Лекція №2

з математики

Тема: "Математичні поняття"

Математичні поняття

Визначення понять

Вимоги до визначення понять

Деякі види визначень

1. Математичні поняття

Поняття, які вивчаються в початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. У першу включаються поняття, пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами та його виміром.

Як же вивчити таку різноманітність різних понять?

Насамперед, треба мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.

У логіці поняття розглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети або явища) у їх суттєвих та загальних властивостях. Мовною формою поняття є слово чи група слів.

Скласти уявлення про об'єкт - це означає вміти відрізнити його з інших схожих із нею об'єктів. Математичні поняття мають низку особливостей. Головна у тому, що математичні об'єкти, про які потрібно скласти поняття, насправді немає. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, у геометрії вивчають форму та розміри предметів, не зважаючи на інші їх властивості: колір, масу, твердість тощо. Від цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова "предмет" кажуть геометрична фігура».

Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».

Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людини й у знаках і знаках, які утворюють математичну мову.

До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відносини матеріального світу, математика як користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування постає як многоступенчатый процес. У математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняттяфункції як відповідності є узагальненням понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.

Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять у початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями та види визначень понять.

2. Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями

Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.

Серед властивостей об'єкта розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають суттєвим для об'єкта, якщо вона притаманна цьому об'єкту і без нього не може існувати. Наприклад, для квадрата важливими є всі властивості, названі вище. Несуттєва для квадрата ABCD властивість "сторона AD горизонтальна". Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованою інакше (рис. 26).

Тому, щоб розуміти, що є даний математичний об'єкт, треба знати його суттєві властивості.

Коли говорять про математичне поняття, зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, що є квадратами. Вважають, що багато квадратів становить обсяг поняття «квадрат».

Взагалі Обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.

Будь-яке поняття має як обсяг, а й зміст.

Розглянемо, наприклад, поняття прямокутник.

Обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямі кути», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» і т.д.

Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст та навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та інших. ).

Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями. Тому важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.

Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їхніми обсягами, тобто. множинами.

Умовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, с,..., z.

Нехай задані два поняття а та b. Обсяги їх позначимо відповідно до А і В.

Якщо А В (А ≠ В), то кажуть, що поняття а - видове по відношенню до поняттяb, а поняття b- родове по відношенню до поняття а.

Наприклад, якщо а – «прямокутник», b – «чотирикутник», то їх обсяги А і В знаходяться щодо включення (А В і А ≠ В), оскільки кожен прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття "прямокутник" - видове по відношенню до поняття "чотирикутник", а поняття "чотирикутник" - родове по відношенню до поняття "прямокутник".

Якщо А = В, то кажуть, що поняття а іbтотожні.

Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» та «рівнокутний трикутник», оскільки їх обсяги збігаються.

Якщо множини А і В не пов'язані ставленням включення, то кажуть, що поняття а і b не є родом і видом і не тотожні. Наприклад, не пов'язані такими відносинами поняття «трикутник» та «прямокутник».

Розглянемо докладніше відношення роду та виду між поняттями. По-перше, поняття роду та виду відносні: одне й те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття та видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат" і видове по відношенню до поняття "чотирикутник".

По-друге, для даного поняттячасто можна зазначити кілька пологів. Так, для поняття «прямокутник» родовими є поняття «чотирьохкутник», «паралелограм», «багатокутник». Серед них можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».

По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям стосовно поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.

Оскільки обсяг поняття - безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх з допомогою кіл Ейлера.

Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а та Ь, якщо:

1) а – «прямокутник», b – «ромб»;

2) а – «багатокутник», b – «паралелограм»;

3) а – «пряма», b – «відрізок».

У разі 1) обсяги понять перетинаються, але не одна множина не є підмножиною іншої (рис. 27).

Отже, можна стверджувати, що дані поняття а та b не знаходяться щодо роду та виду.

Що стосується 2) обсяги даних поняття перебувають у відношенні включення, але з збігаються - кожен паралелограм є багатокутником, але з навпаки (рис. 28). Отже, можна стверджувати, що поняття "паралелограм" - видове по відношенню до поняття "багатокутник", а поняття "багатокутник" - родове по відношенню до поняття "паралелограм".

У разі 3) обсяги понять не перетинаються, оскільки ні про один відрізок не можна сказати, що він є прямим, і жодна пряма не може бути названа відрізком (рис. 29).

Отже, дані поняття не знаходяться щодо роду та виду.

Про поняття «пряма» та «відрізок» можна сказати, що вони знаходяться щодо цілого та частини:відрізок-частина прямий, а чи не її вид. І якщо видове поняття має всі властивості родового поняття, то частина не обов'язково має всі властивості цілого. Наприклад, відрізок не має таку властивість пряму, як її нескінченність.

Формування елементарних математичних понять молодшого школяра

Є.Ю. Тогобецька, магістрант кафедри педагогіки та методик викладання

Тольяттінський педагогічний університет, Тольятті (Росія)

Ключові слова: математичні поняття, абсолютні поняття, відносні поняття, визначення.

Анотація: У шкільній практиці багато вчителів домагаються від учнів заучування визначень понять і вимагають знання їх основних властивостей, що доводяться. Проте результати такого навчання, зазвичай, незначні. Це тому, що більшість учнів, застосовуючи поняття, засвоєні у шкільництві, спираються на малоістотні ознаки, істотні ознаки понять учні усвідомлюють і відтворюють лише за відповіді питання, які потребують визначення поняття. Часто учні безпомилково відтворюють поняття, тобто виявляють знання його суттєвих ознак, але застосувати ці знання практично не можуть, спираються ті випадкові ознаки, виділені завдяки безпосередньому досвіду. Процесом засвоєння понять можна управляти, формувати їх із заданими якостями.

Keywords: математичні concepts, absolute concepts, relative concepts, definitions.

Annotation: У школі практики багато школярів виходять з літератури з визначенням концепцій і знання своїх основоположних властивостей. Хоча результати такого тренування є зазвичай незначним. Це випадки тому, що велику кількість pupils, застосовуючи концепції, придбані в школі, pupils lean against unimportant signs, essential signs of concepts realise and reproduce only on the answer to the questions demanding definition of concept. Залежно від pupils unmistakably reproduce concepts, що є виконано з значень своїх значних сигналів, але put this knowledge в практику може бути, повідомлено, що casual signs встановлюються тільки до перших-hand experience. Process of mastering of concepts it is possible to operate, for them with the set qualities.

При засвоєнні наукових знань учні початкової школи стикаються з різними видами понять. Невміння учня диференціювати поняття призводить до неадекватного засвоєння.

Логіка в поняттях розрізняє обсяг та зміст. Під обсягом розуміється той клас об'єктів, які належать до цього поняття, об'єднуються ним. Так, обсяг поняття трикутник входить усі безліч трикутників незалежно від своїх конкретних параметрів (видів кутів, розміру сторін та інших.).

