirli dönüşümleri hangi tanımlara, aksiyomlara, teoremlere dayanarak yaptıklarını açıklayamazlar.

Örneğin: 1) - bu formüle göre dönüşüm yapın ve 2) masada dörtgen bir piramit modeli olduğunu hayal edin. Model yan yüzü ile masaya konursa bu piramidin tabanı hangi çokgen olur? (dörtgen).

Bilgi, beceri ve yetenek oluşturma süreci, yeni bilgilerin iletilmesiyle sınırlı değildir.

Bu bilgi edinilmeli ve pekiştirilmelidir.

6. Matematiksel kavramların (cümlelerin) özümlenmesini sağlamak için metodoloji

1. Birçok tanımın (teoremler, aksiyomlar) formülasyonları öğrenciler tarafından anlaşılabilir, az sayıda tekrardan sonra hatırlanması kolaydır, bu nedenle önce bunları ezberlemeyi önermeniz ve ardından bunları problem çözmede nasıl uygulayacağınızı öğretmeniz önerilir.

Tanımları hatırlama ve bunların uygulanması için becerilerin oluşturulması süreçlerinin öğrencilerde eşzamanlı olmayan (ayrı ayrı) gerçekleştiği yönteme denir. ayırmak.

Ayrı yöntem, akor, yamuk, çift ve tek fonksiyonlar, Pisagor teoremleri, paralel çizgilerin işaretleri, Vieta teoremi, sayısal eşitsizliklerin özellikleri, sıradan kesirler için çarpma kuralları, aynı paydalara sahip kesirlerin toplanması, vb.

Metodoloji:

a) öğretmen yeni bir tanım formüle eder;

b) sınıf öğrencileri ezberlemek için 1-3 kez tekrar eder;

c) egzersizlerde uygulandı.

2. Kompakt yöntemöğrencilerin matematiksel bir tanımı veya cümleyi parçalar halinde okumaları ve okuma sırasında aynı anda bir alıştırma yapmalarından oluşur.

Metni birkaç kez okuyarak, yol boyunca ezberlerler.

Metodoloji:

a) Uygulama için matematiksel bir teklifin hazırlanması. Tanım, özelliklere göre bölümlere ayrılır, teorem - bir koşul ve bir sonuca;

b) hazırlanan metinle nasıl çalışılacağını gösteren öğretmen tarafından sunulan bir eylem örneği: onu bölümler halinde okuruz ve aynı anda alıştırmaları yaparız;

c) öğrenciler tanımı parçalar halinde okurlar ve aynı zamanda hazırlanan metin ve öğretmenin modeli tarafından yönlendirilen alıştırmalar yaparlar;

Örneğin: beşinci sınıftaki bisektörün tanımı:

1) kavramın tanıtılması, açı modelinde uygun problemler yöntemiyle gerçekleştirilir;

2) bir tanım yazılır: “Bir açının köşesinden çıkan ve onu iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir”;

3) görev gerçekleştirilir: çizimlerdeki hangi çizgilerin açıortay olduğunu belirtin (eşit açılar aynı sayıda yay ile gösterilir).

Çizimlerden birinde öğretmen tanımın uygulamasını gösterir (aşağıya bakınız);

4) Çalışma öğrenciler tarafından devam ettirilir.

3. Ayrı ve kompakt yöntemin kombinasyonu : yeni bir kuralın bitiminden sonra, 2-3 kez tekrarlanır ve daha sonra öğretmen, alıştırmaları yapma sürecinde kuralı parçalar halinde formüle etmeyi gerektirir.

4. algoritmik yöntem matematiksel cümleleri uygulama becerilerini oluşturmak için kullanılır.

Metodoloji: Matematiksel cümleler bir algoritma ile değiştirilir. Algoritmanın yönergelerini dönüşümlü olarak okuyarak öğrenci problemi çözer. Böylece tanım, aksiyom ve teoremleri uygulama becerisini geliştirir. Bu durumda, ya tanımın sonradan ezberlenmesine ya da tanımın kendisinin algoritma ile birlikte okunmasına izin verilir.

