ლექცია #2

მათემატიკა

თემა: "მათემატიკური ცნებები"

მათემატიკური ცნებები

ცნებების განმარტება

ცნებების განმარტების მოთხოვნები

გარკვეული სახის განმარტებები

1. მათემატიკური ცნებები

მათემატიკის საწყის კურსზე შესწავლილი ცნებები, როგორც წესი, წარმოდგენილია ოთხი ჯგუფის სახით. პირველი მოიცავს ციფრებთან და მათზე მოქმედებებთან დაკავშირებულ ცნებებს: რიცხვი, შეკრება, ტერმინი, მეტი და ა.შ. მეორეში შედის ალგებრული ცნებები: გამოხატულება, ტოლობა, განტოლება და ა.შ. მესამე მოიცავს გეომეტრიულ ცნებებს: სწორი ხაზი, სეგმენტი, სამკუთხედი და ა.შ. დ. მეოთხე ჯგუფს ქმნიან რაოდენობასთან და მათ გაზომვასთან დაკავშირებული ცნებები.

როგორ შევისწავლოთ სხვადასხვა ცნებების ასეთი სიმრავლე?

უპირველეს ყოვლისა, უნდა გქონდეთ კონცეფცია, როგორც ლოგიკური კატეგორია და მათემატიკური ცნებების მახასიათებლები.

ლოგიკაში ცნებები განიხილება, როგორც აზროვნების ფორმა, რომელიც ასახავს ობიექტებს (ობიექტებს ან ფენომენებს) მათი არსებითი და ზოგადი თვისებებით. ცნების ენობრივი ფორმა არის სიტყვა ან სიტყვათა ჯგუფი.

ობიექტის შესახებ კონცეფციის შედგენა ნიშნავს, რომ შეძლოს მისი გარჩევა მის მსგავსი სხვა ობიექტებისგან. მათემატიკური ცნებები აქვს მთელი რიგი მახასიათებლები. მთავარი ის არის, რომ მათემატიკური ობიექტები, რომლებზეც აუცილებელია კონცეფციის ჩამოყალიბება, სინამდვილეში არ არსებობს. მათემატიკური საგნები იქმნება ადამიანის გონებით. ეს არის იდეალური ობიექტები, რომლებიც ასახავს რეალურ ობიექტებს ან ფენომენებს. მაგალითად, გეომეტრიაში სწავლობენ საგნების ფორმას და ზომას, მათი სხვა თვისებების გათვალისწინების გარეშე: ფერი, მასა, სიმტკიცე და ა.შ. ამ ყველაფრისგან ისინი განადგურდებიან, აბსტრაქტულნი არიან. ამიტომ, გეომეტრიაში, სიტყვის "ობიექტის" ნაცვლად ამბობენ " გეომეტრიული ფიგურა».

აბსტრაქციის შედეგია აგრეთვე ისეთი მათემატიკური ცნებები, როგორიცაა „რიცხვი“ და „მნიშვნელობა“.

ზოგადად, მათემატიკური ობიექტები არსებობს მხოლოდ ადამიანის აზროვნებაში და იმ ნიშნებსა და სიმბოლოებში, რომლებიც ქმნიან მათემატიკურ ენას.

ამას შეიძლება დაემატოს ის, რომ მატერიალური სამყაროს სივრცითი ფორმებისა და რაოდენობრივი ურთიერთობების შესწავლისას მათემატიკა არა მხოლოდ იყენებს აბსტრაქციის სხვადასხვა მეთოდებს, არამედ თავად აბსტრაქცია მოქმედებს როგორც მრავალსაფეხურიანი პროცესი. მათემატიკაში განიხილება არა მხოლოდ ცნებები, რომლებიც გაჩნდა რეალური ობიექტების შესწავლისას, არამედ ცნებები, რომლებიც წარმოიშვა პირველის საფუძველზე. Მაგალითად, ზოგადი კონცეფციაფუნქციები, როგორც კორესპონდენცია არის კონკრეტული ფუნქციების ცნებების განზოგადება, ე.ი. აბსტრაქცია აბსტრაქციებიდან.

მათემატიკის საწყის კურსში ცნებების შესწავლის ზოგადი მიდგომების დაუფლებისთვის მასწავლებელს სჭირდება ცოდნა ცნების ფარგლებსა და შინაარსზე, ცნებებს შორის ურთიერთობისა და ცნებების განმარტებების ტიპების შესახებ.

2. ცნების ფარგლები და შინაარსი. ცნებებს შორის ურთიერთობა

ყველა მათემატიკურ ობიექტს აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, კვადრატს აქვს ოთხი გვერდი, ოთხი მართი კუთხე დიაგონალის ტოლი. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ სხვა თვისებებიც.

საგნის თვისებებს შორის გამოიყოფა არსებითი და არაარსებითი. საკუთრება არსებითად ითვლება ობიექტისთვის, თუ იგი თანდაყოლილია ამ ობიექტში და მის გარეშე ის ვერ იარსებებს. მაგალითად, კვადრატისთვის, ყველა ზემოთ ნახსენები თვისება აუცილებელია. თვისება "გვერდი AD არის ჰორიზონტალური" არ არის არსებითი ABCD კვადრატისთვის. თუ კვადრატი შემოტრიალებულია, მაშინ გვერდი AD განსხვავებულად განთავსდება (სურ. 26).

ამიტომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის მოცემული მათემატიკური ობიექტი, უნდა იცოდეთ მისი არსებითი თვისებები.

მათემატიკური ცნების შესახებ საუბრისას, როგორც წესი, გულისხმობენ ერთი ტერმინით (სიტყვა ან სიტყვათა ჯგუფის) აღმნიშვნელ საგანთა ერთობლიობას. ამრიგად, კვადრატზე საუბრისას, ისინი გულისხმობენ ყველა გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც არის კვადრატი. ითვლება, რომ ყველა კვადრატის სიმრავლე არის "კვადრატის" კონცეფციის ფარგლები.

Საერთოდ კონცეფციის ფარგლები არის ყველა ობიექტის ერთობლიობა, რომელიც აღინიშნება ერთი ტერმინით.

ნებისმიერ კონცეფციას აქვს არა მხოლოდ ფარგლები, არამედ შინაარსიც.

განვიხილოთ, მაგალითად, "მართკუთხედის" კონცეფცია.

კონცეფციის ფარგლები არის სხვადასხვა მართკუთხედების ნაკრები და მისი შინაარსი მოიცავს მართკუთხედების ისეთ თვისებებს, როგორიცაა "აქვს ოთხი მართი კუთხე", "აქვს თანაბარი საპირისპირო მხარეები", "აქვს თანაბარი დიაგონალები" და ა.შ.

არსებობს კავშირი კონცეფციის მოცულობასა და მის შინაარსს შორის: თუ კონცეფციის მოცულობა იზრდება, მაშინ მისი შინაარსი მცირდება და პირიქით. ასე, მაგალითად, „კვადრატის“ ცნების ფარგლები „მართკუთხედის“ ცნების ფარგლების ნაწილია, ხოლო „კვადრატის“ ცნების შინაარსი შეიცავს უფრო მეტ თვისებას, ვიდრე „მართკუთხედის“ ცნების შინაარსი. ("ყველა მხარე თანაბარია", "დიაგონალები ურთიერთ პერპენდიკულარულია" და ა.შ.). ).

ნებისმიერი კონცეფციის ათვისება შეუძლებელია სხვა ცნებებთან მისი ურთიერთობის გაცნობიერების გარეშე. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რა ურთიერთობებში შეიძლება იყოს ცნებები და შეძლოთ ამ კავშირების დამყარება.

ცნებებს შორის ურთიერთობა მჭიდროდ არის დაკავშირებული მათ მოცულობებს შორის, ე.ი. კომპლექტი.

მოდით შევთანხმდეთ ცნებების აღნიშვნაზე ლათინური ანბანის მცირე ასოებით: a, b, c, ..., z.

მიეცით ორი a და b ცნება. ავღნიშნოთ მათი ტომები, შესაბამისად A და B.

Თუ B (A ≠ B), შემდეგ ისინი ამბობენ, რომ კონცეფცია ა - სპეციფიკური კონცეფციის მიმართბდა კონცეფცია ბ- ზოგადი კონცეფციის მიმართ ა.

მაგალითად, თუ a არის „მართკუთხედი“, b არის „ოთხკუთხედი“, მაშინ მათი ტომები A და B მიმართულია ჩართვასთან (A B და A ≠ B), რადგან ყველა მართკუთხედი არის ოთხკუთხედი. აქედან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ „მართკუთხედის“ ცნება სპეციფიკურია „ოთხკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში, ხოლო „ოთხკუთხედის“ ცნება ზოგადია „მართკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში.

თუ A = B, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ცნებები ა დაბიდენტურია.

მაგალითად, "ტოლგვერდა სამკუთხედის" და "ტოლკუთხა სამკუთხედის" ცნებები იდენტურია, რადგან მათი მოცულობა იგივეა.

თუ A და B სიმრავლეები არ არის დაკავშირებული ინკლუზიური მიმართებით, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ ცნებები a და b არ არის დაკავშირებული გვართან და სახეობასთან და არ არის იდენტური. მაგალითად, "სამკუთხედის" და "მართკუთხედის" ცნებები არ არის დაკავშირებული ასეთი მიმართებით.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ გვარისა და სახეობის ურთიერთობა ცნებებს შორის. პირველი, გვარისა და სახეობის ცნებები ფარდობითია: ერთი და იგივე ცნება შეიძლება იყოს ზოგადი ერთ ცნებასთან მიმართებაში და სახეობა მეორესთან მიმართებაში. მაგალითად, „მართკუთხედის“ ცნება ზოგადია „კვადრატის“ ცნებასთან მიმართებაში და სპეციფიკური „ოთხკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში.

მეორეც, ამისთვის ეს კონცეფციახშირად შესაძლებელია რამდენიმე ზოგადი კონცეფციის დაზუსტება. ასე რომ, "მართკუთხედის" კონცეფციისთვის ზოგადია "ოთხკუთხედი", "პარალელოგრამი", "მრავალკუთხედი" ცნებები. მათ შორის, შეგიძლიათ მიუთითოთ უახლოესი. "მართკუთხედის" კონცეფციისთვის ყველაზე ახლოს არის "პარალელოგრამის" ცნება.

მესამე, კონკრეტულ კონცეფციას აქვს ზოგადი კონცეფციის ყველა თვისება. მაგალითად, კვადრატს, როგორც სახეობის კონცეფციას "მართკუთხედის" კონცეფციასთან მიმართებაში, აქვს მართკუთხედის თანდაყოლილი ყველა თვისება.

იმის გამო, რომ კონცეფციის ფარგლები არის კომპლექტი, მოსახერხებელია ცნებების ფარგლებს შორის ურთიერთობების დამყარებისას მათი გამოსახვა ეილერის წრეების გამოყენებით.

დავადგინოთ, მაგალითად, ურთიერთობა a და b ცნებების შემდეგ წყვილებს შორის, თუ:

1) a - "მართკუთხედი", b - "რომბი";

2) a - "მრავალკუთხედი", b - "პარალელოგრამი";

3) a - "სწორი ხაზი", b - "სეგმენტი".