Під змістом понять розуміється та система істотних властивостей, якою відбувається об'єднання даних об'єктів у єдиний клас. Щоб розкрити зміст поняття, слід шляхом порівняння встановити які ознаки необхідні і достатні для виділення його ставлення до інших предметів. До того часу, доки встановлено зміст і ознаки, не зрозуміла сутність предмета, який відбивається цим поняттям, неможливо точно і чітко відмежувати цей предмет від суміжних із нею, відбувається плутанина мислення.

Наприклад, понятті трикутник до таких властивостей відносяться такі: замкнута фігура, що складається з трьох відрізків прямої. Сукупність властивостей, якими об'єднуються об'єкти в єдиний клас, називаються необхідними і достатніми ознаками. В одних поняттях ці ознаки доповнюють одна одну, утворюючи разом той зміст, яким і об'єднуються об'єкти в єдиний клас. Прикладом таких понять можуть бути трикутник, кут, бісектриса та багато інших.

Сукупність даних об'єктів, куди поширюється це поняття, становить логічний клас об'єктів. Логічний клас об'єктів - це сукупність об'єктів, мають загальні ознаки, унаслідок чого вони виражаються загальним поняттям. Логічний клас об'єктів та обсяг відповідного поняття збігаються. Поняття діляться на види за змістом та обсягом залежно від характеру та кількості об'єктів, на які вони поширюються. За обсягом математичні поняття поділяються на поодинокі та загальні. Якщо обсяг поняття входить лише одне предмет, воно називається одиничним.

Приклади одиничних понять: "найменше двозначне число", "цифра 5", "квадрат, довжина сторони якого 10 см", "коло радіусом 5 см". Загальні поняття відображає ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більшим за обсяг одного елемента. Приклади загальних понять: «безліч двозначних чисел», «трикутники», «рівняння», «нерівності», «числа кратні 5», «підручники математики для початкової школи». За змістом розрізняють поняття кон'юнктивні та диз'юнктивні, абсолютні та конкретні, безвідносні та відносні.

Поняття називаються кон'юнктивними, якщо їх ознаки взаємопов'язані і окремо жоден їх дозволяє пізнати об'єкти цього класу, ознаки пов'язані союзом «і». Наприклад, об'єкти, що належать до поняття трикутник, обов'язково повинні складатися з трьох відрізків прямий і замкнутими.

В інших поняттях відношення між необхідними та достатніми ознаками інші: вони не доповнюють одне одного, а замінюють. Це означає, що одна ознака є еквівалентом іншої. Прикладом такого виду відносин між ознаками можуть бути ознаки рівності відрізків, кутів. Відомо, що до класу рівних відрізків відносяться такі відрізки, які: або збігаються при накладенні; б) або порізно дорівнюють третьому; в) або складаються з рівновеликих частин тощо.

У разі перелічені ознаки не потрібні все одночасно, як і має місце при кон'юнктивному типі понять; тут досить якогось однієї ознаки з усіх перерахованих: кожен їх еквівалентний будь-якому з інших. З огляду на це ознаки пов'язані союзом «або». Такий зв'язок ознак називається диз'юнкцією, а поняття відповідно називають диз'юнктивними. Важливо також враховувати розподіл понять на абсолютні та відносні.

Абсолютні поняття об'єднують предмети у класи за певними ознаками, що характеризують суть цих предметів як таких. Так, у понятті кут відбито властивості, що характеризують сутність будь-якого кута як такого. Аналогічно становище з багатьма іншими геометричними поняттями: коло, промінь, ромб тощо.

Відносні поняття об'єднують об'єкти у класи за властивостями, що характеризують їхнє ставлення до інших об'єктів. Так, у понятті перпендикулярні прямі фіксується те, що характеризує відношення двох прямих один до одного: перетин, освіта при цьому прямого кута. Аналогічно у понятті число відображено відношення вимірюваної величини та прийнятого зразка. Відносні поняття викликають у учнів серйозніші проблеми, ніж поняття абсолютні. Суть труднощів у тому, що школярі не враховують відносність понять і оперують із нею як із поняттями абсолютними. Так, коли вчитель просить учнів зобразити перпендикуляр, деякі з них зображають вертикаль. Особливу увагу слід приділити поняттю число.

Число - це відношення того, що піддається кількісній оцінці (довжина, вага, об'єм та ін) до еталона, який використовується для цієї оцінки. Вочевидь, що залежить як від вимірюваної величини, і від еталона. Чим більше вимірювана величина, тим більше буде число при тому самому зразку. Навпаки, що більше буде зразок (заходу), то менше буде число в оцінці однієї й тієї величини. Отже, учні від початку повинні зрозуміти, що порівняння чисел за величиною можна робити лише тоді, коли за ними стоїть той самий еталон. Справді, якщо, наприклад, п'ять отримано при вимірі довжини сантиметрами, а три - при вимірі метрами, три позначають більшу величину, ніж п'ять. Якщо учні не зрозуміють відносної природи числа, то вони будуть відчувати серйозні труднощі і при вивченні системи числення. Проблеми у засвоєнні відносних понять зберігаються в учнів й у середніх, і навіть у старших класах школи. Між змістом і обсягом поняття існує залежність: що менший обсяг поняття, то більше вписувалося його зміст.

Наприклад, поняття «квадрат» має менший обсяг, ніж обсяг поняття «прямокутник», оскільки будь-який квадрат - це прямокутник, але не кожен прямокутник є квадратом. Тому поняття «квадрат» має більше змісту, ніж поняття «прямокутник»: квадрат має всі властивості прямокутника та деякі інші (у квадрата всі сторони рівні, діагоналі взаємно перпендикулярні).

У процесі мислення кожне поняття немає окремо, а входить у певні зв'язку й відносини коїться з іншими поняттями. У математиці важливою формою зв'язку є родовидова залежність.

Наприклад, розглянемо поняття «квадрат» та «прямокутник». Обсяг поняття квадрат є частиною обсягу поняття прямокутник. Тому перше називають видовим, а друге – родовим. У родовидових відносинах слід розрізняти поняття найближчого роду та наступні родові щаблі.

Наприклад, для виду "квадрат" найближчим родом буде рід "прямокутник", для прямокутника найближчим родом буде рід "паралелограм", для "паралелограма" - "чотирикутник", для "чотирикутника" - "багатокутник", а для "багатокутника"- плоска постать».

В початкових класахвперше кожне поняття вводиться наочно шляхом спостереження конкретних предметів або практичного оперування (наприклад, за рахунку їх). Вчитель спирається на знання та досвід дітей, які вони придбали ще в до шкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна чи терміна та символу. Така методика роботи над математичними поняттями в початковій школізначить, що у цьому курсі не використовуються різні види визначень.

Визначити поняття - це перерахувати всі суттєві ознаки об'єктів, що входять у це поняття. Словове визначення поняття називається терміном. Наприклад, "число", "трикутник", "коло", "рівняння" - терміни.