Yöntemin ana aşamaları:

a) Bitmiş biçimde verilen, ardından bir açıklama gelen veya öğrenciler bağımsız derlemeye yönlendirilen bir talimat listesinin çalışması için hazırlık;

b) öğretmenin cevabının bir örneği;

c) öğrenciler aynı şekilde çalışır.

Tanımların çalışmasında ayrı ve kompakt yöntemler kullanılır. Algoritmik, yalnızca özümsenmesi zor olan tanımları incelerken uygulanabilir (örneğin, gerekli ve yeterli koşullar). Algoritmik yöntem en çok problem çözme becerilerinin oluşumunda kullanılmaktadır.

7. Matematiksel kavramları ve cümleleri sabitleme yöntemleri

1. resepsiyon:

öğretmen problem çözme sürecinde karşılaşılan belirli tanımları, aksiyomları, teoremleri formüle etmeyi ve uygulamayı önerir.

Örneğin: bir fonksiyon grafiği çizin; çift ​​(tek) bir fonksiyonun tanımı; varlığın gerek ve yeter şartıdır.

2. resepsiyon:

öğretmen, onları tekrarlamak ve aynı zamanda öğrencilerin hatırlayıp hatırlamadığını kontrol etmek için bir ön anket sırasında bir dizi tanım, teorem, aksiyom formüle etmeyi önerir. Bu teknik, problem çözme dışında etkili değildir. Öğrencilerin tanımları, teoremleri, aksiyomları uygulama becerisini gerektiren özel alıştırmalarla bir ön anketi birleştirmek mümkündür. farklı durumlar, sorunun koşullarında hızlı bir şekilde gezinme yeteneği.

Çözüm

Tanımın bilinmesi, kavramın özümsenmesini garanti etmez. metodik çalışma Kavramlarla, öğrencilerin tanımlanan nesneyi meydana geldiği çeşitli durumlarda tanıyamamaları gerçeğiyle kendini gösteren biçimciliğin üstesinden gelmeyi amaçlamalıdır.

Belirli bir tanıma karşılık gelen bir nesnenin tanınması ve karşı örneklerin oluşturulması, yalnızca, tanım şemasında () sağ tarafın yapısı anlamına gelen, dikkate alınan tanımın yapılarının net bir şekilde anlaşılmasıyla mümkündür.

Edebiyat

1. K.Ö. Anançenko " Genel metodoloji okulda matematik öğretimi”, Mn., “Universitetskaya”, 1997

2. N.M. Roganovsky "Öğretme yöntemleri lise", Mn., " Yüksek Lisans", 1990

3. G. Freudenthal “Matematik Olarak pedagojik görev”, M., “Aydınlanma”, 1998

4. N.N. "Matematik laboratuvarı", M., "Aydınlanma", 1997

5. Yu.M. Kolyagin "Ortaokulda matematik öğretim yöntemleri", M., "Prosveshchenie", 1999

6. A.A. Stolyar "Matematik öğretiminin mantıksal sorunları", Mn., "Lise", 2000

Benzer Belgeler

Matematiksel kavramları incelemek için metodolojinin temelleri. Matematiksel kavramlar, içerik ve kapsamları, kavramların sınıflandırılması. 5-6.sınıf matematik öğretiminin psikolojik ve pedagojik özellikleri. Kavram oluşumunun psikolojik yönleri.

tez, eklendi 08/08/2007


Kavramların oluşumunun özü, genel şeması ve özellikleri, uygulama aşamaları ve olası yollar. Matematik disiplinleri için kavramların sınıflandırılması ve metodolojisi. Bir kavramın oluşumundaki son aşama olarak tanım, çeşitleri ve özellikleri.