1-ში) ცნებების ტომები იკვეთება, მაგრამ არც ერთი ნაკრები არ არის მეორის ქვესიმრავლე (ნახ. 27).

აქედან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ ეს ცნებები a და b არ არის დაკავშირებული გვართან და სახეობასთან.

მე-2 შემთხვევაში, ამ ცნებების მოცულობები დაკავშირებულია ჩართვასთან, მაგრამ არ ემთხვევა - ყველა პარალელოგრამი მრავალკუთხედია, მაგრამ არა პირიქით (სურ. 28). აქედან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ „პარალელოგრამის“ ცნება სპეციფიკურია „მრავალკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში, ხოლო „მრავალკუთხედის“ ცნება ზოგადია „პარალელოგრამის“ ცნებასთან მიმართებაში.

მე-3 შემთხვევაში ცნებების მოცულობები არ იკვეთება, ვინაიდან არცერთ სეგმენტს არ შეიძლება ითქვას, რომ არის სწორი ხაზი და არცერთ სწორ ხაზს არ შეიძლება ეწოდოს სეგმენტი (ნახ. 29).

აქედან გამომდინარე, ეს ცნებები არ არის დაკავშირებული გვართან და სახეობებთან.

„სწორი ხაზის“ და „სეგმენტის“ ცნებების შესახებ შეიძლება ითქვას, რომ ისინი მთლიანსა და ნაწილთან მიმართებაშია:სეგმენტი არის ხაზის ნაწილი და არა მისი ტიპი. და თუ კონკრეტულ ცნებას აქვს ზოგადი კონცეფციის ყველა თვისება, მაშინ ნაწილს სულაც არ აქვს მთლიანის ყველა თვისება. მაგალითად, სეგმენტს არ აქვს ისეთი სწორი ხაზის თვისება, როგორიც არის მისი უსასრულობა.

უმცროსი მოსწავლის ელემენტარული მათემატიკური ცნებების ფორმირება

ე.იუ. ტოგობეცკაია, პედაგოგიკისა და სწავლების მეთოდოლოგიის კათედრის მაგისტრანტი

ტოლიატის პედაგოგიური უნივერსიტეტი, ტოლიატი (რუსეთი)

საკვანძო სიტყვები: მათემატიკური ცნებები, აბსოლუტური ცნებები, ფარდობითი ცნებები, განმარტებები.

Ანოტაცია: სასკოლო პრაქტიკაში ბევრი მასწავლებელი ცდილობს მოსწავლეებს დაიმახსოვრონ ცნებების განმარტებები და მოითხოვონ ცოდნა მათი ძირითადი დასამტკიცებელი თვისებების შესახებ. თუმცა, ასეთი ტრენინგის შედეგები, როგორც წესი, უმნიშვნელოა. ეს იმიტომ ხდება, რომ მოსწავლეთა უმრავლესობა სკოლაში ნასწავლი ცნებების გამოყენებისას ეყრდნობა უმნიშვნელო ნიშნებს, ხოლო მოსწავლეები აცნობიერებენ და ამრავლებენ ცნებების არსებით ნიშნებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც პასუხობენ კითხვებს, რომლებიც ცნების განმარტებას მოითხოვს. ხშირად სტუდენტები ზუსტად ახდენენ ცნებების რეპროდუცირებას, ანუ აღმოაჩენენ ცოდნას მისი არსებითი მახასიათებლების შესახებ, მაგრამ მათ არ შეუძლიათ ამ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება, ისინი ეყრდნობიან იმ შემთხვევით მახასიათებლებს, რომლებიც გამოვლენილია უშუალო გამოცდილებით. ცნებების ათვისების პროცესი შეიძლება გაკონტროლდეს, ისინი ჩამოყალიბდეს მოცემული თვისებებით.

საკვანძო სიტყვები: მათემატიკური ცნებები, აბსოლუტური ცნებები, ფარდობითი ცნებები, განმარტებები.

Აბსტრაქტული: სასკოლო პრაქტიკაში ბევრი მასწავლებელი აღწევს მოსწავლეებს ცნებების განმარტებებისა და მათი ძირითადი დადასტურებული თვისებების მოთხოვნილების სწავლაში. თუმცა, ასეთი ტრენინგის შედეგები, როგორც წესი, უმნიშვნელოა. ეს ხდება იმის გამო, რომ მოსწავლეთა უმრავლესობა სკოლაში შეძენილი ცნებების გამოყენებით, მოსწავლეები ეყრდნობიან უმნიშვნელო ნიშნებს, ცნებების არსებითი ნიშნები აცნობიერებენ და მრავლდებიან მხოლოდ ცნების განმარტების მოთხოვნილ კითხვებზე პასუხზე. ხშირად მოსწავლეები უტყუარად ამრავლებენ ცნებებს, ანუ იგებენ ცოდნას მისი არსებითი ნიშნების შესახებ, მაგრამ ამ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება არ შეუძლიათ, დაეყრდნონ იმ შემთხვევით ნიშნებს, რომლებიც გამოყოფილია პირველი გამოცდილების წყალობით. ცნებების დაუფლების პროცესი შესაძლებელია მოქმედებდეს, ჩამოყალიბდეს დასახული თვისებებით.

მეცნიერული ცოდნის დაუფლებისას დაწყებითი კლასების მოსწავლეები სხვადასხვა ტიპის ცნებების წინაშე დგანან. მოსწავლის ცნებების დიფერენცირების უუნარობა იწვევს მათ არაადეკვატურ ასიმილაციას.

ლოგიკა ცნებებში განასხვავებს მოცულობას და შინაარსს. მოცულობა გაგებულია, როგორც ობიექტების კლასი, რომელიც ეკუთვნის ამ კონცეფციას, გაერთიანებულია მასში. ასე რომ, სამკუთხედის კონცეფციის ფარგლები მოიცავს სამკუთხედების მთელ კომპლექტს, მიუხედავად მათი სპეციფიკური მახასიათებლებისა (კუთხის ტიპები, გვერდების ზომა და ა.შ.).

ცნებების შინაარსი გაგებულია, როგორც არსებითი თვისებების სისტემა, რომლის მიხედვითაც ეს ობიექტები გაერთიანებულია ერთ კლასში. კონცეფციის შინაარსის გამოსავლენად, შედარებით უნდა დადგინდეს, რა ნიშნებია საჭირო და საკმარისი იმისათვის, რომ ხაზი გავუსვა მის ურთიერთობას სხვა ობიექტებთან. სანამ შინაარსი და მახასიათებლები არ არის დადგენილი, ამ კონცეფციით ასახული ობიექტის არსი გაურკვეველია, შეუძლებელია ამ ობიექტის ზუსტად და მკაფიოდ გამოყოფა მის მახლობლად, ხდება აზროვნების დაბნეულობა.

მაგალითად, სამკუთხედის კონცეფცია, ასეთი თვისებები მოიცავს შემდეგს: დახურული ფიგურა, შედგება სამი ხაზის სეგმენტისგან. თვისებების ერთობლიობას, რომლითაც ობიექტები გაერთიანებულია ერთ კლასში, ეწოდება აუცილებელი და საკმარისი თვისებები. ზოგიერთ კონცეფციაში ეს მახასიათებლები ავსებენ ერთმანეთს და ერთად ქმნიან შინაარსს, რომლის მიხედვითაც ობიექტები გაერთიანებულია ერთ კლასში. ასეთი ცნებების მაგალითია სამკუთხედი, კუთხე, ბისექტორი და მრავალი სხვა.

ამ ობიექტების ნაკრები, რომლებზეც ეს კონცეფცია ვრცელდება, წარმოადგენს ობიექტების ლოგიკურ კლასს. ობიექტების ლოგიკური კლასი არის ობიექტების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ საერთო მახასიათებლები, რის შედეგადაც ისინი გამოხატულია საერთო კონცეფციით. ობიექტების ლოგიკური კლასი და შესაბამისი ცნების ფარგლები ერთი და იგივეა, ცნებები იყოფა ტიპებად შინაარსისა და მოცულობის მიხედვით, იმის მიხედვით, თუ რა ობიექტებს აქვთ და რა რაოდენობას მიმართავენ. მოცულობის მიხედვით, მათემატიკური ცნებები იყოფა სინგულარულ და ზოგად. თუ კონცეფციის ფარგლები მოიცავს მხოლოდ ერთ ობიექტს, მას სინგულარული ეწოდება.

ცალკეული ცნებების მაგალითები: "უმცირესი ორნიშნა რიცხვი", "რიცხვი 5", "კვადრატი გვერდის სიგრძით 10 სმ", "წრე 5 სმ რადიუსით". ზოგადი კონცეფცია აჩვენებს ობიექტების გარკვეული ნაკრების მახასიათებლებს. ასეთი ცნებების მოცულობა ყოველთვის იქნება ერთი ელემენტის მოცულობაზე მეტი. ზოგადი ცნებების მაგალითები: „ორნიშნა რიცხვების ერთობლიობა“, „სამკუთხედები“, „განტოლებები“, „უტოლობა“, „5-ის ჯერადი რიცხვები“, „დაწყებითი სკოლის მათემატიკის სახელმძღვანელოები“. შინაარსის მიხედვით განასხვავებენ კავშირებისა და განცალკევების, აბსოლუტური და კონკრეტული, ირალატიური და ფარდობითი ცნებებს.

ცნებებს უწოდებენ კავშირს, თუ მათი მახასიათებლები ურთიერთდაკავშირებულია და არცერთი მათგანი არ იძლევა ინდივიდუალურად საშუალებას ამ კლასის ობიექტების იდენტიფიცირებას, მახასიათებლებს უკავშირდება კავშირი "და". მაგალითად, სამკუთხედის კონცეფციასთან დაკავშირებული ობიექტები აუცილებლად უნდა შედგებოდეს სამი ხაზის სეგმენტისგან და დახურული იყოს.

სხვა ცნებებში ურთიერთობა საჭირო და საკმარის მახასიათებლებს შორის განსხვავებულია: ისინი ერთმანეთს კი არ ავსებენ, არამედ ცვლიან. ეს ნიშნავს, რომ ერთი მახასიათებელი მეორის ექვივალენტურია. ნიშანს შორის ამ ტიპის ურთიერთობის მაგალითი შეიძლება გახდეს სეგმენტების, კუთხეების თანასწორობის ნიშნები. ცნობილია, რომ ტოლი სეგმენტების კლასი მოიცავს ისეთ სეგმენტებს, რომლებიც: ა) ან ემთხვევა ზედმეტად; ბ) ან ცალ-ცალკე უდრის მესამეს; გ) ან შედგება თანაბარი ნაწილებისაგან და ა.შ.

ამ შემთხვევაში ჩამოთვლილი ნიშნები ერთდროულად არ არის საჭირო, როგორც ეს არის კონიუნქტურული ტიპის ცნებების შემთხვევაში; აქ საკმარისია ყველა ჩამოთვლილი მახასიათებლიდან ერთი გქონდეთ: თითოეული მათგანი რომელიმე სხვას ექვივალენტურია. ამის გამო ნიშნები ერთმანეთთან დაკავშირებულია გაერთიანებით „ან“. ატრიბუტების ამგვარ კავშირს დისჯუნქცია ეწოდება, ცნებებს კი შესაბამისად დისჯუნქციური. ასევე მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ცნებების დაყოფა აბსოლუტურ და ფარდობითად.