Визначення вирішує два завдання: виділяє і відмежовує якесь певне поняття від інших і показує ті основні ознаки, без яких не може існувати поняття і від яких залежать всі інші ознаки.

Визначення може бути більш менш глибоким. Це залежить від рівня знань про поняття, що значиться. Чим краще ми його знаємо, тим більша ймовірність, що ми зможемо дати йому краще визначення. У практиці навчання молодших школярів застосовуються явні та неявні визначення. Явні визначення мають форму рівності чи збігу двох понять.

Наприклад: «Пропедевтика є вступом у будь-яку науку». Тут прирівнюють один до одного два поняття – «пропедевтика» та «вступ до будь-якої науки». У визначенні "Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні" маємо збіг понять. У навчанні молодших школярів особливий інтерес серед неявних визначень становлять контекстуальні та остенсивні визначення.

Будь-який уривок із тексту, будь-який контекст, у якому трапляється поняття, яке нас цікавить, є, у певному розумінні, неявним його визначенням. Контекст ставить поняття у зв'язку з іншими поняттями і цим розкриває її зміст.

Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а та (а - 3) 2, якщо а = 7», «прочитати вирази, які є сумами», «прочитати вирази , і потім прочитати рівняння», ми розкриваємо поняття «математичний вираз» як запис, що складається з чисел або змінних та знаків дій. Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємося в повсякденному житті- Це контекстуальні визначення. Почувши невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного. Подібне має місце й у навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як "великий - маленький", "який-небудь", "будь-який", "один", "багато", "число", "арифметичну дію", "рівняння", "завдання" і і т.д.

Контекстуальні визначення залишаються здебільшогонеповними та незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і більше наукового визначення.

Остенсивні визначення - це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом є не уривок будь-якого тексту, а ситуація, у якій виявляється об'єкт, позначений поняттям. Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок чи паперову модель) і каже «Дивіться – це квадрат». Це типове остенсивне визначення.

У початкових класах остенсивні визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний тощо) колір», «лівий - правий», «зліва направо», «цифра», «попереднє та наступне число», «знаки арифметичних дій», «знаки порівняння», «трикутник», «чотирьохкутник», «куб» тощо.

На основі засвоєння остенсивним шляхом значень слів є можливість вводити у словник дитини вже вербальне значення нових слів та словосполучень. Остенсивні визначення – і лише вони – пов'язують слово з речами. Без них мова - лише словесне мереживо, яке не має об'єктивного, предметного змісту. Зауважимо, що у початкових класах допустимі визначення на кшталт «Словом «п'ятикутник» ми називатимемо багатокутник із п'ятьма сторонами». Це так зване "номінальне визначення". У математиці застосовуються різні явні визначення. Найбільш поширене з них - визначення через найближчий рід та видову ознаку. Родовидове визначення ще називають класичним.

Приклади визначень через рід і видову ознаку: «Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні», «Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні», «Прямокутником називається паралелограм, у якого кути прямі», «Квадратом називається прямокутник, в якому сторони рівні», «Квадратом називається ромб, що має прямі кути».

Розглянемо визначення квадрата. У першому визначенні найближчим родом буде прямокутник, а видовою ознакою - всі сторони рівні. У другому визначенні найближчий рід «ромб», а видова ознака – «прямі кути». Якщо взяти не найближчий рід («паралелограм»), то видових ознак квадрата буде два «Квадратом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі».

У родовидовому відношенні знаходяться поняття «складання (віднімання, множення, поділ)» та «арифметична дія», поняття «гострий (прямий, тупий) кут» та «кут». Прикладів явних родовидових відносин серед безлічі математичних понять, які у початкових класах, негаразд і багато. Але з урахуванням важливості визначення через рід і видову ознаку надалі навчання бажано домагатися розуміння учнями сутності визначення цього виду вже в початкових класах.

Окремі визначення можуть розглядати поняття і за способом утворення або виникнення. Визначення такого типу називають генетичним. Приклади генетичних визначень: «Кут – це промені, які виходять з однієї точки», «Діагональ прямокутника – відрізок, який сполучає протилежні вершини прямокутника». У початкових класах генетичні визначення застосовують для таких понять, як "відрізок", "ламана", "прямий кут", "коло". До генетичних понять можна віднести і визначення через список.

Наприклад, "Натуральний ряд чисел - це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.". Деякі поняття у початкових класах вводять лише через термін. Наприклад, одиниці часу рік, місяць, година, хвилина. Існують у початкових класах поняття, які подаються символічною мовою у вигляді рівності, наприклад, а 1= а, а 0=0

З вище сказаного можна дійти невтішного висновку, що у початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхнево, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються лише деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це є закономірним. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння та своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять – одна з умов формування у учнів твердих знань про ці поняття.

Список літератури:

1. Богданович М.В. Визначення математичних понять // Початкова школа 2001. - №4.

2. Глузман Н. А. Формування узагальнених прийомів розумової діяльності у молодших школярів. – Ялта: КМДІ, 2001. – 34 с.

3. Дрозд В.Л. Урбан М.А. Від маленьких проблем – до великих відкриттів. //Початкова школа. – 2000. – № 5.

Міністерство освіти Республіки Білорусь

«Гомельський державний університетім. Ф. Скорини»

Математичний факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математичні поняття

Виконавець:

Студентка групи М-32

Молодцова О.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент

Лебедєва М.Т.

Гомель 2007

Вступ

Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після невеликої кількості повторень, тому доцільно спочатку запропонувати їх запам'ятати, та був навчити застосовувати до вирішення завдань.

роздільним.

1. Обсяг та зміст поняття. Класифікація понять

Об'єкти реальної дійсності мають: а) єдині властивості, що виражають його відмінні властивості (наприклад, рівняння третього ступеня з однією змінною - кубічне рівняння); б) загальними властивостями, які можуть бути характерними, якщо виражають суттєві властивості об'єкта (його ознаки), що виділяють його з багатьох інших об'єктів.

Термін "поняття" використовується для позначення уявного образу деякого класу об'єктів, процесів. Психологи виділяють три форми мислення:

1) поняттями (наприклад, медіана – відрізок, що з'єднує вершину з протилежною стороною трикутника);

2) судженнями (наприклад, для кутів довільного трикутника справедливо:);

3) умовиводами (наприклад, якщо a>b і b>c, то a>c).

Характерними для форми мислення поняттямиє: а) це продукт високоорганізованої матерії; б) відбиває матеріальний світ; в) постає у пізнанні як засіб узагальнення; г) означає специфічно людську діяльність; д) його формування у свідомості невіддільне від його вираження у вигляді мови, запису або символу.

Математичне поняття відображає у нашому мисленні певні форми та відносини дійсності, абстраговані від реальних ситуацій. Їх формування відбувається за схемою:

Кожне поняття поєднує безліч об'єктів чи відносин, зване обсягом поняття, а характеристичні властивості, властиві всім елементам цієї множини і лише їм, що виражають зміст поняття.

Наприклад, математичне поняття – чотирикутник. Його Об `єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кути, 4 вершини (характеристичні властивості).

Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від чуттєвого ступеня до логічного відбувається за допомогою узагальнення:або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм – чотирикутник – багатокутник); або через загальні ознаки у поєднанні з особливими чи поодинокими, що призводить до конкретного поняття.

У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, зміст розширюється.

Наприклад:

багатокутники – паралелограми;

Трикутники – рівносторонні трикутники.

Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, друге поняття називається родовим, По відношенню до першого; а перше називається видовимпо відношенню до другого. Наприклад: паралелограм – ромб (рід) (Вигляд).

Процес з'ясування обсягу поняття називається класифікацією, Схема якої виглядає так:

нехай дано безліч і деяке властивість і нехай є елементи, як які володіють, так і не володіють цією властивістю. Нехай:

Виділимо в нову властивість і проведемо розбиття за цією властивістю:

Наприклад: 1) класифікація числових множин, що відбивають розвиток поняття числа; 2) класифікація трикутників: а) з боків; б) за кутами.

Завдання №1.Багато трикутників зобразимо за допомогою точок квадрата.

Властивість рівнобедреності;

Властивість прямокутності;

Чи існують трикутники, які мають ці властивості одночасно?

2. Математичні визначення. Типи помилок у визначенні понять

Заключний етап формування поняття – його визначення, тобто. ухвалення умовної угоди. Під визначенням розуміється перерахування необхідних та достатніх ознак поняття, зведених у зв'язне речення (мовленнєве або символічне).

2.1 Способи визначення понять

Спочатку виділяють невизначені поняття, на підставі яких визначаються математичні поняття такими способами:

1) через найближчий рід та видову відмінність: а) дескриптивне(з'ясовує процес, з якого визначення побудовано, чи описує внутрішню будову залежно від операцій, з яких дане визначеннябуло побудовано з невизначених понять); б) конструктивне(або генетичне), що вказує на походження поняття.

Наприклад: а) прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі; б) коло називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола.

2) індуктивно.Наприклад, визначення арифметичної прогресії:

3) через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класів еквівалентних кінцевих множин;

4) аксіоматичне (непряме визначення). Наприклад, визначення площі фігури в геометрії: для простих фігур площа – це позитивна величина, чисельне значенняякої має наступні властивості: а) рівні фігури мають рівні площі; б) якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; в) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці виміру, дорівнює одиниці.

2.2 Явні та неявні визначення

Визначення поділяються на:

а) явні, у яких чітко виділені визначальне та визначальні поняття (наприклад, визначення через найближчий рід та видову відмінність);

б) неявні, Які будуються за принципом заміни одного поняття іншим з ширшим обсягом і закінчення ланцюжка є поняття, тобто. формально-логічне визначення (наприклад, квадрат - ромб з прямим кутом; ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами; паралелограм - чотирикутник, з попарно паралельними сторонами; чотирикутник - фігура, що складається з 4 кутів, 4 вершин, 4 сторін). В шкільних визначенняхнайчастіше практикується перший спосіб, схема якого така: маємо безліч і деяку властивість тоді

Основна вимога при побудові визначень: визначається безліч має бути підмножиною мінімальної множини. Наприклад, порівняємо два визначення: (1) Квадрат є ромб із прямим кутом; (2) Квадрат є паралелограм з рівними сторонами та прямим кутом (надлишкове).

Будь-яке визначення є вирішення завдання на “доказ існування”. Наприклад, прямокутний трикутник є трикутником із прямим кутом; його існування – побудова.

2.3. Характеристика основних типів помилок

Зазначимо типові помилки, що зустрічаються в учнів щодо понять:

1) використання не мінімальної множини як визначального, включення логічно залежних властивостей (характерно при повторенні матеріалу).

Наприклад: а) паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні та паралельні; б) пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона, перетинаючись із цією площиною, утворює прямий кут з кожною прямою, проведеною на площині через точку перетину, замість: “пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до всіх прямих цієї площини”;

2) використання визначеного поняття та як визначального.

Наприклад, визначається прямий кут не як один із рівних суміжних кутів, а як кути із взаємно перпендикулярними сторонами;

3) тавтологія - визначається поняття через саме це поняття.

Наприклад, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності;

4) іноді у визначенні вказується чи то визначальне безліч, з якого виділяється визначається підмножина.

Наприклад, "медіана є пряма ..." замість "медіана є відрізок, що з'єднує ...";

5)у визначеннях, що даються учнями, іноді зовсім відсутнє поняття, що визначається,що можливе лише тоді, коли учні не привчені давати повні відповіді.

Методика виправлення помилок у визначеннях передбачає, спочатку, з'ясування суті допущених помилок, та був попередження їх повторення.

3. Структура визначення

1) Кон'юнктивна структура: дві точки і називаються симетричними щодо прямої p( A(x)), якщо ця пряма p перпендикулярна до відрізку і проходить через його середину. Будемо також вважати, що кожна точка прямої р симетрична собі щодо прямої р (наявність союзу "і") (* - "Бісектрисою кута називається промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл").

2)Конструктивна структура: “Нехай – дана фігура та р – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку фігури та опустимо перпендикуляр на пряму р. На продовження перпендикуляра за точку відкладемо відрізок, який дорівнює відрізку. Перетворення фігури на фігуру, у якому кожна точка перетворюється на точку, побудовану вказаним чином, називають симетрією щодо прямої р.”

3) Диз'юнктивна структура: визначення множини Zцілих чисел можна записати мовою властивостей як Z Nабо Nабо =0, де N -безліч чисел, протилежних натуральним.

4. Характеристика основних етапів вивчення математичних понять

Методика роботи над визначенням передбачає: 1) знання визначення; 2) навчання розпізнавання об'єкта, що відповідає даному визначенню; 3) побудова різних контрприкладів. Наприклад, поняття “прямокутний трикутник” та робота з розпізнавання його складових елементів:

Вивчення математичних визначень можна поділити на три етапи:

1-й етап - запровадження - створення під час уроці ситуації, коли учні чи самі “відкривають” нове, самостійно формують їм визначення, або просто готуються до розуміння.

2-й етап - забезпечення засвоєння - зводиться до того, щоб школярі:

а) навчилися застосовувати визначення;

б) швидко та безпомилково запам'ятовувати їх;

в) розуміли кожне слово у їх формулюваннях.

3-й етап - закріплення - здійснюється на наступних уроках і зводиться до повторення їх формулювань та опрацювання навичок застосування до вирішення завдань.

Ознайомлення з новими поняттями проводяться:

1 спосіб: учні готуються до самостійного формування визначення.

2 спосіб: учні готуються до свідомого сприйняття, розуміння нового математичного речення, формулювання якого їм повідомляється потім у готовому вигляді.

3 спосіб: вчитель сам формулює нове визначення без будь-якої підготовки, а потім зосереджує зусилля учнів на їх засвоєнні та закріпленні.