özet, 24/04/2009 eklendi


Psikolojik, pedagojik, felsefi olarak "Kavram", eğitim literatürü. İlköğretim matematikte matematiksel kavramların türleri ve tanımları. Kavramların oluşumunda sınıflandırmanın rolü, işlevleri. Matematiksel kavramların oluşum sistemi.

tez, eklendi 11/23/2008


Bilimsel kavramların oluşumu için psikolojik ve pedagojik temeller. Vitajenik eğitimin özü ve kaynakları. Öğrencilerin vitajenik deneyimlerini belirlemek ve güncellemek için yöntem ve teknikler. Bilimsel kavramların oluşumu pedagojik problem. Bilimsel kavram türleri.

tez, eklendi 12/13/2009


Temel matematiksel kavramların analizi. Çarpma ve bölmenin tablo halindeki durumlarını incelemek için yöntemler. için görevler bağımsız işöğrenciler. Öğrenmeye bireysel bir yaklaşımın uygulanması. Çarpım tablosuna hakim olmak için alıştırmalar, bilgiyi test etme yöntemleri.

tez, eklendi 12/13/2013


makale, 15/09/2009 eklendi


Dilbilgisi kavramlarına hakim olmanın bir yolu olarak görselleştirme. Görselleştirme kullanarak Rusça derslerinde dilbilgisi kavramlarını incelemek için bir sistem. Daha genç öğrenciler tarafından dilbilgisi kavramlarının çalışma düzeyini belirlemek için deneyin sonuçları.

tez, eklendi 05/03/2015


Matematiksel yeteneklerin bileşenleri, ilkokul çağındaki tezahürlerinin derecesi, doğal önkoşullar ve oluşum koşulları. Ders dışı etkinliklerin ana biçimleri ve yöntemleri: daire sınıfları, matematik akşamları, olimpiyatlar, oyunlar.

tez, eklendi 11/06/2010


Öğrencileri okul geometrisi dersinde aksiyomlara alıştırma yöntemi, geleneksel sentetik koordinat vektör yöntemleri, aksiyomların okul dersi oluşturmadaki rolü. Kavramları ve teoremleri tanıtma yöntemleri, üçgenlerin eşitlik işaretlerini incelemek için bir şema.

özet, eklendi 03/07/2010


İlköğretim Genel Eğitim için Federal Devlet Eğitim Standardına göre ilkokulda matematik eğitiminin özellikleri. Kurs içeriği. Temel matematiksel kavramların analizi. Didaktikte bireysel yaklaşımın özü.

Ders 5. Matematiksel kavramlar

1. Kavramın kapsamı ve içeriği. kavramlar arasındaki ilişkiler

2. Kavramların tanımı. Tanımlanmış ve tanımlanmamış kavramlar.

3. Kavramları tanımlamanın yolları.

4. Temel Bulgular

İlköğretim matematik dersinde işlenen kavramlar genellikle dört grup halinde sunulur. İlki sayılarla ilgili kavramları ve bunlarla ilgili işlemleri içerir: sayı, toplama, terim, daha fazlası vb. İkincisi cebirsel kavramları içerir: ifade, eşitlik, denklemler vb. Üçüncü grup geometrik kavramlardan oluşur: düz çizgi, doğru, doğru, üçgen , vb. .d. Dördüncü grup, nicelikler ve bunların ölçülmesi ile ilgili kavramlardan oluşur.

Tüm kavram çeşitliliğini incelemek için, mantıksal bir kategori olarak kavram ve matematiksel kavramların özellikleri hakkında bir fikriniz olması gerekir.

mantıkta kavramlar olarak kabul edilir düşünce biçimi nesneleri (nesneler ve fenomenler) kendi öz ve ortak özellikler Ey. Kavramın dilsel biçimi, kelime (terim) veya kelime grubu.

Bir nesne hakkında bir kavram oluşturmak - ϶ᴛᴏ, onu ona benzer diğer nesnelerden ayırt edebilmek anlamına gelir. Matematiksel kavramların bir takım özellikleri vardır. Esas olan, özünde, bir kavram oluşturmanın son derece önemli olduğu matematiksel nesnelerin gerçekte var olmamasıdır. Matematiksel nesneler insan zihni tarafından yaratılır. Bunlar, gerçek nesneleri veya fenomenleri yansıtan ideal nesnelerdir. Örneğin, geometride, diğer özellikler dikkate alınmadan nesnelerin şekli ve boyutu incelenir: renk, kütle, sertlik vb. Bütün bunlardan soyutlanırlar. Bu nedenle geometride "nesne" yerine "geometrik şekil" derler.

Soyutlamanın sonucu da "sayı" ve "değer" gibi matematiksel kavramlardır.