აბსოლუტური ცნებები აერთიანებს ობიექტებს კლასებად გარკვეული მახასიათებლების მიხედვით, რომლებიც ახასიათებს ამ ობიექტების, როგორც ასეთის არსს. ამრიგად, კუთხის კონცეფცია ასახავს იმ თვისებებს, რომლებიც ახასიათებს ნებისმიერი კუთხის, როგორც ასეთის არსს. მსგავსი სიტუაციაა ბევრ სხვა გეომეტრიულ ცნებასთან: წრე, სხივი, რომბი და ა.შ.

ფარდობითი ცნებები აერთიანებს ობიექტებს კლასებად თვისებების მიხედვით, რომლებიც ახასიათებს მათ ურთიერთობას სხვა ობიექტებთან. ასე რომ, პერპენდიკულარული წრფეების კონცეფციაში ფიქსირდება ის, რაც ახასიათებს ორი წრფის ურთიერთობას ერთმანეთთან: გადაკვეთა, ფორმირება ერთდროულად. სწორი კუთხე. ანალოგიურად, რიცხვის კონცეფცია ასახავს გაზომილი მნიშვნელობისა და მიღებული სტანდარტის თანაფარდობას. შედარებითი ცნებები მოსწავლეებს უფრო სერიოზულ სირთულეებს უქმნის, ვიდრე აბსოლუტური ცნებები. სირთულეების არსი სწორედ იმაში მდგომარეობს, რომ სკოლის მოსწავლეები არ ითვალისწინებენ ცნებების ფარდობითობას და მოქმედებენ მათთან, როგორც აბსოლუტური ცნებებით. ასე რომ, როდესაც მასწავლებელი მოსწავლეებს პერპენდიკულარის დახატვას სთხოვს, ზოგი ვერტიკალს ხაზავს. განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს რიცხვის ცნებას.

რიცხვი არის რაოდენობრივი შეფარდება (სიგრძე, წონა, მოცულობა და ა.შ.) სტანდარტთან, რომელიც გამოიყენება ამ შეფასებისთვის. ცხადია, რიცხვი დამოკიდებულია როგორც გაზომილ მნიშვნელობაზე, ასევე სტანდარტზე. რაც უფრო დიდია გაზომილი მნიშვნელობა, მით უფრო დიდი იქნება რიცხვი იმავე სტანდარტით. პირიქით, რაც უფრო დიდია სტანდარტი (საზომი), მით უფრო მცირე იქნება რიცხვი იმავე მნიშვნელობის შეფასებისას. ამიტომ, მოსწავლეებმა თავიდანვე უნდა გააცნობიერონ, რომ რიცხვების სიდიდის შედარება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ისინი მხარს უჭერენ იმავე სტანდარტს. მართლაც, თუ, მაგალითად, ხუთი მიიღება სანტიმეტრებში სიგრძის გაზომვისას და სამი მეტრით გაზომვისას, მაშინ სამი აღნიშნავს ხუთზე მეტ მნიშვნელობას. თუ მოსწავლეები ვერ ისწავლიან რიცხვის ფარდობით ბუნებას, მაშინ ისინი სერიოზულ სირთულეებს განიცდიან რიცხვთა სისტემის სწავლისას. შედარებითი ცნებების ათვისების სირთულეები შენარჩუნებულია სკოლის საშუალო და უფროსი კლასების მოსწავლეებშიც კი. არსებობს კავშირი ცნების შინაარსსა და ფარგლებს შორის: რაც უფრო მცირეა ცნების ფარგლები, მით უფრო დიდია მისი შინაარსი.

მაგალითად, "კვადრატის" ცნებას აქვს უფრო მცირე ფარგლები, ვიდრე "მართკუთხედის" კონცეფციის ფარგლები, რადგან ნებისმიერი კვადრატი არის მართკუთხედი, მაგრამ ყველა მართკუთხედი არ არის კვადრატი. მაშასადამე, „კვადრატის“ ცნებას უფრო დიდი შინაარსი აქვს, ვიდრე „მართკუთხედის“ ცნებას: კვადრატს აქვს მართკუთხედის ყველა თვისება და ზოგიერთი სხვა (კვადრატისთვის ყველა გვერდი ტოლია, დიაგონალები ურთიერთ პერპენდიკულარულია).

აზროვნების პროცესში თითოეული ცნება არ არსებობს ცალ-ცალკე, არამედ შედის გარკვეულ კავშირებსა და ურთიერთობებში სხვა ცნებებთან. მათემატიკაში კავშირის მნიშვნელოვანი ფორმაა ზოგადი დამოკიდებულება.

მაგალითად, განვიხილოთ ცნებები "კვადრატი" და "მართკუთხედი". „კვადრატის“ ცნების ფარგლები „მართკუთხედის“ ცნების ფარგლების ნაწილია. მაშასადამე, პირველს სახეობა ჰქვია, ხოლო მეორეს - გენერიული. გვარ-სახეობათა ურთიერთობაში უნდა განვასხვავოთ უახლოესი გვარის ცნება და შემდეგი ზოგადი საფეხურები.

მაგალითად, ხედისთვის "კვადრატისთვის" უახლოესი გვარი იქნება გვარი "მართკუთხედი", მართკუთხედისთვის უახლოესი გვარი იქნება გვარი "პარალელოგრამი", "პარალელოგრამისთვის" - "ოთხკუთხედი", "ოთხკუთხედისთვის" - "პოლიგონი", ხოლო "პოლიგონისთვის" - "ბრტყელი ფიგურა.

IN დაწყებითი სკოლაპირველად, თითოეული კონცეფცია შემოდის ვიზუალურად, კონკრეტულ ობიექტებზე დაკვირვებით ან პრაქტიკული მოქმედებით (მაგალითად, მათი დათვლისას). მასწავლებელი ეყრდნობა ბავშვების ცოდნას და გამოცდილებას, რომელიც მათ შეიძინეს სკოლის ასაკი. მათემატიკური ცნებების გაცნობა ფიქსირდება ტერმინის ან ტერმინისა და სიმბოლოს დახმარებით. მათემატიკურ ცნებებზე მუშაობის ეს მეთოდი ქ დაწყებითი სკოლაარ ნიშნავს, რომ ამ კურსში არ არის გამოყენებული სხვადასხვა სახის განმარტებები.

კონცეფციის განსაზღვრა ნიშნავს ობიექტების ყველა არსებითი მახასიათებლის ჩამოთვლას, რომლებიც შედის ამ კონცეფციაში. ცნების სიტყვიერ განმარტებას ტერმინი ეწოდება. მაგალითად, "რიცხვი", "სამკუთხედი", "წრე", "განტოლება" არის ტერმინები.

განმარტება წყვეტს ორ პრობლემას: ის გამოყოფს და გამოყოფს გარკვეულ კონცეფციას ყველა დანარჩენისგან და მიუთითებს იმ ძირითად მახასიათებლებზე, რომელთა გარეშეც კონცეფცია ვერ იარსებებს და რომელზედაც ყველა სხვა მახასიათებელია დამოკიდებული.

განმარტება შეიძლება იყოს მეტ-ნაკლებად ღრმა. ეს დამოკიდებულია ცოდნის დონეზე იმ კონცეფციის შესახებ, რომელიც იგულისხმება. რაც უფრო კარგად ვიცნობთ მას, მით უფრო სავარაუდოა, რომ მას უკეთესი განმარტება მივცეთ. უმცროსი სტუდენტების სწავლების პრაქტიკაში გამოიყენება ექსპლიციტური და იმპლიციტური განმარტებები. ექსპლიციტური განმარტებები ორი ცნების თანასწორობის ან დამთხვევის ფორმას იღებს.

მაგალითად: „პროპედევტიკა ნებისმიერი მეცნიერების შესავალია“. აქ ორი ცნება გაიგივებულია ერთიდან ერთთან - „პროპედევტიკა“ და „შესვლა ნებისმიერ მეცნიერებაში“. განმარტებაში „კვადრატი არის მართკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია“ გვაქვს ცნებების დამთხვევა. უმცროსი სტუდენტების სწავლებისას, კონტექსტუალური და მკაფიო განმარტებები განსაკუთრებით საინტერესოა იმპლიციტურ განმარტებებს შორის.

ნებისმიერი მონაკვეთი ტექსტიდან, როგორიც არ უნდა იყოს კონტექსტი, რომელშიც ჩნდება ჩვენთვის საინტერესო კონცეფცია, გარკვეული გაგებით არის მისი იმპლიციტური განმარტება. კონტექსტი აყენებს კონცეფციას სხვა ცნებებთან და ამით ავლენს მის შინაარსს.

მაგალითად, ბავშვებთან მუშაობისას ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა "იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობები", "შეადარეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა 5 + a და (a - 3) 2, თუ a = 7", "წაიკითხეთ გამონათქვამები, რომლებიც ჯამია". ", "წაიკითხეთ გამონათქვამები და შემდეგ წაიკითხეთ განტოლებები", ჩვენ გამოვავლენთ "მათემატიკური გამოხატვის" კონცეფციას, როგორც ჩანაწერს, რომელიც შედგება რიცხვებისგან ან ცვლადებისაგან და მოქმედებების ნიშნებისგან. თითქმის ყველა განმარტება, რომელსაც ჩვენ ვხვდებით Ყოველდღიური ცხოვრებისარის კონტექსტური განმარტებები. უცნობი სიტყვის მოსმენის შემდეგ, ჩვენ ვცდილობთ დავადგინოთ მისი მნიშვნელობა ყველაფრის საფუძველზე, რაც ითქვა. იგივე ეხება უმცროსი სტუდენტების სწავლებას. დაწყებით სკოლაში ბევრი მათემატიკური ცნება განისაზღვრება კონტექსტით. ეს არის, მაგალითად, ისეთი ცნებები, როგორიცაა "დიდი - პატარა", "ნებისმიერი", "ნებისმიერი", "ერთი", "ბევრი", "რიცხვი", "არითმეტიკული ოპერაცია", "განტოლება", "ამოცანა" და ა.შ.

რჩება კონტექსტუალური განმარტებები უმეტესწილადარასრული და არასრული. ისინი გამოიყენება უმცროსი მოსწავლის მოუმზადებლობასთან დაკავშირებით სრული და, მით უმეტეს, მეცნიერული განსაზღვრების ათვისებისთვის.

ოტენზიური განმარტებები არის დემონსტრირება. ისინი წააგავს ჩვეულებრივ კონტექსტუალურ განმარტებებს, მაგრამ კონტექსტი აქ არის არა რაღაც ტექსტის მონაკვეთი, არამედ სიტუაცია, რომელშიც ცნებაში აღნიშნული ობიექტი იმყოფება. მაგალითად, მასწავლებელი აჩვენებს კვადრატს (ნახატს ან ქაღალდის მოდელს) და ამბობს: „ნახე - ეს კვადრატია“. ეს არის ტიპიური მოჩვენებითი განმარტება.

დაწყებით კლასებში მკვეთრი განმარტებები გამოიყენება ისეთი ცნებების განხილვისას, როგორიცაა "წითელი (თეთრი, შავი და ა.შ.) ფერი", "მარცხნივ - მარჯვნივ", "მარცხნიდან მარჯვნივ", "რიცხვი", "წინა და შემდეგი რიცხვი", " არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები“, „შედარების ნიშნები“, „სამკუთხედი“, „ოთხკუთხედი“, „კუბი“ და ა.შ.