1 і 2 спосіб являють собою евристичний метод, 3 спосіб - догматичний. Використання будь-якого із способів має відповідати рівню підготовленості класу та досвіду вчителя.

5. Характеристика прийомів запровадження понять

Можливі наступні прийоми під час запровадження понять:

1) можна скласти вправи, які дозволяють учням швидко сформулювати визначення нового поняття.

Наприклад: а) Виписати кілька перших членів послідовності (), яка має =2, . Така послідовність називається геометричною прогресією. Спробуйте сформулювати її визначення. Можна обмежитись підготовкою до сприйняття нового поняття.

б) Виписати кілька перших членів послідовності (), що має =4, Далі вчитель повідомляє, що така послідовність називається арифметичною прогресією і сам повідомляє її визначення.

2) щодо геометричних понять вправи формулюються в такий спосіб, щоб учні побудували самі необхідну постать і змогли виділити ознаки нового поняття, необхідних формулювання определения.

Наприклад: побудуйте довільний трикутник, з'єднайте відрізком його вершину із серединою протилежної сторони. Такий відрізок називається медіаною. Сформулюйте визначення медіани.

Іноді пропонується скласти модель або, розглядаючи готові моделі та креслення, виділити ознаки нового поняття та сформулювати його визначення.

Наприклад: введено у 10 класі визначення паралелепіпеда. За запропонованими моделями похилого, прямого і прямокутного паралелепіпедів виділити ознаки, якими ці поняття розрізняються. Сформулювати відповідні визначення прямого та прямокутного паралелепіпедів.

3) Багато алгебраїчні поняття вводяться виходячи з розгляду приватних прикладів.

Наприклад: графік лінійної функції є пряма.

4)Метод доцільних завдань,(розроблений С.І. Шохором-Троцьким) За допомогою спеціально підібраного завдання учні приходять до висновку про необхідність запровадження нового поняття та доцільності надання йому саме такого сенсу, який воно вже має у математиці.

У 5-6 класах таким методом вводяться поняття: рівняння, корінь рівняння, розв'язання нерівностей, поняття дій складання, віднімання, множення, поділу над натуральними числами, десятковими та звичайними дробами тощо.

Конкретно-індуктивний метод

Сутність:

а) розглядаються конкретні приклади;

б) виділяються суттєві властивості;

в) формулюється визначення;

г) виконуються вправи: на розпізнавання; на конструювання;

д) робота над властивостями, не включеними до визначення;

е) застосування властивостей.

Наприклад: тема - паралелограми:

1, 3, 5 – паралелограми.

б) суттєві ознаки: чотирикутник, попарна паралельність сторін.

в) розпізнавання, побудова:

г) знайти (побудувати) четверту вершину паралелограма (* - завдання №3, ст.96, Геометрія 7-11 клас: Скільки можна побудувати паралелограмів з вершинами у трьох заданих точках, що не лежать на одній прямій? Побудуйте їх.).

д) інші властивості:

AC і BD перетинаються в точці О і АО=ОС, ВО=ОD; АВ = CD, AD = BC.

е) А = С, В = D.

Закріплення: розв'язання задач №4-23, стор.96-97, Геометрія 7-11, Погорєлов.

Перспективне значення:

а) використовується при вивченні та визначенні прямокутника та ромба;

б) принцип паралельності та рівності відрізків, укладених між паралельними прямими у теоремі Фалеса;

в) поняття паралельного перенесення (вектора);

г) властивість паралелограма використовується під час виведення площі трикутника;

д) паралельність та перпендикулярність у просторі; паралелепіпед; призма.

Абстрактно-дедуктивний метод

Сутність:

а) визначення поняття: - Квадратне рівняння;

б) виділення істотних властивостей: х – змінна; a, b, c – числа; а?0 при

в) конкретизація поняття: - наведене; приклади рівнянь

г) вправи: на розпізнавання, конструювання;

д) вивчення властивостей, не включених до визначення: коріння рівняння та їх властивості;

е) розв'язання задач.

У школі абстрактно-дедуктивний спосіб застосовується тоді, коли нове поняття повністю підготовлено вивченням попередніх понять, зокрема вивченням найближчого пологового поняття, а видове відмінність нового поняття дуже просте і зрозуміле учням.

Наприклад: визначення ромба після вивчення паралелограма.

Крім того, зазначений метод використовується:

1) при складанні “родоводу” визначення поняття:

Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

Чотирьохкутник - фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків.

Інакше кажучи, родовід є ланцюжком понять, побудованих через узагальнення попереднього поняття, фіналом якого є невизначене поняття (нагадаємо, що в курсі шкільної геометрії до таких відносяться точка, фігура, площина, відстань (лежати між));

2) класифікація;

3) застосовується до доказів теорем та вирішення завдань;

4) широко використовується у процесі актуалізації знань.

Розглянемо цей процес, представлений системою задач:

а) Даний прямокутний трикутник зі сторонами 3см та 4см. Знайти довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.

б) Довести, що медіана, проведена з вершини прямого кута трикутника, дорівнює половині гіпотенузи.

в) Довести, що у прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить навпіл кут між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

г) На продовженні найбільшої сторони АС трикутника АВС відкладено відрізок СМ, що дорівнює стороні ВС. Довести, що АВМ тупий.

Найчастіше у шкільному викладанні застосовується конкретно-індуктивний метод. Зокрема, таким методом вводяться поняття в пропедевтичних циклах початків алгебри та геометрії в 1-6 класах, причому багато визначальних понять вводяться описово, без строгих формулювань.

Незнання вчителем різних методів запровадження визначень призводить до формалізму, який проявляється так:

а) учні не можуть застосувати визначення у незвичній ситуації, хоч і пам'ятають його формулювання.

Наприклад: 1) вважають функцію - парною, т.к. "cos" - парна;

2) - не розуміють зв'язок між монотонністю функції та розв'язанням нерівності, тобто. що неспроможні застосовувати відповідні визначення, у яких основний прийом дослідження полягає у оцінці знака різниці значень функції, тобто. у розв'язанні нерівності.

б) учні мають навички розв'язання завдань якого-небудь типу, але не можуть пояснити, на підставі яких визначень, аксіом, теорем вони виконують ті чи інші перетворення.

Наприклад: 1) – перетворити згідно з цією формулою і 2) уявіть, що на столі – модель чотирикутної піраміди. Який багатокутник буде підставою для цієї піраміди, якщо модель покласти на стіл бічною гранню? (Чотирикутник).

Процес формування знань, умінь та навичок не обмежується повідомленням нових знань.

Ці знання мають бути засвоєні та закріплені.

6. Методика забезпечення засвоєння математичних понять (пропозицій)

1. Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після невеликої кількості повторень, тому доцільно спочатку запропонувати їх запам'ятати, та був навчити застосовувати до вирішення завдань.

Метод, у якому процеси запам'ятовування визначень та формування навичок їх застосування протікають в учнів неодночасно (роздільно), називають роздільним.