Genel olarak, matematiksel nesneler yalnızca insan düşüncesinde ve matematiksel dili oluşturan işaret ve sembollerde bulunur.

Bu söylenenlere inceleyerek eklenebilir. maddi dünyanın mekansal biçimleri ve nicel ilişkileri Matematik sadece çeşitli soyutlama yöntemlerini kullanmakla kalmaz, soyutlamanın kendisi de çok aşamalı bir süreç olarak hareket eder. Matematikte, yalnızca gerçek nesnelerin incelenmesinde ortaya çıkan kavramlar değil, aynı zamanda birincisi temelinde ortaya çıkan kavramlar da dikkate alınır. Örneğin, bir karşılık olarak bir fonksiyonun genel kavramı, belirli fonksiyonlar kavramlarının bir genellemesidir, ᴛ.ᴇ. soyutlamalardan soyutlama.

1. Kavramın kapsamı ve içeriği. kavramlar arasındaki ilişkiler

Her matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin, bir karenin dört kenarı vardır, dört dik açı köşegenine eşittir. Diğer özellikleri de belirtebilirsiniz.

Bir nesnenin özellikleri arasında şunlar vardır: zaruri ve zaruri olmayan. Mülkiyet hissi bir nesne için esastır͵ eğer bu nesnenin doğasında varsa ve onsuz var olamaz. Örneğin bir kare için yukarıda sayılan özelliklerin tümü esastır. "AB kenarı yataydır" özelliği ABCD karesi için gerekli değildir.

Matematiksel bir kavramdan bahsederken, genellikle bir ile gösterilen bir dizi nesneyi kastederler. Terim(kelime veya kelime grubu). Yani, bir kareden bahsetmişken, kare olan tüm geometrik şekilleri kastediyorlar. Tüm kareler kümesinin "kare" kavramının kapsamı olduğuna inanılmaktadır.

Genel olarak, kavramın kapsamı ϶ᴛᴏ bir terimle gösterilen tüm nesnelerin kümesidir.

Herhangi bir kavramın yalnızca kapsamı değil, içeriği de vardır.

Örneğin, bir dikdörtgen kavramını düşünün.

Kavramın kapsamı ϶ᴛᴏ bir dizi farklı dikdörtgendir ve içeriği dikdörtgenlerin “dört dik açıya sahip olma”, “eşit zıt kenarlara sahip olma”, “eşgen köşegenlere sahip olma” vb.

Bir kavramın kapsamı ile içeriği arasında ilişki: Bir kavramın hacmi artarsa, içeriği azalır ve bunun tersi de geçerlidir.. Örneğin, "kare" kavramının kapsamı "dikdörtgen" kavramının kapsamının bir parçasıdır ve "kare" kavramının içeriği "dikdörtgen" kavramının içeriğinden daha fazla özellik içerir. ("tüm kenarlar eşittir", "köşegenler birbirine diktir" vb.).

Hiçbir kavram, diğer kavramlarla ilişkisi anlaşılmadan özümsenemez. Bu nedenle kavramların ilişkilerde neler olabileceğini bilmek ve bu bağlantıları kurabilmek önemlidir.

Kavramlar arasındaki ilişkiler, hacimleri arasındaki ilişkilerle yakından bağlantılıdır, ᴛ.ᴇ. kümeler.

Kavramları Latin alfabesinin küçük harfleriyle adlandırmayı kabul edelim: a, b, c, d, ..., z.

a ve b kavramları verilsin. Hacimlerini sırasıyla A ve B olarak gösterelim.

A ⊂ B (A ≠ B) ise, o zaman a kavramının b kavramına göre özgül olduğunu ve b kavramının a kavramına göre genel olduğunu söylerler.

Örneğin, a bir "dikdörtgen" ise, b bir "dörtgen" ise, A ve B hacimleri dahil etme ile ilgilidir (A ⊂ B ve A ≠ B), bununla bağlantılı olarak, herhangi bir dikdörtgen bir dörtgendir. Bu nedenle, "dikdörtgen" kavramının "dörtgen" kavramına özel, "dörtgen" kavramının ise "dikdörtgen" kavramına göre genel olduğu söylenebilir.