სიტყვების მნიშვნელობების ოტენტური გზით ათვისების საფუძველზე შესაძლებელია ბავშვის ლექსიკონში ახალი სიტყვებისა და ფრაზების უკვე სიტყვიერი მნიშვნელობის შეტანა. უხეში განმარტებები - და მხოლოდ ისინი - აკავშირებენ სიტყვას ნივთებთან. მათ გარეშე ენა მხოლოდ სიტყვიერი მაქმანია, რომელსაც არ აქვს ობიექტური, შინაარსობრივი შინაარსი. გაითვალისწინეთ, რომ დაწყებით კლასებში მისაღები განმარტებები მსგავსია "სიტყვა "ხუთკუთხედი" ჩვენ მოვიხსენიებთ, როგორც მრავალკუთხედს ხუთი გვერდით." ეს არის ეგრეთ წოდებული „ნომინალური განსაზღვრება“. მათემატიკაში გამოიყენება სხვადასხვა აშკარა განმარტებები. მათგან ყველაზე გავრცელებულია განსაზღვრება უახლოესი გვარისა და სახეობის ხასიათის მიხედვით. ზოგად განმარტებას ასევე უწოდებენ კლასიკურს.

განმარტებების მაგალითები გვარისა და სპეციფიკური მახასიათებლის საშუალებით: „პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია“, „რომბი არის პარალელოგრამი, რომლის გვერდები ტოლია“, „მართკუთხედი არის პარალელოგრამი, რომლის კუთხეები მართია“, „A. კვადრატი არის მართკუთხედი, რომელშიც გვერდები ტოლია", "კვადრატი არის რომბი სწორი კუთხით".

განვიხილოთ კვადრატის განმარტებები. პირველ განმარტებაში, უახლოესი გვარი იქნება "მართკუთხედი", ხოლო სახეობის თვისება იქნება "ყველა მხარე თანაბარია". მეორე განმარტებაში უახლოესი გვარია „რომბი“, ხოლო სპეციფიკური თვისებაა „მართი კუთხეები“. თუ არ ავიღებთ უახლოეს გვარს („პარალელოგრამა“), მაშინ იქნება კვადრატის ორი სპეციფიკური მახასიათებელი: „პარალელოგრამს ეწოდება კვადრატი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია და ყველა კუთხე მართია“.

ზოგად მიმართებაში არის ცნებები "შეკრება (გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა)" და "არითმეტიკული მოქმედება", "მწვავე (მართალი, ბლაგვი) კუთხის" და "კუთხის" ცნებები. დაწყებით კლასებში განხილულ მრავალ მათემატიკურ ცნებას შორის არ არის გამოკვეთილი ზოგადი ურთიერთობების ამდენი მაგალითი. მაგრამ შემდგომ განათლებაში გვარისა და სახეობის ნიშან-თვისებების განსაზღვრის მნიშვნელობის გათვალისწინებით, სასურველია მივაღწიოთ მოსწავლეებს ამ სახეობის განმარტების არსის გააზრებას უკვე დაწყებით კლასებში.

ცალკეულ განმარტებებში შეიძლება განიხილოს კონცეფცია და მისი ფორმირების ან წარმოშობის მეთოდი. ამ ტიპის განმარტებას გენეტიკური ეწოდება. გენეტიკური განმარტებების მაგალითები: „კუთხე არის სხივები, რომლებიც გამოდიან ერთი წერტილიდან“, „მართკუთხედის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებს“. დაწყებით კლასებში გენეტიკური განმარტებები გამოიყენება ისეთი ცნებებისთვის, როგორიცაა "სეგმენტი", "გატეხილი ხაზი", "მართი კუთხე", "წრე". სიის მეშვეობით განმარტება ასევე შეიძლება მიეკუთვნოს გენეტიკურ ცნებებს.

მაგალითად, "რიცხვთა ბუნებრივი სერია არის რიცხვები 1, 2, 3, 4 და ა.შ." დაწყებით კლასებში ზოგიერთი ცნება შემოდის მხოლოდ ტერმინის საშუალებით. მაგალითად, დროის ერთეულებია წელი, თვე, საათი, წუთი. დაწყებით კლასებში არის ცნებები, რომლებიც წარმოდგენილია სიმბოლურ ენაზე თანასწორობის სახით, მაგალითად, a 1 = a და 0 = 0.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ დაწყებით კლასებში ბევრი მათემატიკური ცნება ჯერ ზედაპირულად, ბუნდოვნად იძენს. პირველი გაცნობისას, სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ მხოლოდ ცნებების ზოგიერთ თვისებას, მათ აქვთ ძალიან ვიწრო წარმოდგენა მათი ფარგლების შესახებ. და ეს ბუნებრივია. ყველა ცნება არ არის ადვილი გასაგები. მაგრამ უდავოა, რომ მასწავლებლის მიერ მათემატიკური ცნებების გარკვეული ტიპის განმარტებების გააზრება და დროული გამოყენება ერთ-ერთი პირობაა მოსწავლეებში ამ ცნებების შესახებ მყარი ცოდნის ჩამოყალიბებისთვის.

ბიბლიოგრაფია:

1. ბოგდანოვიჩ მ.ვ. მათემატიკური ცნებების განმარტება // დაწყებითი სკოლა 2001. - No4.

2. Gluzman N. A. გონებრივი აქტივობის განზოგადებული მეთოდების ფორმირება ახალგაზრდა სკოლის მოსწავლეებში. - იალტა: KSGI, 2001. - 34გვ.

3. დროზდ ვ.ლ. ურბანული მ.ა. მცირე პრობლემებიდან დიდ აღმოჩენებამდე. //Დაწყებითი სკოლა. - 2000. - No5.

ბელორუსის რესპუბლიკის განათლების სამინისტრო

„გომელი Სახელმწიფო უნივერსიტეტიმათ. ფ. სკარინა"

მათემატიკის ფაკულტეტი

მპმ დეპარტამენტი

აბსტრაქტული

მათემატიკური ცნებები

შემსრულებელი:

M-32 ჯგუფის მოსწავლე

მოლოდცოვა ა.იუ.

სამეცნიერო მრჩეველი:

Cand. ფიზიკა და მათემატიკა მეცნიერებათა ასოცირებული პროფესორი

ლებედევა მ.თ.

გომელი 2007 წ

შესავალი

მრავალი განმარტების ფორმულირება (თეორემები, აქსიომები) გასაგებია სტუდენტებისთვის, ადვილად დასამახსოვრებელი მცირე რაოდენობის გამეორების შემდეგ, ამიტომ მიზანშეწონილია ჯერ შემოგვთავაზოთ მათი დამახსოვრება, შემდეგ კი ასწავლოთ როგორ გამოიყენოთ ისინი პრობლემების გადაჭრაში.

ცალკე.

1. ცნების ფარგლები და შინაარსი. კონცეფციის კლასიფიკაცია

რეალობის ობიექტებს აქვთ: ა) საერთო თვისებები, რომლებიც გამოხატავს მის განმასხვავებელ თვისებებს (მაგალითად, მესამე ხარისხის განტოლება ერთი ცვლადით - კუბური განტოლება); ბ) ზოგადი თვისებები, რომლებიც შეიძლება იყოს განმასხვავებელი, თუ ისინი გამოხატავენ საგნის არსებით თვისებებს (მის მახასიათებლებს), რაც განასხვავებს მას მრავალი სხვა ობიექტისგან.

ტერმინი „ცნება“ გამოიყენება გარკვეული კლასის საგნების, პროცესების გონებრივი გამოსახულების აღსანიშნავად. ფსიქოლოგები განასხვავებენ აზროვნების სამ ფორმას:

1) ცნებები (მაგალითად, მედიანა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წვეროს სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს);

2) მსჯელობები (მაგალითად, თვითნებური სამკუთხედის კუთხეებისთვის ეს მართალია:);

3) დასკვნები (მაგალითად, თუ a>b და b>c, მაშინ a>c).

დამახასიათებელია აზროვნების ფორმები ცნებებშიარის: ა) ეს არის მაღალორგანიზებული მატერიის პროდუქტი; ბ) ასახავს მატერიალურ სამყაროს; გ) შემეცნებაში ჩნდება განზოგადების საშუალებად; დ) გულისხმობს კონკრეტულად ადამიანის საქმიანობას; ე) გონებაში მისი ფორმირება განუყოფელია მისი გამოხატვისგან სიტყვით, წერით ან სიმბოლოთი.

მათემატიკური კონცეფცია ჩვენს აზროვნებაში ასახავს რეალობის გარკვეულ ფორმებსა და ურთიერთობებს, აბსტრაქტულ რეალურ სიტუაციებს. მათი ფორმირება ხდება სქემის მიხედვით:

თითოეული კონცეფცია აერთიანებს ობიექტების ან მიმართებების ერთობლიობას, ე.წ კონცეფციის ფარგლები, და დამახასიათებელი თვისებები, რომლებიც თან ახლავს ამ ნაკრების ყველა ელემენტს და მხოლოდ მათ, გამოხატავს კონცეფციის შინაარსი.

მაგალითად, მათემატიკური ცნება არის ოთხკუთხედი. მისი მოცულობა: კვადრატი, მართკუთხედი, პარალელოგრამი, რომბი, ტრაპეცია და ა.შ. შინაარსი: 4 მხარე, 4 კუთხე, 4 მწვერვალი (დამახასიათებელი თვისებები).

კონცეფციის შინაარსი მკაცრად განსაზღვრავს მის ფარგლებს და, პირიქით, ცნების ფარგლები მთლიანად განსაზღვრავს მის შინაარსს. სენსორულიდან ლოგიკურ დონეზე გადასვლა ხდება განზოგადებები:ან ობიექტის საერთო ნიშნების შერჩევის გზით (პარალელოგრამი - ოთხკუთხედი - მრავალკუთხედი); ან ზოგადი ნიშნების მეშვეობით სპეციალურთან ან სინგულართან ერთად, რაც იწვევს კონკრეტულ კონცეფციას.

განზოგადების პროცესში მოცულობა ფართოვდება, შინაარსი კი ვიწროვდება. კონცეფციის სპეციალიზაციის პროცესში მოცულობა ვიწროვდება, შინაარსი კი ფართოვდება.

Მაგალითად:

მრავალკუთხედები - პარალელოგრამები;

სამკუთხედები ტოლგვერდა სამკუთხედებია.

თუ ერთი კონცეფციის ფარგლებს შეიცავს მეორე კონცეფციის ფარგლებს, მაშინ მეორე ცნება ეწოდება ზოგადი, პირველთან მიმართებაში; და პირველს ეძახიან კონკრეტულიმეორესთან მიმართებაში. მაგალითად: პარალელოგრამი - რომბი (გვარი) (ნახვა).

კონცეფციის ფარგლების გარკვევის პროცესს ე.წ კლასიფიკაცია, რომლის სქემა ასე გამოიყურება:

მიეცით კომპლექტი და გარკვეული თვისება და არსებობდეს ელემენტები ამ თვისების ქონაში და არქონაში. დაე იყოს:

აირჩიეთ ახალ თვისებად და გაყავით ამ თვისებით:

მაგალითად: 1) რიცხვითი სიმრავლეების კლასიფიკაცია, რომელიც ასახავს რიცხვის ცნების განვითარებას; 2) სამკუთხედების კლასიფიკაცია: ა) გვერდების მიხედვით; ბ) კუთხეები.