Роздільний метод використовується при вивченні визначень хорди, трапеції, парної та непарної функції, теорем Піфагора, ознак паралельності прямих, теореми Вієта, властивостей числових нерівностей, правил множення звичайних дробів, додавання дробів з однаковими знаменниками тощо.

Методика:

а) вчитель формулює нове визначення;

б) учні класу для запам'ятовування повторюють його 1-3 рази;

в) відпрацьовується на заняттях.

2. Компактний методполягає в тому, що учні читають частинами математичне визначення або речення і в ході читання одночасно виконують вправу.

Читаючи формулювання кілька разів, вони попутно запам'ятовують його.

Методика:

а) підготовка математичної пропозиції до застосування. Визначення розбивається на частини за ознаками, теорема – на умову та висновок;

б) зразок дій, запропонований вчителем, який показує, як працювати з підготовленим текстом: читаємо його частинами і одночасно виконуємо вправи;

в) учні частинами читають визначення і одночасно виконують вправи, керуючись підготовленим текстом і зразком вчителя;

Наприклад: визначення бісектриси у п'ятому класі:

1) введення поняття проводиться методом доцільних завдань на моделі кута;

2) виписується визначення: "Промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини, називається бісектрисою кута ";

3) виконується завдання: вказати, які лінії на кресленнях є бісектрисами кутів (рівні кути позначаються однаковим числом дуг).

На одному із креслень вчитель показує застосування визначення (див. далі);

4) робота продовжується учнями.

3. Комбінація роздільного та компактного методу : після виведення нового правила воно повторюється 2-3 рази, а потім вчитель вимагає у процесі виконання вправ формулювати правило частинами.

4. Алгоритмічний метод використовується для формування навичок застосування математичних речень.

Методика: математичні речення замінюються алгоритмом. Читаючи по черзі вказівки алгоритму, учень вирішує завдання. Таким чином у нього формується навичка застосування визначення, аксіоми та теореми. У цьому допускається або наступне заучування визначення, або прочитання разом із алгоритмом і визначення.

Основні етапи методу:

а) підготовка до роботи списку вказівок, який або дається у готовому вигляді, з наступним роз'ясненням, або учні підбиваються для його самостійного складання;

б) зразок відповіді вчителя;

в) аналогічно працюють учні.

Роздільний та компактний методи застосовуються при вивченні визначень. Алгоритмічний може бути застосований тільки при вивченні визначень, що важко засвоюються (наприклад, необхідні і достатні умови). Найбільш широко алгоритмічний метод використовується для формування навичок розв'язання задач.

7. Методика закріплення математичних понять та пропозицій

1й прийом:

вчитель пропонує сформулювати та застосувати ті чи інші визначення, аксіоми, теореми, які зустрічаються під час вирішення завдань.

Наприклад: побудувати графік функції; визначення парної (непарної) функції; необхідна та достатня умова існування.

2й прийом:

вчитель пропонує сформулювати ряд визначень, теорем, аксіом під час фронтального опитування, про те, щоб повторити їх і заразом перевірити, чи пам'ятають їх учні. Цей прийом поза розв'язанням задач не ефективний. Можливо поєднувати фронтальне опитування зі спеціальними вправами, які вимагають від учнів уміння застосовувати визначення, теореми, аксіоми. різних ситуаціях, вміння швидко орієнтуватися за умови завдання.

Висновок

Знання визначення не гарантує засвоєння поняття. Методична роботаз поняттями повинна бути спрямована на подолання формалізму, який проявляється в тому, що учні не можуть розпізнати об'єкт, що визначається, в різних ситуаціях, де він зустрічається.

Розпізнавання об'єкта, відповідного даному визначенню, і побудова контрприкладів можливе лише за ясному уявленні структури аналізованого визначення, під якою у схемі визначення () розуміють структуру правої частини.

Література

1. К.О. Ананченко « Загальна методикавикладання математики в школі», Мн., «Університетське», 1997 р.

2. Н.М. Рогановський «Методика викладання в середній школі», Мн., « вища школа», 1990

3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічне завдання», М., «Освіта», 1998 р.

4. Н.М. «Математична лабораторія», М., «Освіта», 1997

5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Освіта», 1999

6. А.А. Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000

Подібні документи

Основи методик вивчення математичних понять. Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять. Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах. Психологічні аспекти формування понять.

дипломна робота , доданий 08.08.2007


Сутність формування понять, його загальна схема та особливості, етапи реалізації та можливі шляхи. Класифікація понять та її методика для математичних дисциплін. Визначення як завершальний етап формування поняття, його різновиди та особливості.

реферат, доданий 24.04.2009


"Поняття" в психолого-педагогічній, філософській, навчально-методичної літератури. Види та визначення математичних понять у початковій математиці. Роль, функції класифікації для формування понять. Система формування математичних понять.

дипломна робота , доданий 23.11.2008


Психолого-педагогічні засади формування наукових понять. Сутність та джерела вітагенного навчання. Методи та прийоми виявлення та актуалізації вітагенного досвіду учнів. Формування наукових понять як педагогічна проблема. Види наукових понять.

дипломна робота , доданий 13.12.2009


Аналіз основних математичних понять. Методика вивчення табличних випадків множення та поділу. Завдання для самостійної роботиучнів. Реалізація індивідуального підходу у навчанні. Вправи засвоєння таблиці множення, прийоми перевірки знань.

дипломна робота , доданий 13.12.2013


стаття, доданий 15.09.2009


Наочність як засвоєння граматичних понять. Система вивчення граматичних понять під час уроків російської з використанням наочності. Результати експерименту щодо визначення рівня вивчення граматичних понять молодшими школярами.

дипломна робота , доданий 03.05.2015


Компоненти математичних здібностей, ступінь їхнього прояву в молодшому шкільному віці, природні передумови та умови формування. Основні форми та методика проведення позакласної роботи: гурткові заняття, математичні вечори, олімпіади, ігри.

дипломна робота , доданий 06.11.2010


Методика ознайомлення учнів з аксіомами у курсі шкільної геометрії, традиційно-синтетичний координатно-векторний методи, роль аксіом у побудові шкільного курсу. Методика введення понять та теорем, схема вивчення ознак рівності трикутників.

реферат, доданий 07.03.2010


Особливості вивчення математики у початковій школі відповідно до Федерального державного освітнього стандарту початкової загальної освіти. Зміст курсу. Аналіз основних математичних понять. Сутність індивідуального підходу у дидактиці.

Лекція 5. Математичні поняття

1. Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями

2. Визначення понять. Визначаються та невизначені поняття.

3. Способи визначення понять.

4. Основні висновки

Поняття, що вивчаються у початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. У першу включаються поняття, пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. .д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами та його виміром.

Щоб вивчати всю різноманітність понять, потрібно мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.

У логіці поняттярозглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети та явища) у їх суттєвих і загальних властивостейах. Мовною формою поняття є слово (термін) чи група слів.