A = B ise, A ve B kavramlarının aynı olduğu söylenir.

Örneğin, "eşkenar üçgen" ve "ikizkenar üçgen" kavramları hacimleri aynı olduğu için aynıdır.

Kavramlar arasındaki cins ve tür ilişkisini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

1. Her şeyden önce, cins ve tür kavramları görecelidir: aynı kavram bir kavramla ilgili olarak türsel olabilir ve bir başka kavramla ilgili olarak tür olabilir. Örneğin, "dikdörtgen" kavramı, "kare" kavramına göre genel ve "dörtgen" kavramına göre özeldir.

2. İkinci olarak, belirli bir kavram için genellikle birkaç genel kavram belirtmek mümkündür. Dolayısıyla, "dikdörtgen" kavramı için "dörtgen", "paralelkenar", "çokgen" kavramları geneldir. Bunlar arasında size en yakın olanı belirtebilirsiniz. "Dikdörtgen" kavramına en yakın olanı "paralelkenar" kavramıdır.

3. Üçüncüsü, tür kavramı, tür kavramının tüm özelliklerine sahiptir. Örneğin, bir "dikdörtgen" kavramına göre belirli bir kavram olan kare, bir dikdörtgenin doğasında bulunan tüm özelliklere sahiptir.

Bir kavramın kapsamı bir küme olduğu için, kavramların kapsamları arasında ilişkiler kurarken, onları Euler çemberleri kullanarak tasvir etmek uygundur.

Örneğin, aşağıdaki a ve b kavram çiftleri arasında bir ilişki kuralım, eğer:

1) a - "dikdörtgen", b - "eşkenar dörtgen";

2) a - "çokgen", b - "paralelkenar";

3) a - "düz", b - "segment".

Kümeler arasındaki ilişkiler sırasıyla şekilde gösterilmiştir.

2. Kavramların tanımı. Tanımlanmış ve tanımlanmamış kavramlar.

Yeni kavramların ve dolayısıyla bu kavramları ifade eden yeni terimlerin matematikte ortaya çıkışı, onların tanımını gerektirir.

Tanım genellikle yeni bir terimin (veya atamanın) özünü açıklayan bir cümle olarak adlandırılır. Kural olarak, bu daha önce tanıtılan kavramlar temelinde yapılır. Örneğin, bir dikdörtgen şu şekilde tanımlanabilir: "Dikdörtgen, tüm köşeleri doğru olan dörtgen olarak adlandırılır." Bu tanımın iki bölümü vardır - tanımlanan kavram (dikdörtgen) ve tanımlayıcı kavram (tüm dik açıları olan bir dörtgen). Birinci kavramı a ile, ikinci kavramı b ile gösterirsek, bu tanım şu şekilde temsil edilebilir:

a (tanım gereği) b.

"(Tanım gereği)" kelimeleri genellikle ⇔ sembolü ile değiştirilir ve ardından tanım şöyle görünür:

Okurlar: "a, tanım gereği b'ye eşittir." Bu girişi şu şekilde de okuyabilirsiniz: “ve ancak ve ancak b.

Böyle bir yapıya sahip tanımlara denir. açık. Onları daha ayrıntılı olarak ele alalım.

"Dikdörtgen" tanımının ikinci kısmına dönelim.

Ayırt edilebilir:

1) "dörtgen" kavramı, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ "dikdörtgen" kavramına göre geneldir.

2) "tüm dik açılara sahip olmak" özelliği, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, olası tüm dörtgenlerden bir tür seçmenize olanak tanır - dikdörtgenler; bu bakımdan tür farkı denir.

Genel olarak, spesifik fark, tanımlanmış nesneleri genel kavramın kapsamından ayırmanıza izin veren ϶ᴛᴏ özelliklerdir (bir veya daha fazla).

Analizimizin sonuçları bir diyagram şeklinde sunulabilir:

"+" işareti "ve" parçacığının yerine kullanılır.

Her kavramın bir kapsamı olduğunu biliyoruz. a kavramı cins ve özgül farklılık yoluyla tanımlanırsa, hacmi - A kümesi - C kümesine (genel c kavramının hacmi) ait olan ve P özelliğine sahip olan nesneleri içerdiği söylenebilir:

A = (x/ x ∈ C ve P(x)).