დავალება ნომერი 1.ჩვენ წარმოვადგენთ სამკუთხედების სიმრავლეს კვადრატის წერტილების გამოყენებით.

ტოლფერდა თვისება;

მართკუთხა თვისება;

არის თუ არა სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ ეს თვისებები ერთდროულად?

2. მათემატიკური განმარტებები. შეცდომების ტიპები ცნებების განსაზღვრაში

კონცეფციის ჩამოყალიბების ბოლო ეტაპი მისი განმარტება, ე.ი. პირობითი ხელშეკრულების მიღება. განმარტება გაგებულია, როგორც კონცეფციის აუცილებელი და საკმარისი მახასიათებლების ჩამოთვლა, დაყვანილი თანმიმდევრულ წინადადებამდე (სიტყვიერი ან სიმბოლური).

2.1 ცნებების განსაზღვრის გზები

თავდაპირველად გამოიყოფა განუსაზღვრელი ცნებები, რის საფუძველზეც მათემატიკური ცნებები განისაზღვრება შემდეგი გზებით:

1) უახლოესი გვარისა და სახეობრივი განსხვავების მეშვეობით: მაგრამ) აღწერითი(იმ პროცესის ახსნა, რომლითაც აგებულია განმარტება, ან აღწერს შიდა სტრუქტურას, იმ ოპერაციებიდან გამომდინარე, რომლითაც ამ განმარტებასაგებულია განუსაზღვრელი ცნებებიდან); ბ) კონსტრუქციული(ან გენეტიკური) ცნების წარმოშობის მითითებით.

მაგალითად: ა) მართკუთხედი არის პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით; ბ) წრე არის ფიგურა, რომელიც შედგება მოცემული წერტილიდან თანაბარი მანძილის სიბრტყის ყველა წერტილისგან. ამ წერტილს წრის ცენტრს უწოდებენ.

2) ინდუქციურად.მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება:

3) აბსტრაქციის საშუალებით. მაგალითად, ნატურალური რიცხვი არის ეკვივალენტური სასრულ სიმრავლეთა კლასების მახასიათებელი;

4) აქსიომატური (ირიბი განმარტება). მაგალითად, ფიგურის ფართობის განსაზღვრა გეომეტრიაში: მარტივი ფიგურებისთვის ფართობი არის დადებითი მნიშვნელობა, რიცხვითი მნიშვნელობარომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები: ა) ტოლ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობები; ბ) თუ ფიგურა იყოფა ნაწილებად, რომლებიც მარტივი ფიგურებია, მაშინ ამ ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების ფართობების ჯამს; გ) კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდიც ტოლია საზომი ერთეულის ტოლი.

2.2 აშკარა და იმპლიციტური განმარტებები

განმარტებები იყოფა:

მაგრამ) გამოკვეთილი, რომელშიც მკაფიოდ გამოიყოფა განსაზღვრული და განმსაზღვრელი ცნებები (მაგალითად, განსაზღვრება უახლოესი გვარისა და კონკრეტული განსხვავების მიხედვით);

ბ) იმპლიციტური, რომლებიც აგებულია ერთი კონცეფციის მეორით ჩანაცვლების პრინციპზე უფრო ფართო მოცულობით და ჯაჭვის დასასრული არის განუსაზღვრელი ცნება, ე.ი. ფორმალური ლოგიკური განმარტება (მაგალითად, კვადრატი არის რომბი მართი კუთხით; რომბი არის პარალელოგრამი თანაბარი მიმდებარე გვერდებით; პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი წყვილი პარალელური გვერდებით; ოთხკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება 4 კუთხისგან, 4 წვერით, 4 მხარე). IN სკოლის განმარტებებიყველაზე ხშირად გამოიყენება პირველი მეთოდი, რომლის სქემა ასეთია: ჩვენ გვაქვს კომპლექტები და გარკვეული თვისება შემდეგ

დეფინიციების შექმნის მთავარი მოთხოვნაა ის, რომ განსაზღვრული სიმრავლე უნდა იყოს მინიმალური ნაკრების ქვესიმრავლე. მაგალითად, შევადაროთ ორი განმარტება: (1) კვადრატი არის რომბი მართი კუთხით; (2) კვადრატი არის პარალელოგრამი თანაბარი გვერდებით და მართი კუთხით (ზედმეტად).

ნებისმიერი განმარტება არის „არსებობის მტკიცებულების“ პრობლემის გადაწყვეტა. მაგალითად, მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი მართი კუთხით; მისი არსებობა კონსტრუქციაა.

2.3 შეცდომების ძირითადი ტიპების მახასიათებლები

შენიშვნა ტიპიური შეცდომებირომელსაც მოსწავლეები აწყდებიან ცნებების განსაზღვრისას:

1) არამინიმალური ნაკრების გამოყენება განმსაზღვრელად, ლოგიკურად დამოკიდებული თვისებების ჩართვა (ტიპიური მასალის გამეორებისას).

მაგალითად: ა) პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და პარალელურია; ბ) წრფეს სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ეწოდება, თუ იგი ამ სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილის გავლით სიბრტყეზე დახატული თითოეული წრფით ქმნის მართ კუთხეს, ნაცვლად: „წრფეს სიბრტყის პერპენდიკულარული ეწოდება, თუ ის პერპენდიკულარულია. ამ თვითმფრინავის ყველა ხაზამდე“;

2) განსაზღვრული კონცეფციის გამოყენება და როგორც განმსაზღვრელი.

მაგალითად, მართი კუთხე განისაზღვრება არა როგორც თანაბარი მიმდებარე კუთხიდან, არამედ როგორც კუთხეები ორმხრივი პერპენდიკულარული გვერდებით;

3) ტავტოლოგია - ცნება განისაზღვრება თავად ცნების მეშვეობით.

მაგალითად, ორ ფიგურას ჰქვია მსგავსი, თუ ისინი ერთმანეთში ითარგმნება მსგავსების გარდაქმნით;

4) ზოგჯერ განმარტება არ მიუთითებს განმსაზღვრელ სიმრავლეს, საიდანაც გამოიყოფა განსაზღვრული ქვესიმრავლე.

მაგალითად, "მედიანა არის სწორი ხაზი ..." ნაცვლად "მედიანა არის სეგმენტი დამაკავშირებელი ...";

5)სტუდენტების მიერ მოცემულ განმარტებებში, ზოგჯერ განსაზღვრული კონცეფცია სრულიად არ არსებობს,რაც შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა მოსწავლეები არ არიან მიჩვეულები სრული პასუხების გაცემას.

განმარტებებში შეცდომების გამოსწორების მეთოდოლოგია გულისხმობს, თავდაპირველად, დაშვებული შეცდომების არსის გარკვევას, შემდეგ კი მათი განმეორების თავიდან აცილებას.

3. განმარტების სტრუქტურა

1) შემაერთებელი სტრუქტურა: ორი წერტილი და ეწოდება სიმეტრიული p წრფის მიმართ ა(x)) თუ ეს წრფე p არის მონაკვეთის პერპენდიკულარული და გადის მის შუა წერტილში. ჩვენ ასევე ვივარაუდებთ, რომ p წრფის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია თავისთვის p წრფესთან მიმართებაში (კავშირის არსებობა „და“) (* - „კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც მოდის მისი წვეროდან, გადის მის გვერდებს შორის და ყოფს კუთხეს შუაზე“).

2)სტრუქტურული სტრუქტურა: „დავეცით მოცემული ფიგურა და p ფიქსირებული ხაზი. აიღეთ ფიგურის თვითნებური წერტილი და ჩამოაგდეთ პერპენდიკულარი p წრფეზე. წერტილის მიღმა პერპენდიკულარულის გაგრძელებაზე გამოყავით სეგმენტის ტოლი სეგმენტი. ფიგურის ფიგურად გარდაქმნას, რომლის დროსაც თითოეული წერტილი მიდის განსაზღვრული წესით აგებულ წერტილში, ეწოდება სიმეტრია p წრფესთან მიმართებაში“.

3) დისჯუნქციური სტრუქტურა: კომპლექტის განმარტება ზმთელი რიცხვები შეიძლება დაიწეროს თვისებების ენაზე ფორმაში ZNან ნან =0, სადაც N-ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვების ნაკრები.

4. მათემატიკური ცნებების შესწავლის ძირითადი ეტაპების მახასიათებლები

განსაზღვრებაზე მუშაობის მეთოდოლოგია მოიცავს: 1) განმარტების ცოდნას; 2) მოცემული განმარტების შესაბამისი ობიექტის ამოცნობის სწავლა; 3) სხვადასხვა კონტრმაგალითების აგება. მაგალითად, "მართკუთხა სამკუთხედის" კონცეფცია და მუშაობა მისი შემადგენელი ელემენტების ამოცნობაზე:

მათემატიკური განმარტებების შესწავლა შეიძლება დაიყოს სამ ეტაპად:

ეტაპი 1 – შესავალი – გაკვეთილზე ისეთი სიტუაციის შექმნა, როცა მოსწავლეები ან თავად „აღმოაჩენენ“ ახალ ნივთებს, დამოუკიდებლად აყალიბებენ მათთვის განსაზღვრებებს, ან უბრალოდ ემზადებიან მათი გაგებისთვის.

ეტაპი 2 - ასიმილაციის უზრუნველყოფა - მთავრდება იმის უზრუნველსაყოფად, რომ სტუდენტები:

ა) ისწავლა განმარტების გამოყენება;

ბ) სწრაფად და ზუსტად დაიმახსოვრეთ ისინი;

გ) ესმოდა ყოველი სიტყვა მათ ფორმულირებაში.

მე-3 ეტაპი - კონსოლიდაცია - ტარდება მომდევნო გაკვეთილებზე და მოდის მათი ფორმულირებების გამეორებაზე და პრობლემების გადასაჭრელად გამოყენების უნარების დამუშავებაზე.

ახალი კონცეფციების გაცნობა ხორციელდება:

მეთოდი 1: მოსწავლეები ემზადებიან განმარტების დამოუკიდებელი ფორმირებისთვის.

მეთოდი 2: მოსწავლეები ემზადებიან ცნობიერი აღქმისთვის, ახალი მათემატიკური წინადადების გასაგებად, რომლის ფორმულირება შემდეგ ეცნობება მათ დასრულებული ფორმით.

მეთოდი 3: მასწავლებელი თავად აყალიბებს ახალ განმარტებას ყოველგვარი მომზადების გარეშე, შემდეგ კი ყურადღებას ამახვილებს მოსწავლეთა ძალისხმევაზე მათ ათვისებასა და კონსოლიდაციაზე.

1 და 2 მეთოდები წარმოადგენს ევრისტიკულ მეთოდს, მეთოდი 3 - დოგმატურს. რომელიმე მეთოდის გამოყენება უნდა შეესაბამებოდეს კლასის მომზადების დონეს და მასწავლებლის გამოცდილებას.