Скласти поняття про об'єкт - це означає вміти відрізнити його з інших схожих із нею об'єктів. Математичні поняття мають низку особливостей. Головна полягає в тому, що математичні об'єкти, про які дуже важливо скласти поняття, насправді не існують. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не враховуючи інші характеристики: колір, масу, жорсткість і т.д. Від цього абстрагуються. З цієї причини у геометрії замість слова "предмет" кажуть "геометрична фігура".

Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».

Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людини й у знаках і знаках, які утворюють математичну мову.

До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми та кількісні відносини матеріального світу, математика як користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування постає як многоступенчатый процес. У математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності є узагальненням понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.

1. Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями

Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.

Серед властивостей об'єкту розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають істотним для об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата істотними є всі характеристики, названі вище. Несуттєва для квадрата АВСD властивість «сторона АВ горизонтальна».

Коли говорять про математичне поняття, то зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном(словом чи групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, що є квадратами. Вважають, що багато всіх квадратів становить обсяг поняття «квадрат».

Взагалі, обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.

Будь-яке поняття має як обсяг, а й зміст.

Розглянемо, наприклад, поняття «прямокутник».

Обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» тощо.

Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» міститься більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні») та ін.).

Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями. З цієї причини важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.

Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їх обсягами, тобто. множинами.

Умовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, c, d, …, z.

Нехай задані два поняття а та b. Обсяги їх позначимо відповідно до А і В.

Якщо А ⊂ В (А ≠ В), то кажуть, що поняття а – видове по відношенню до поняття b, а поняття b – родове по відношенню до поняття а.

Наприклад, якщо а – «прямокутник», b – «чотирьохкутник», то їх обсяги А і В знаходяться щодо включення (А ⊂ В і А ≠ В), у зв'язку з цим кожен прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття «прямокутник» - видове по відношенню до поняття «чотирикутник», а поняття «чотирикутник» - родове по відношенню до поняття «прямокутник».

Якщо А = В, то кажуть, що поняття А і В тотожні.

Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» і «рівностегновий трикутник», оскільки їх обсяги збігаються.

Розглянемо докладніше відношення роду та виду між поняттями.

1. Насамперед, поняття роду та виду відносні: одне й те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття та видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат" і видове по відношенню до поняття "чотирикутник".

2. По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька пологів. Так, для поняття «прямокутник» родовими є поняття «чотирьохкутник», «паралелограм», «багатокутник». Серед зазначених можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».

3. По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям стосовно поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.

Оскільки обсяг поняття – безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображувати їх з допомогою кіл Ейлера.

Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а і b, якщо:

1) а - "прямокутник", b - "ромб";

2) а - "багатокутник", b - "паралелограм";

3) а - "пряма", b - "відрізок".

Відносини між множинами відображені на малюнку відповідно

2. Визначення понять. Визначаються та невизначені поняття.

Поява в математиці нових понять, отже, і нових термінів, що позначають ці поняття, передбачає їх визначення.

Визначеннямзазвичай називають пропозицію, що роз'яснює суть нового терміна (або позначення). Як правило, роблять це на основі раніше запроваджених понять. Наприклад, прямокутник можна визначити так: "Прямокутником прийнято називати чотирикутник, у якого всі кути прямі". У цьому визначенні є дві частини - поняття (прямокутник), що визначається, і визначальне поняття (чотирикутник, у якого всі кути прямі). Якщо позначити через а перше поняття, а через b - друге, то дане визначення можна представити в такому вигляді:

а є (за визначенням) b.

Слова «є (за визначенням)» зазвичай замінюють символом ⇔, і тоді визначення виглядає так:

Читають: «а рівносильно b за визначенням». Можна прочитати цей запис ще й так: а тоді і тільки тоді, коли b.

Визначення, що мають таку структуру, називаються явними. Розглянемо їх докладніше.

Звернемося до другої частини визначення «прямокутник».

У ньому можна виділити:

1) поняття «чотирикутник», ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ є родовим по відношенню до поняття «прямокутник».

2) властивість «мати всі кути прямі», що дозволяє виділити з усіляких чотирикутників один вид - прямокутники; у зв'язку з цим його називають видовою відзнакою.

Взагалі видова відмінність - це властивості (одне або кілька), які дозволяють виділити об'єкти, що визначаються з обсягу родового поняття.

Підсумки нашого аналізу можна подати у вигляді схеми:

Знак «+» використовується як заміна «і».

Нам відомо, що будь-яке поняття має обсяг. Якщо поняття а визначено через рід і видову відмінність, то про його обсяг - безліч А - можна сказати, що в ньому містяться такі об'єкти, які належать безлічі С (обсягу родового поняття с) і мають властивість Р:

А = (х/х ∈ С та Р(х)).

Так як визначення поняття через рід і видову відмінність є по суті умовною угодою про введення нового терміна для заміни будь-якої сукупності відомих термінів, то про визначення не можна сказати, чи вірне воно чи неправильне; його не доводять та не спростовують. Але, формулюючи визначення, дотримуються низки правил. Назвемо їх.

1. Визначення має бути пропорційним. Це означає, що обсяги визначального та визначального понять повинні співпадати.

2. У визначенні (або їх системі) не повинно бути порочного кола. Це означає, що не можна визначати поняття через себе.

3. Визначення має бути ясним. Потрібно, наприклад, щоб значення термінів, що входять у визначальне поняття, були відомі на момент введення визначення нового поняття.

4. Те саме поняття визначити через рід і видову відмінність, дотримуючись сформульованих вище правил, можна по-різному. Так, квадрат можна визначити як:

а) прямокутник, у якого сусідні сторони рівні;

б) прямокутник, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні;

в) ромб, який має прямий кут;

г) паралелограм, у якого всі сторони рівні, а кути прямі.

Різні визначення однієї й тієї ж поняття можливі тому, що з великої кількості властивостей, що входять у зміст поняття, у визначення включаються лише деякі. І тоді з можливих визначень вибирають одне, виходять з того, яке з них простіше і доцільніше для подальшої побудови теорії.

Назвемо ту послідовність дій, яку ми повинні дотримуватися, якщо хочемо відтворити визначення знайомого поняття або побудувати визначення нового:

1. Назвати поняття (термін).

2. Вказати найближче родове поняття (стосовно визначеного) поняття.

3. Перерахувати властивості, що виділяють об'єкти, що визначаються, з обсягу родового, тобто сформулювати видову відмінність.

4. Перевірити, чи виконані правила визначення поняття (чи пропорційно воно, чи немає порочного кола тощо).

Серед умінь, яким вчить математика і яким усім вам потрібно вчитися, велике значеннямає вміння класифікуватиконцепції.

Справа в тому, що математика, як і багато інших наук, вивчає не поодинокі предмети чи явища, а масові. Так, коли ви вивчаєте трикутники, то вивчаєте властивості будь-яких трикутників, а їх безліч. Взагалі обсяг будь-якого математичного поняття, як правило, нескінченний.