Bir kavramın bir cins ve belirli bir farklılık yoluyla tanımlanması, esasen bilinen herhangi bir terim kümesinin yerine yeni bir terimin getirilmesine ilişkin koşullu bir anlaşma olduğundan, tanım hakkında doğru mu yanlış mı olduğunu söylemek mümkün değildir; ne kanıtlanmıştır ne de çürütülmüştür. Ancak, tanımları formüle ederken bir takım kurallara uyarlar. Onları arayalım.

1. Tanım şu şekilde olmalıdır: orantılı. Bu, tanımlanmış ve tanımlayıcı kavramların kapsamının eşleşmesi gerektiği anlamına gelir.

2. Tanımda (veya sistemlerinde) kısır döngü olmamalı. Bu, bir kavramın kendi başına tanımlanamayacağı anlamına gelir.

3. Tanım şu şekilde olmalıdır: açık. Örneğin, tanımlayıcı kavrama dahil edilen terimlerin anlamlarının, yeni kavramın tanımı tanıtıldığında bilinmesi gerekir.

4. Yukarıda formüle edilen kuralları göz önünde bulundurarak, aynı kavramı cins ve özgül farklılık üzerinden tanımlayın, farklı şekillerde olabilir. Böylece, bir kare şu şekilde tanımlanabilir:

a) bitişik kenarları eşit olan bir dikdörtgen;

b) köşegenleri birbirine dik olan bir dikdörtgen;

c) dik açılı bir eşkenar dörtgen;

d) Tüm kenarları eşit ve açıları dik olan bir paralelkenar.

Kavramın içeriğinde yer alan özelliklerin çokluğu nedeniyle aynı kavramın farklı tanımları mümkündür, tanımda sadece birkaçına yer verilmiştir. Ve sonra, teorinin daha fazla inşası için daha basit ve daha uygun olan olası tanımlardan biri seçilir.

Tanıdık bir kavramın tanımını yeniden oluşturmak veya yeni bir kavramın tanımını oluşturmak istiyorsak izlememiz gereken eylemlerin sırasını adlandıralım:

1. Tanımlanan kavramı (terimi) adlandırın.

2. En yakın genel kavramı (tanımlananla ilişkili olarak) belirtin.

3. Tanımlanan nesneleri jenerik kapsamından ayıran özellikleri listeleyin, yani belirli farkı formüle edin.

4. Kavramı tanımlamaya yönelik kuralların karşılanıp karşılanmadığını (orantılı olup olmadığını, kısır döngü olup olmadığını vb.) kontrol edin.

Matematiğin öğrettiği ve hepinizin öğrenmesi gereken beceriler arasında, büyük önem yeteneği var sınıflandırmak kavramlar.

Gerçek şu ki, matematik, diğer birçok bilim gibi, tek tek nesneleri veya fenomenleri değil, cüsseli. Yani, üçgenleri incelerken, herhangi bir üçgenin özelliklerini de incelersiniz ve bunlardan sonsuz sayıda vardır. Genel olarak, kural olarak herhangi bir matematiksel kavramın hacmi sonsuzdur.

Matematiksel kavramların nesnelerini ayırt etmek, özelliklerini incelemek için bu kavramlar genellikle türlere, sınıflara ayrılır. Sonuçta, genel özelliklere ek olarak, herhangi bir matematiksel kavramın çok daha fazlası vardır. önemli özellikler, bu kavramın tüm nesnelerine değil, yalnızca belirli bir türdeki nesnelere özgüdür. Böyle, dik üçgenler, herhangi bir üçgenin genel özelliklerine ek olarak, uygulama için çok önemli olan birçok özelliğe sahiptir, örneğin Pisagor teoremi, açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiler vb.

Matematiksel kavramların asırlık çalışma sürecinde, hayattaki sayısız uygulamaları sürecinde, diğer bilimlerde, bazıları özel tipler en çok sahip olmak ilginç özellikler En sık karşılaşılan ve pratikte uygulanan. Bu nedenle, sonsuz sayıda farklı dörtgen vardır, ancak pratikte, teknolojide en çok yalnızca belirli türleri kullanılır: kareler, dikdörtgenler, paralelkenarlar, eşkenar dörtgenler, yamuklar.