5. ცნებების დანერგვის მეთოდების მახასიათებლები

კონცეფციების დანერგვისას შესაძლებელია შემდეგი მეთოდები:

1) თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ სავარჯიშოები, რომლებიც საშუალებას აძლევს სტუდენტებს სწრაფად ჩამოაყალიბონ ახალი კონცეფციის განმარტება.

მაგალითად: ა) ჩამოწერეთ მიმდევრობის პირველი რამდენიმე წევრი (), რომელსაც აქვს =2, . ამ თანმიმდევრობას გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება. შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ მისი განმარტება. შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ ახალი კონცეფციის აღქმისთვის მომზადებით.

ბ) ჩამოწერეთ მიმდევრობის პირველი რამდენიმე წევრი (), რომელსაც აქვს = 4, შემდეგ მასწავლებელი ამბობს, რომ ასეთ თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ჰქვია და თავად იძლევა მის განმარტებას.

2) გეომეტრიული ცნებების შესწავლისას სავარჯიშოები ისეა ჩამოყალიბებული, რომ მოსწავლეებმა თავად ააშენონ საჭირო ფიგურა და შეძლონ ხაზგასმით აღნიშნონ ახალი კონცეფციის ნიშნები, რომლებიც აუცილებელია განმარტების ჩამოსაყალიბებლად.

მაგალითად: ააგეთ თვითნებური სამკუთხედი, დააკავშირეთ მისი წვერო სეგმენტით მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან. ამ სეგმენტს მედიანა ეწოდება. ჩამოაყალიბეთ მედიანის განმარტება.

ზოგჯერ შემოთავაზებულია მოდელის შედგენა ან, მზა მოდელებისა და ნახატების გათვალისწინებით, ახალი კონცეფციის მახასიათებლების ხაზგასმა და მისი განმარტების ფორმულირება.

მაგალითად: პარალელეპიპედის განმარტება შემოღებულ იქნა მე-10 კლასში. ირიბი, სწორი და მართკუთხა პარალელეპიპედების შემოთავაზებული მოდელების მიხედვით, დაადგინეთ ის თვისებები, რომლითაც ეს ცნებები განსხვავდება. ჩამოაყალიბეთ მართკუთხა და მართკუთხა პარალელეპიპედების შესაბამისი განმარტებები.

3) მრავალი ალგებრული ცნება შემოტანილია კონკრეტული მაგალითების საფუძველზე.

მაგალითად: წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

4)მიზანშეწონილი ამოცანების მეთოდი,(შემუშავებულია S.I. Shokhor-Trotsky) სპეციალურად შერჩეული დავალების დახმარებით მოსწავლეები მიდიან დასკვნამდე, რომ აუცილებელია ახალი კონცეფციის დანერგვა და ზუსტად იგივე მნიშვნელობის მინიჭების მიზანშეწონილობა, რაც მას უკვე აქვს მათემატიკაში.

5-6 კლასებში ამ მეთოდით შემოდის ცნებები: განტოლება, განტოლების ფესვი, უტოლობების ამოხსნა, შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ცნება. ნატურალური რიცხვები, ათობითი და ჩვეულებრივი წილადები და ა.შ.

ბეტონის ინდუქციური მეთოდი

არსი:

ა) განიხილება კონკრეტული მაგალითები;

ბ) ხაზგასმულია არსებითი თვისებები;

გ) ჩამოყალიბებულია განმარტება;

დ) ტარდება სავარჯიშოები: ამოცნობისთვის; დიზაინისთვის;

ე) განსაზღვრებაში არ შეტანილ თვისებებზე მუშაობა;

ე) თვისებების გამოყენება.

მაგალითად: თემა - პარალელოგრამები:

1, 3, 5 - პარალელოგრამები.

ბ) არსებითი ნიშნები: ოთხკუთხედი, გვერდების წყვილი პარალელიზმი.

გ) აღიარება, მშენებლობა:

დ) იპოვნეთ (ააგეთ) პარალელოგრამის მეოთხე წვერო (* - დავალება No3, მუხ. 96, გეომეტრია 7-11 კლასი: რამდენი პარალელოგრამის აგება შეიძლება წვეროებით სამში. მოცემული ქულებიარ წევს იმავე სწორ ხაზზე? ააშენეთ ისინი.).

ე) სხვა თვისებები:

AC და BD იკვეთება O წერტილში და AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

ე) A=C, B=D.

კონსოლიდაცია: ამოცანების ამოხსნა No4-23, გვ.96-97, გეომეტრია 7-11, პოგორელოვი.

პერსპექტიული ღირებულება:

ა) გამოიყენება მართკუთხედისა და რომბის შესწავლისა და განსაზღვრისას;

ბ) თალესის თეორემაში პარალელურ წრფეებს შორის ჩასმული მონაკვეთების პარალელურობისა და თანასწორობის პრინციპი;

გ) პარალელური ტრანსლაციის ცნება (ვექტორი);

დ) პარალელოგრამის თვისება გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის გამოყვანისას;

ე) პარალელურობა და პერპენდიკულარულობა სივრცეში; პარალელეპიპედი; პრიზმა.

აბსტრაქტულ-დედუქციური მეთოდი

არსი:

ა) ცნების განმარტება: - კვადრატული განტოლება;

ბ) არსებითი თვისებების შერჩევა: x - ცვლადი; a, b, c - რიცხვები; a?0 at

გ) ცნების დაკონკრეტება: - შემცირებული; განტოლებების მაგალითები

დ) სავარჯიშოები: ამოცნობისთვის, კონსტრუქციისთვის;

ე) განსაზღვრებაში არ შეტანილი თვისებების შესწავლა: განტოლების ფესვები და მათი თვისებები;

ე) პრობლემის გადაჭრა.

სკოლაში აბსტრაქტულ-დედუქციური მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ახალი კონცეფცია სრულად არის მომზადებული წინა ცნებების შესწავლით, მათ შორის უახლოესი ზოგადი კონცეფციის შესწავლით, ხოლო ახალი კონცეფციის სპეციფიკური განსხვავება ძალიან მარტივი და გასაგებია სტუდენტებისთვის.

მაგალითად: რომბის განმარტება პარალელოგრამის შესწავლის შემდეგ.

ასევე გამოიყენება ზემოაღნიშნული მეთოდი:

1) ცნების განმარტების „წარმოშობის“ შედგენისას:

კვადრატი არის მართკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი თანაბარია.

მართკუთხედი არის პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია.

ოთხკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისა და ოთხი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ სერიას.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გენეალოგია არის ცნებების ჯაჭვი, რომელიც აგებულია წინა კონცეფციის განზოგადებით, რომლის ბოლო არის განუსაზღვრელი ცნება (გავიხსენოთ, რომ სკოლის გეომეტრიის მსვლელობაში ეს მოიცავს წერტილს, ფიგურას, სიბრტყეს, მანძილს ( შორის მოტყუება));

2) კლასიფიკაცია;

3) გამოიყენება თეორემების მტკიცებულებებზე და ამოცანების ამოხსნაზე;

4) ფართოდ გამოიყენება ცოდნის განახლების პროცესში.

განვიხილოთ ეს პროცესი, რომელიც წარმოდგენილია დავალების სისტემით:

ა) მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით 3 სმ და 4 სმ. იპოვეთ ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი მედიანის სიგრძე.

ბ) დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

გ) დაამტკიცეთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის ბისექტრი ორად ყოფს კუთხეს შუასა და ჰიპოტენუზამდე მიყვანილ სიმაღლეს შორის.

დ) ABC სამკუთხედის AC ყველაზე გრძელი გვერდის გაგრძელებაზე გამოსახულია CM სეგმენტი BC გვერდის ტოლი. დაამტკიცეთ, რომ AVM ბუნდოვანია.

სასკოლო სწავლებაში უმეტეს შემთხვევაში გამოიყენება კონკრეტულ-ინდუქციური მეთოდი. კერძოდ, ეს მეთოდი ასახავს ცნებებს ალგებრისა და გეომეტრიის საწყისების პროპედევიტურ ციკლებში 1-6 კლასებში და მრავალი განმსაზღვრელი ცნება შემოტანილია აღწერილობით, მკაცრი ფორმულირებების გარეშე.

მასწავლებლის მიერ განმარტებების დანერგვის სხვადასხვა მეთოდის იგნორირება იწვევს ფორმალიზმს, რომელიც შემდეგნაირად ვლინდება:

ა) მოსწავლეებს უჭირთ უჩვეულო სიტუაციაში განმარტებების გამოყენება, თუმცა ახსოვს მისი ფორმულირება.

მაგალითად: 1) ისინი თვლიან ფუნქციას ლუწი, რადგან "cos" - თუნდაც;

2) - არ ესმის კავშირი ფუნქციის ერთფეროვნებასა და უტოლობის ამოხსნას შორის, ე.ი. ვერ გამოიყენებს შესაბამის განმარტებებს, რომლებშიც კვლევის ძირითადი მეთოდია ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის სხვაობის ნიშნის შეფასება, ე.ი. უტოლობების ამოხსნისას.

ბ) მოსწავლეებს აქვთ რაიმე სახის ამოცანების გადაჭრის უნარები, მაგრამ ვერ ხსნიან, რა განმარტებების, აქსიომების, თეორემების საფუძველზე ასრულებენ გარკვეულ გარდაქმნებს.

მაგალითად: 1) - გარდაქმნა ამ ფორმულის მიხედვით და 2) წარმოიდგინეთ, რომ მაგიდაზე არის ოთხკუთხა პირამიდის მოდელი. რა მრავალკუთხედი იქნება ამ პირამიდის ფუძე, თუ მოდელი მაგიდაზე დაიდება გვერდითი სახით? (ოთხკუთხედი).

ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების ჩამოყალიბების პროცესი არ შემოიფარგლება მხოლოდ ახალი ცოდნის კომუნიკაციით.

ეს ცოდნა უნდა იყოს შეძენილი და კონსოლიდირებული.

6. მათემატიკური ცნებების (წინადადებების) ათვისების უზრუნველყოფის მეთოდოლოგია.

1. მრავალი განმარტების ფორმულირება (თეორემები, აქსიომები) გასაგებია სტუდენტებისთვის, ადვილად დასამახსოვრებელი მცირე რაოდენობის გამეორების შემდეგ, ამიტომ მიზანშეწონილია ჯერ შემოგვთავაზოთ მათი დამახსოვრება, შემდეგ კი ასწავლოთ როგორ გამოიყენოთ ისინი ამოცანების გადაჭრაში.

მეთოდს, რომლის დროსაც განმარტებების დამახსოვრების პროცესები და მათი გამოყენების უნარების ჩამოყალიბება ხდება მოსწავლეებში არაერთდროულად (ცალ-ცალკე) ე.წ. ცალკე.

ცალკე მეთოდი გამოიყენება აკორდის, ტრაპეციის, ლუწი და კენტი ფუნქციების განმარტებების, პითაგორას თეორემების, პარალელური წრფეების ნიშნების, ვიეტას თეორემას, რიცხვითი უტოლობების თვისებების, ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესების, ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრების დროს. და ა.შ.

მეთოდოლოგია:

ა) მასწავლებელი აყალიბებს ახალ განმარტებას;

ბ) დასამახსოვრებლად კლასის მოსწავლეები იმეორებენ 1-3-ჯერ;

გ) ვარჯიშობდნენ სავარჯიშოებში.