Щоб розрізняти об'єкти математичних понять, вивчити їх властивості, зазвичай ці поняття ділять на види, класи. Адже, крім загальних властивостей, будь-яке математичне поняття має ще багато важливими властивостями, притаманні не всім об'єктам цього поняття, лише об'єктам деякого виду. Так, прямокутні трикутники, крім загальних властивостей будь-яких трикутників, володіють багатьма властивостями, дуже важливими для практики, наприклад теорема Піфагора, співвідношеннями між кутами та сторонами тощо.

У процесі багатовікового вивчення математичних понять, у процесі їх численних застосувань у житті, в інших науках з їхнього обсягу було виділено якісь особливі види, що мають найбільш цікаві властивості, які найчастіше зустрічаються та застосовуються в практиці. Так, різних чотирикутників існує нескінченно багато, але на практиці, у техніці найбільше застосування мають лише певні їх види: квадрати, прямокутники, паралелограми, ромби, трапеції.

Розподіл обсягу деякого поняття на частини є класифікація цього поняття. Більш точно під класифікацією розуміють розподіл об'єктів будь-якого поняття на взаємопов'язані класи (види, типи) суттєвим ознакам(властивостей). Ознака (властивість), за яким проводиться класифікація (розподіл) поняття на види (класи), називається основоюкласифікації.

Правильно побудована класифікація поняття відбиває найбільш суттєві властивості та зв'язки між об'єктами поняття, допомагає краще орієнтуватися в багатьох цих об'єктів, дає можливість встановлювати такі властивості цих об'єктів, які найбільш важливі для застосування цього поняття в інших науках та життєвій практиці.

Класифікація поняття проводиться за однією або декількома найбільш істотними підставами.

Так, трикутники можна класифікувати за величиною кутів. Отримуємо такі види: гострокутні (всі кути гострі), прямокутні (один кут прямий, інші гострі), тупо-вугільні (один кут тупий, інші гострі). Якщо ж за основу розподілу трикутників прийняти співвідношення між сторонами, то отримуємо такі види: різнобічні, рівнобедрені та правильні (рівносторонні).

Складніше, коли доводиться класифікувати поняття з кількох підстав. Так, якщо опуклі чотирикутники класифікувати за паралельністю сторін, то, по суті, нам потрібно розділити всі опуклі чотирикутники одночасно за двома ознаками: 1) одна пара протилежних сторін паралельна чи ні; 2) друга пара протилежних сторін паралельна чи ні. Отримуємо в результаті три види опуклих чотирикутників: 1) чотирикутники з не паралельними сторонами; 2) чотирикутники з однією парою паралельних сторін – трапеції; 3) чотирикутники з двома парами паралельних сторін – паралелограми.

Дуже часто роблять класифікацію поняття поетапно: спочатку по одному підставі, потім деякі види поділяють на підвиди з іншої підстави і т. д. Прикладом може бути класифікація чотирикутників. На першому етапі їх ділять за ознакою опуклості. Потім опуклі чотирикутники ділять за ознакою паралельності протилежних сторін. У свою чергу, паралелограми ділять за ознакою наявності прямих кутів і т.д.

При проведенні класифікації необхідно дотримуватися певних правил. Вкажемо головні їх.

1. Як основу класифікації можна брати лише загальну ознаку всіх об'єктів даного поняття.Так, наприклад, не можна як основу класифікації алгебраїчних виразів брати ознаку розташування членів за ступенями якоїсь змінної. Ця ознака не є загальною для всіх алгебраїчних виразів, наприклад для дробових виразів або одночленів вона не має сенсу. Цією ознакою мають лише багаточлени, тому багаточлени можна класифікувати найвищою мірою головної змінної.
2. Підставою для класифікації треба брати суттєві властивості (ознаки) понять.Розглянемо знову поняття виразу алгебри. Однією з властивостей цього поняття є те, що змінні, що входять до виразу алгебри, позначаються якимись літерами. Ця властивість є загальною, але не є суттєвою, бо від того, якою літерою позначена та чи інша змінна, характер вираження не залежить. Так, алгебраїчні вирази х+уі а+b- це насправді один і той ж вираз. Тому класифікувати вирази за ознакою позначення змінних літерами не слід. Інша річ, якщо за основу класифікації алгебраїчних виразів взяти ознаку виду дій, за допомогою яких змінні з'єднані, тобто дії, що здійснюються над змінними. Ця загальна ознака дуже суттєва, і класифікація за цією ознакою буде правильною та корисною.
3. На кожному етапі класифікації можна застосовувати лише одну якусь основу.Не можна одночасно класифікувати поняття за двома різними ознаками. Наприклад, не можна класифікувати трикутники одразу і за величиною та за співвідношенням між сторонами, бо в результаті ми отримаємо класи трикутників, які мають спільні елементи (наприклад, гострокутні та рівнобедрені або туповугільні та рівнобедрені тощо). Тут порушено таку вимогу до класифікації: у результаті класифікації кожному етапі одержувані класи (види) нічого не винні перетинатися.
4. В той же час Класифікація з будь-якої основи повинна бути вичерпною і кожен об'єкт поняття повинен потрапити в результаті класифікації в один і лише один клас.

Тому поділ всіх цілих чисел на позитивні і негативні невірно, бо ціле число нуль у своїй не потрапило до жодного з класів. Треба говорити так: цілі числа діляться на три класи – позитивні, негативні та число нуль.

Часто при класифікації понять явно виділяються лише деякі класи, інші лише маються на увазі. Так, наприклад, при вивченні виразів алгебри зазвичай виділяють лише такі їх види: одночлени, многочлени, дробові вирази, ірраціональні. Але ці види не вичерпують всіх видів алгебраїчних виразів, тому така класифікація є неповної.

Повна правильна класифікація алгебраїчних виразів може бути проведена в такий спосіб.

На першому ступені класифікації алгебраїчних виразів вони поділяються на два класи: раціональні та нераціональні. На другому ступені раціональні вирази діляться на цілі та дробові. На третьому ступені цілі вирази поділяються на одночлени, багаточлени і складні цілі вирази.

Цю класифікацію можна представити у вигляді наступної

Завдання 7

7.1. Чому не можна класифікувати раціональні числа щодо їх парності?

7.2. Встановіть, чи правильно поділ поняття:

а) Величини можуть бути рівними та нерівними.

б) Функції бувають зростаючі та спадні.

в) рівнобедрені трикутники можуть бути гострокутними, прямокутними та тупокутними.

г) Прямокутники бувають квадрати та ромби.

7.3. Виконайте розподіл поняття "геометрична фігура" за якістю займати частину поверхні і наведіть приклади кожного виду.

7.4. Збудуйте можливі схеми класифікації раціональних чисел.

7.5. Побудуйте схему класифікації таких понять:

а) чотирикутник;

б) два кути.

7.6. Проведіть класифікацію таких понять:

а) трикутник та коло;

б) кути в колі;

в) два кола;

г) пряма та коло;

д) квадратні рівняння;

е) система двох рівнянь першого ступеня із двома невідомими.