Bir kavramın kapsamının parçalara ayrılması, bu kavramın sınıflandırılmasıdır. Daha doğrusu, sınıflandırma, bir kavramın nesnelerinin birbiriyle ilişkili sınıflara (türler, türler) en çok göre dağılımı olarak anlaşılmaktadır. zorunlu özellikler(özellikler). Kavramın türlere (sınıflara) sınıflandırılmasının (bölünmesinin) yapıldığı işarete (mülkiyet) denir. temel sınıflandırma.

Bir kavramın doğru yapılandırılmış bir sınıflandırması, kavramın nesneleri arasındaki en temel özellikleri ve bağlantıları yansıtır, bu nesnelerin çokluğu arasında daha iyi gezinmeye yardımcı olur, bu nesnelerin bu nesnelerin uygulanması için en önemli olan özelliklerini belirlemeyi mümkün kılar. diğer bilimlerde ve günlük pratikte kavram.

Kavram, en önemli gerekçelerden birine veya birkaçına göre sınıflandırılır.

Bu nedenle üçgenler açılarının boyutlarına göre sınıflandırılabilir. Aşağıdaki türleri elde ederiz: dar açılı (tüm açılar dar), dikdörtgen (bir açı doğru, diğerleri dar), geniş açılı (bir açı geniş, geri kalanı dar). Üçgenleri bölmek için taraflar arasındaki oranları temel alırsak, şu türleri elde ederiz: çok yönlü, ikizkenar ve düzenli (eşkenar).

Bir kavramı çeşitli gerekçelerle sınıflandırmanız gerektiğinde bu daha zordur. Yani, dışbükey dörtgenler kenarların paralelliğine göre sınıflandırılırsa, özünde tüm dışbükey dörtgenleri iki kritere göre aynı anda bölmemiz gerekir: 1) bir çift karşılıklı kenar paraleldir veya değildir; 2) ikinci karşılıklı kenar çifti paraleldir veya değildir. Sonuç olarak, üç tür dışbükey dörtgen elde ederiz: 1) paralel olmayan kenarları olan dörtgenler; 2) bir çift paralel kenarlı dörtgenler - yamuk; 3) iki çift paralel kenarlı dörtgenler - paralelkenarlar.

Oldukça sık, kavram aşamalar halinde sınıflandırılır: önce, bir temele göre, daha sonra bazı türler başka bir temele göre alt türlere ayrılır, vb. Bir örnek, dörtgenlerin sınıflandırılmasıdır. İlk aşamada, dışbükeylik temelinde bölünürler. Daha sonra dışbükey dörtgenler karşılıklı kenarların paralelliğine göre bölünür. Buna karşılık, paralelkenarlar dik açıların varlığına vb. göre bölünür.

Sınıflandırma yapılırken belirli kurallara uyulmalıdır. Başlıcalarını belirtelim.