2. კომპაქტური მეთოდიმდგომარეობს იმაში, რომ მოსწავლეები ნაწილ-ნაწილ კითხულობენ მათემატიკურ განმარტებას ან წინადადებას და კითხვის პროცესში ერთდროულად ასრულებენ სავარჯიშოს.

რამდენჯერმე კითხულობს ფორმულირებას, გზადაგზა იმახსოვრებენ.

მეთოდოლოგია:

ა) მათემატიკური წინადადების მომზადება განაცხადისთვის. განმარტება თავისებურებების მიხედვით იყოფა ნაწილებად, თეორემა - პირობად და დასკვნად;

ბ) მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული მოქმედებების ნიმუშს, რომელშიც ნაჩვენებია მომზადებულ ტექსტთან მუშაობა: ნაწილ-ნაწილ ვკითხულობთ და პარალელურად ვაკეთებთ სავარჯიშოებს;

გ) მოსწავლეები ნაწილ-ნაწილ კითხულობენ განმარტებას და პარალელურად ასრულებენ სავარჯიშოებს მომზადებული ტექსტით და მასწავლებლის მოდელით ხელმძღვანელობით;

მაგალითად: ბისექტრის განმარტება მეხუთე კლასში:

1) კონცეფციის დანერგვა ხორციელდება კუთხის მოდელზე მიზანშეწონილი ამოცანების მეთოდით;

2) იწერება განმარტება: „კუთხის წვეროდან გამოსულ სხივს და ორ ტოლ ნაწილად ყოფს, კუთხის ბისექტრი ეწოდება“;

3) დავალება შესრულებულია: მიუთითეთ ნახაზებიდან რომელი წრფეა კუთხის ბისექტრები (ტოლი კუთხეები აღინიშნება რკალების იგივე რაოდენობით).

ერთ-ერთ ნახატზე მასწავლებელი აჩვენებს განმარტების გამოყენებას (იხ. ქვემოთ);

4) მუშაობას აგრძელებენ მოსწავლეები.

3. ცალკეული და კომპაქტური მეთოდის კომბინაცია : ახალი წესის დადების შემდეგ ის მეორდება 2-3-ჯერ და შემდეგ მასწავლებელი სავარჯიშოების შესრულების პროცესში მოითხოვს წესის ნაწილებად ჩამოყალიბებას.

4. ალგორითმული მეთოდი გამოიყენება მათემატიკური წინადადებების გამოყენების უნარ-ჩვევების ჩამოსაყალიბებლად.

მეთოდოლოგია: მათემატიკური წინადადებები იცვლება ალგორითმით. ალგორითმის ინსტრუქციების მონაცვლეობით წაკითხვით მოსწავლე წყვეტს პრობლემას. ამრიგად, ის ავითარებს განმარტებების, აქსიომებისა და თეორემების გამოყენების უნარს. ამ შემთხვევაში დასაშვებია ან განმარტების შემდგომი დამახსოვრება, ან თავად განმარტების წაკითხვა ალგორითმთან ერთად.

მეთოდის ძირითადი ეტაპები:

ა) სამუშაოსთვის მომზადება ინსტრუქციების სიის, რომელიც ან მოცემულია დასრულებული სახით, რასაც მოჰყვება განმარტება, ან მოსწავლეები მიჰყავთ მის დამოუკიდებელ შედგენამდე;

ბ) მასწავლებლის პასუხის ნიმუშს;

გ) მოსწავლეები მუშაობენ ერთნაირად.

განმარტებების შესწავლისას გამოიყენება ცალკეული და კომპაქტური მეთოდები. ალგორითმის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რთულად შესათვისებელი დეფინიციების შესწავლისას (მაგალითად, აუცილებელი და საკმარისი პირობები). ალგორითმული მეთოდი ყველაზე ფართოდ გამოიყენება პრობლემის გადაჭრის უნარების ფორმირებაში.

7. მათემატიკური ცნებების და წინადადებების დაფიქსირების ხერხები

1 მიღება:

მასწავლებელი გვთავაზობს გარკვეული განმარტებების, აქსიომების, თეორემების ჩამოყალიბებას და გამოყენებას, რომლებიც გვხვდება ამოცანების ამოხსნის პროცესში.

მაგალითად: ფუნქციის გრაფიკის დახატვა; ლუწი (კენტი) ფუნქციის განსაზღვრა; არსებობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

მე-2 მიღება:

მასწავლებელი გვთავაზობს ფრონტალური გამოკითხვის დროს ჩამოაყალიბოს რამდენიმე განსაზღვრება, თეორემა, აქსიომა, რათა გაიმეოროს ისინი და ამავდროულად შეამოწმოს, ახსოვთ თუ არა ისინი მოსწავლეებს. ეს ტექნიკა არ არის ეფექტური პრობლემების გადაჭრის გარეთ. შესაძლებელია ფრონტალური გამოკითხვის შერწყმა სპეციალურ სავარჯიშოებთან, რომელიც მოითხოვს სტუდენტს შეეძლოს გამოიყენოს განმარტებები, თეორემები, აქსიომები. სხვადასხვა სიტუაციებში, პრობლემის პირობებში სწრაფად ნავიგაციის შესაძლებლობა.

დასკვნა

განმარტების ცოდნა არ იძლევა ცნების ათვისების გარანტიას. მეთოდური მუშაობაცნებებთან მიმართული უნდა იყოს ფორმალიზმის დაძლევაზე, რაც გამოიხატება იმაში, რომ მოსწავლეები ვერ ცნობენ განსაზღვრულ ობიექტს სხვადასხვა სიტუაციებში, სადაც ის ხდება.

მოცემული განმარტების შესაბამისი ობიექტის ამოცნობა და კონტრმაგალითების აგება შესაძლებელია მხოლოდ განხილული განმარტების სტრუქტურების მკაფიო გაგებით, რაც განმარტების სქემაში () ნიშნავს მარჯვენა მხარის სტრუქტურას.

ლიტერატურა

1. კ.ო. ანანჩენკო" ზოგადი მეთოდოლოგიამათემატიკის სწავლება სკოლაში“, მნ., „უნივერსიტესკაია“, 1997 წ

2. ნ.მ. როგანოვსკი "სწავლების მეთოდები უმაღლესი სკოლა"Mn.," უმაღლესი სკოლა“, 1990 წ

3. გ.ფროიდენტალი „მათემატიკა როგორც პედაგოგიური დავალება“, მ., “განმანათლებლობა”, 1998 წ

4. ნ.ნ. „მათემატიკური ლაბორატორია“, მ., „განმანათლებლობა“, 1997 წ

5. იუ.მ. კოლიაგინი "მათემატიკის სწავლების მეთოდები საშუალო სკოლაში", მ., "პროსვეშჩენიე", 1999 წ.

6. ა.ა. სტოლარი "მათემატიკის სწავლების ლოგიკური პრობლემები", მნ., "უმაღლესი სკოლა", 2000 წ.

მსგავსი დოკუმენტები

მათემატიკური ცნებების შესწავლის მეთოდოლოგიის საფუძვლები. მათემატიკური ცნებები, მათი შინაარსი და ფარგლები, ცნებების კლასიფიკაცია. მე-5-6 კლასებში მათემატიკის სწავლების ფსიქოლოგიური და პედაგოგიური თავისებურებები. კონცეფციის ფორმირების ფსიქოლოგიური ასპექტები.

დისერტაცია, დამატებულია 08/08/2007


ცნებების ფორმირების არსი, მისი ზოგადი სქემა და მახასიათებლები, განხორციელების ეტაპები და შესაძლო გზები. ცნებების კლასიფიკაცია და მისი მეთოდოლოგია მათემატიკური დისციპლინებისთვის. განმარტება, როგორც კონცეფციის ფორმირების საბოლოო ეტაპი, მისი სახეობები და მახასიათებლები.

რეზიუმე, დამატებულია 24/04/2009


"ცნება" ფსიქოლოგიურ, პედაგოგიურ, ფილოსოფიურ, სასწავლო ლიტერატურა. მათემატიკური ცნებების სახეები და განმარტებები ელემენტარულ მათემატიკაში. კლასიფიკაციის როლი, ფუნქციები ცნებების ჩამოყალიბებაში. მათემატიკური ცნებების ფორმირების სისტემა.

ნაშრომი, დამატებულია 23/11/2008


მეცნიერული ცნებების ფორმირების ფსიქოლოგიური და პედაგოგიური საფუძვლები. ვიტაგენური განათლების არსი და წყაროები. სტუდენტების ვიტაგენური გამოცდილების გამოვლენისა და განახლების მეთოდები და ტექნიკა. მეცნიერული ცნებების ფორმირება როგორც პედაგოგიური პრობლემა. სამეცნიერო ცნებების სახეები.

ნაშრომი, დამატებულია 12/13/2009


ძირითადი მათემატიკური ცნებების ანალიზი. გამრავლებისა და გაყოფის ტაბულური შემთხვევების შესწავლის მეთოდები. ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობასტუდენტები. სწავლისადმი ინდივიდუალური მიდგომის დანერგვა. გამრავლების ცხრილის ათვისების სავარჯიშოები, ცოდნის შემოწმების მეთოდები.

ნაშრომი, დამატებულია 12/13/2013


სტატია, დამატებულია 09/15/2009


ვიზუალიზაცია, როგორც გრამატიკული ცნებების დაუფლების საშუალება. რუსული გაკვეთილების გრამატიკული ცნებების შესწავლის სისტემა ვიზუალიზაციის გამოყენებით. ცდის შედეგები უმცროსი მოსწავლეების მიერ გრამატიკული ცნებების შესწავლის დონის დასადგენად.

ნაშრომი, დამატებულია 05/03/2015


მათემატიკური შესაძლებლობების კომპონენტები, მათი გამოვლენის ხარისხი დაწყებითი სკოლის ასაკში, ბუნებრივი წინაპირობები და ფორმირების პირობები. კლასგარეშე აქტივობების ძირითადი ფორმები და მეთოდები: წრის გაკვეთილები, მათემატიკური საღამოები, ოლიმპიადები, თამაშები.

ნაშრომი, დამატებულია 11/06/2010


სკოლის გეომეტრიის კურსში მოსწავლეთა აქსიომების გაცნობის მეთოდი, ტრადიციული სინთეტიკური კოორდინატთა ვექტორული მეთოდები, აქსიომების როლი სასკოლო კურსის აგებაში. ცნებებისა და თეორემების დანერგვის მეთოდები, სამკუთხედების ტოლობის ნიშნების შესწავლის სქემა.

რეზიუმე, დამატებულია 03/07/2010


დაწყებით სკოლაში მათემატიკის შესწავლის თავისებურებები დაწყებითი ზოგადი განათლების ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის მიხედვით. კურსის შინაარსი. ძირითადი მათემატიკური ცნებების ანალიზი. ინდივიდუალური მიდგომის არსი დიდაქტიკაში.

ლექცია 5. მათემატიკური ცნებები

1. ცნების ფარგლები და შინაარსი. ცნებებს შორის ურთიერთობა

2. ცნებების განმარტება. განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ცნებები.

3. ცნებების განსაზღვრის გზები.