1. Sınıflandırmanın temeli olarak, belirli bir kavramın tüm nesnelerinin yalnızca ortak bir özelliği alınabilir. Bu nedenle, örneğin, cebirsel ifadelerin sınıflandırılması için, terimlerin bazı değişkenlerin güçlerinde düzenlenmesinin işaretini temel almak imkansızdır. Bu özellik tüm cebirsel ifadelerde ortak değildir, örneğin kesirli ifadeler veya tek terimli ifadeler için bir anlam ifade etmez. Sadece polinomlar bu özelliğe sahiptir, bu nedenle polinomlar ana değişkenin en yüksek derecesine göre sınıflandırılabilir.
2. Sınıflandırma için kavramların temel özellikleri (özellikleri) esas alınmalıdır. Cebirsel ifade kavramını tekrar düşünün. Bu kavramın özelliklerinden biri de cebirsel ifadede yer alan değişkenlerin bazı harflerle gösterilmesidir. Bu özellik geneldir, ancak gerekli değildir, çünkü ifadenin doğası, bu veya bu değişkenin hangi harfin belirtildiğine bağlı değildir. Yani cebirsel ifadeler x+y ve a+bözünde aynı ifadedir. Bu nedenle, değişkenlerin harflerle gösterilmesi temelinde ifadeleri sınıflandırmak gerekli değildir. Başka bir şey, cebirsel ifadelerin sınıflandırılması için, değişkenlerin bağlı olduğu eylem türlerinin, yani değişkenler üzerinde gerçekleştirilen eylemlerin işaretini esas alırsak. Bu ortak özellik çok önemlidir ve bu özelliğe göre sınıflandırma yapmak doğru ve faydalı olacaktır.
3. Sınıflandırmanın her aşamasında yalnızca bir temel uygulanabilir. Bir kavramı aynı anda iki farklı kritere göre sınıflandırmak mümkün değildir. Örneğin, üçgenleri hem boyuta hem de kenarlar arasındaki orana göre hemen sınıflandırmak imkansızdır, çünkü sonuç olarak ortak elemanları olan üçgen sınıfları elde ederiz (örneğin, dar açılı ve ikizkenar veya geniş açılı ve ikizkenar) , vb.). Aşağıdaki sınıflandırma gereksinimi burada ihlal edilmiştir: her aşamada yapılan sınıflandırma sonucunda ortaya çıkan sınıflar (türler) kesişmemelidir.
4. Aynı zamanda Herhangi bir nedenle sınıflandırma kapsamlı olmalıdır ve kavramın her bir nesnesi, sınıflandırmanın bir sonucu olarak tek ve yalnızca bir sınıfa düşmelidir.

Bu nedenle, tüm tam sayıların pozitif ve negatif olarak bölünmesi yanlıştır, çünkü sıfır tamsayı hiçbir sınıfa girmemiştir. Şunu söylemeliyiz: tamsayılar üç sınıfa ayrılır - pozitif, negatif ve sıfır sayısı.

Çoğu zaman, kavramları sınıflandırırken, yalnızca bazı sınıflar açıkça ayırt edilirken, diğerleri yalnızca ima edilir. Bu nedenle, örneğin, cebirsel ifadeleri incelerken, genellikle yalnızca bu tür ifadeler ayırt edilir: monomials, polinomlar, kesirli ifadeler, irrasyonel. Ancak bu türler tüm cebirsel ifade türlerini tüketmez, dolayısıyla böyle bir sınıflandırma eksik.

Cebirsel ifadelerin tam bir doğru sınıflandırması aşağıdaki gibi yapılabilir.

Cebirsel ifadelerin sınıflandırılmasının ilk aşamasında, rasyonel ve rasyonel olmayan olmak üzere iki sınıfa ayrılırlar. İkinci aşamada, rasyonel ifadeler tamsayı ve kesirli olarak ayrılır. Üçüncü aşamada, tamsayı ifadeleri tek terimlilere, polinomlara ve karmaşık tamsayı ifadelerine bölünür.

Bu sınıflandırma şu şekilde temsil edilebilir:

Görev 7

7.1. Rasyonel sayılar neden paritelerine göre sınıflandırılamaz?

7.2. Kavramın bölünmesinin doğru olup olmadığını belirleyin:

a) Değerler eşit veya eşit olmayabilir.

b) Fonksiyonlar ya artıyor ya da azalıyor.

c) İkizkenar üçgenler dar, sağ veya geniş olabilir.

d) Dikdörtgenler kareler ve eşkenar dörtgenlerdir.

7.3. "Geometrik şekil" kavramının düzlemin bir bölümünü işgal etme özelliğine göre bir bölümünü yapınız ve her türe örnek veriniz.

7.4. Rasyonel sayılar için olası sınıflandırma şemalarını oluşturun.

7.5. Aşağıdaki kavramlar için bir sınıflandırma şeması oluşturun:

a) bir dörtgen;

b) iki köşe.

7.6. Aşağıdaki kavramları sınıflandırın:

a) bir üçgen ve bir daire;

b) daire içindeki açılar;

c) iki daire;

d) düz çizgi ve daire;

e) ikinci dereceden denklemler;

f) iki bilinmeyenli birinci dereceden iki denklem sistemi.