4. ძირითადი დასკვნები

მათემატიკის დაწყებით კურსში შესწავლილი ცნებები, როგორც წესი, წარმოდგენილია ოთხი ჯგუფის სახით. პირველი მოიცავს ციფრებთან და მათზე მოქმედებებთან დაკავშირებულ ცნებებს: რიცხვი, შეკრება, ტერმინი, მეტი და ა.შ. მეორეში შედის ალგებრული ცნებები: გამოხატულება, ტოლობა, განტოლებები და ა.შ. მესამე ჯგუფი შედგება გეომეტრიული ცნებებისგან: სწორი ხაზი, სეგმენტი, სამკუთხედი. და ა.შ.დ. მეოთხე ჯგუფს ქმნიან რაოდენობასთან და მათ გაზომვასთან დაკავშირებული ცნებები.

ცნებების მთელი მრავალფეროვნების შესასწავლად, თქვენ უნდა გქონდეთ წარმოდგენა კონცეფციის, როგორც ლოგიკური კატეგორიის და მათემატიკური ცნებების თავისებურებების შესახებ.

ლოგიკაში ცნებებიგანიხილება, როგორც აზროვნების ფორმაასახავს საგნებს (ობიექტებს და ფენომენებს) მათი არსებითი და საერთო თვისებებიოჰ. ცნების ენობრივი ფორმაა სიტყვა (ტერმინი) ან სიტყვათა ჯგუფი.

ობიექტის შესახებ ცნების შედგენა - ϶ᴛᴏ ნიშნავს მისი გარჩევის შესაძლებლობას მის მსგავსი სხვა ობიექტებისგან. მათემატიკური ცნებები აქვს მთელი რიგი მახასიათებლები. მთავარი ის არის, რომ რეალურად არ არსებობს მათემატიკური ობიექტები, რომლებზეც ძალზე მნიშვნელოვანია კონცეფციის ჩამოყალიბება. მათემატიკური საგნები იქმნება ადამიანის გონებით. ეს არის იდეალური ობიექტები, რომლებიც ასახავს რეალურ ობიექტებს ან ფენომენებს. მაგალითად, გეომეტრიაში შეისწავლება საგნების ფორმა და ზომა სხვა თვისებების გათვალისწინების გარეშე: ფერი, მასა, სიმტკიცე და ა.შ. ამ ყველაფრიდან ისინი აბსტრაქტულია. ამ მიზეზით გეომეტრიაში სიტყვა „ობიექტის“ ნაცვლად ამბობენ „გეომეტრიული ფიგურა“.

აბსტრაქციის შედეგია აგრეთვე ისეთი მათემატიკური ცნებები, როგორიცაა „რიცხვი“ და „მნიშვნელობა“.

ზოგადად, მათემატიკური ობიექტები არსებობს მხოლოდ ადამიანის აზროვნებაში და იმ ნიშნებსა და სიმბოლოებში, რომლებიც ქმნიან მათემატიკურ ენას.

ნათქვამსაც შეიძლება დაემატოს შესწავლით მატერიალური სამყაროს სივრცითი ფორმები და რაოდენობრივი მიმართებები, მათემატიკა არა მხოლოდ იყენებს აბსტრაქციის სხვადასხვა მეთოდს, არამედ თავად აბსტრაქცია მოქმედებს როგორც მრავალსაფეხურიანი პროცესი. მათემატიკაში განიხილება არა მხოლოდ ცნებები, რომლებიც გაჩნდა რეალური ობიექტების შესწავლისას, არამედ ცნებები, რომლებიც წარმოიშვა პირველის საფუძველზე. მაგალითად, ფუნქციის, როგორც კორესპონდენციის ზოგადი კონცეფცია არის კონკრეტული ფუნქციების ცნებების განზოგადება, ᴛ.ᴇ. აბსტრაქცია აბსტრაქციებიდან.

1. კონცეფციის ფარგლები და შინაარსი. ცნებებს შორის ურთიერთობა

ყველა მათემატიკურ ობიექტს აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, კვადრატს აქვს ოთხი გვერდი, ოთხი მართი კუთხე დიაგონალის ტოლი. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ სხვა თვისებებიც.

ობიექტის თვისებებს შორის არის არსებითი და არაარსებითი. საკუთრების განცდა არსებითია ობიექტისთვის͵ თუ იგი თანდაყოლილია ამ ობიექტში და მის გარეშე ვერ იარსებებს. მაგალითად, კვადრატისთვის, ყველა ზემოთ ნახსენები თვისება აუცილებელია. თვისება „AB მხარე ჰორიზონტალურია“ არ არის არსებითი ABCD კვადრატისთვის.

მათემატიკური ცნების შესახებ საუბრისას ისინი ჩვეულებრივ გულისხმობენ ობიექტების ერთობლიობას ვადა(სიტყვა ან სიტყვათა ჯგუფი). ამრიგად, კვადრატზე საუბრისას, ისინი გულისხმობენ ყველა გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც არის კვადრატი. ითვლება, რომ ყველა კვადრატის სიმრავლე არის "კვადრატის" კონცეფციის ფარგლები.

Საერთოდ, კონცეფციის ფარგლები არის ϶ᴛᴏ ყველა ობიექტის ერთობლიობა, რომელიც აღინიშნება ერთი ტერმინით.

ნებისმიერ კონცეფციას აქვს არა მხოლოდ ფარგლები, არამედ შინაარსიც.

განვიხილოთ, მაგალითად, მართკუთხედის კონცეფცია.

კონცეფციის ფარგლები არის ϶ᴛᴏ სხვადასხვა მართკუთხედების ერთობლიობა და მისი შინაარსი მოიცავს მართკუთხედების ისეთ თვისებებს, როგორიცაა "აქვს ოთხი მართი კუთხე", "აქვს თანაბარი საპირისპირო მხარეები", "აქვს თანაბარი დიაგონალები" და ა.შ.

ცნების ფარგლებსა და მის შინაარსს შორის არის ურთიერთობა: თუ კონცეფციის მოცულობა იზრდება, მაშინ მისი შინაარსი მცირდება და პირიქით. ასე, მაგალითად, „კვადრატის“ ცნების ფარგლები „მართკუთხედის“ ცნების ფარგლების ნაწილია, ხოლო „კვადრატის“ ცნების შინაარსი შეიცავს უფრო მეტ თვისებას, ვიდრე „მართკუთხედის“ ცნების შინაარსი. („ყველა გვერდი თანაბარია“, „დიაგონალები ურთიერთ პერპენდიკულარულია“ და ა.შ.).

ნებისმიერი კონცეფციის ათვისება შეუძლებელია სხვა ცნებებთან მისი ურთიერთობის გაცნობიერების გარეშე. ამ მიზეზით, მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა ურთიერთობებში შეიძლება იყოს ცნებები და შეძლოთ ამ კავშირების დამყარება.

ცნებებს შორის ურთიერთობები მჭიდრო კავშირშია მათ ტომებს შორის, ᴛ.ᴇ. კომპლექტი.

მოდით შევთანხმდეთ ცნებების აღნიშვნაზე ლათინური ანბანის მცირე ასოებით: a, b, c, d, ..., z.

მიეცით ორი a და b ცნება. ავღნიშნოთ მათი ტომები, შესაბამისად A და B.

თუ A ⊂ B (A ≠ B), მაშინ ამბობენ, რომ a ცნება სპეციფიკურია b ცნებასთან მიმართებაში, ხოლო b ცნება ზოგადია a ცნებასთან მიმართებაში.

მაგალითად, თუ a არის „მართკუთხედი“, b არის „ოთხკუთხედი“, მაშინ მათი ტომები A და B მიმართულია ჩართვასთან (A ⊂ B და A ≠ B), ამასთან დაკავშირებით, ნებისმიერი მართკუთხედი არის ოთხკუთხედი. ამ მიზეზით, შეიძლება ითქვას, რომ „მართკუთხედის“ ცნება სპეციფიკურია „ოთხკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში, ხოლო „ოთხკუთხედის“ ცნება ზოგადია „მართკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში.

თუ A = B, მაშინ A და B ცნებები იდენტურია.

მაგალითად, "ტოლგვერდა სამკუთხედის" და "ტოლგვერდა სამკუთხედის" ცნებები იდენტურია, რადგან მათი მოცულობა იგივეა.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ გვარისა და სახეობის ურთიერთობა ცნებებს შორის.

1. უპირველეს ყოვლისა, გვარისა და სახეობის ცნებები ფარდობითია: ერთი და იგივე ცნება შეიძლება იყოს ზოგადი ერთ ცნებასთან მიმართებაში და სახეობა მეორესთან მიმართებაში. მაგალითად, „მართკუთხედის“ ცნება ზოგადია „კვადრატის“ ცნებასთან მიმართებაში და სპეციფიკური „ოთხკუთხედის“ ცნებასთან მიმართებაში.

2. მეორეც, მოცემული კონცეფციისთვის ხშირად შესაძლებელია რამდენიმე ზოგადი ცნების დაზუსტება. ასე რომ, "მართკუთხედის" კონცეფციისთვის ზოგადია "ოთხკუთხედი", "პარალელოგრამი", "მრავალკუთხედი" ცნებები. მათ შორის, შეგიძლიათ მიუთითოთ უახლოესი. "მართკუთხედის" კონცეფციისთვის ყველაზე ახლოს არის "პარალელოგრამის" ცნება.

3. მესამე, სახეობის კონცეფციას აქვს ზოგადი კონცეფციის ყველა თვისება. მაგალითად, კვადრატს, როგორც სპეციფიკურ კონცეფციას "მართკუთხედის" კონცეფციასთან მიმართებაში, აქვს მართკუთხედის თანდაყოლილი ყველა თვისება.

იმის გამო, რომ კონცეფციის ფარგლები არის კომპლექტი, მოსახერხებელია ცნებების ფარგლებს შორის ურთიერთობების დამყარებისას მათი გამოსახვა ეილერის წრეების გამოყენებით.

დავადგინოთ, მაგალითად, ურთიერთობა a და b ცნებების შემდეგ წყვილებს შორის, თუ:

1) a - "მართკუთხედი", b - "რომბი";

2) a - "მრავალკუთხედი", b - "პარალელოგრამი";

3) a - "სწორი", b - "სეგმენტი".

ნაკრებებს შორის ურთიერთობები ნაჩვენებია ფიგურაში, შესაბამისად.

2. ცნებების განმარტება. განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ცნებები.

მათემატიკაში ახალი ცნებების გამოჩენა და, შესაბამისად, ამ ცნებების აღმნიშვნელი ახალი ტერმინები, მათ განსაზღვრებას გულისხმობს.

განმარტებაჩვეულებრივ უწოდებენ წინადადებას, რომელიც ხსნის ახალი ტერმინის (ან აღნიშვნის) არსს. როგორც წესი, ეს კეთდება ადრე შემოღებული კონცეფციების საფუძველზე. მაგალითად, მართკუთხედი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: „მართკუთხედს ეწოდება ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე სწორია“. ამ განმარტებას აქვს ორი ნაწილი - განსაზღვრული ცნება (მართკუთხედი) და განმსაზღვრელი ცნება (ოთხკუთხედი ყველა მართი კუთხით). თუ პირველ ცნებას აღვნიშნავთ a-ით, ხოლო მეორე ცნებას b-ით, მაშინ ეს განმარტება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

a არის (განმარტებით) b.

სიტყვები "არის (განმარტებით)" ჩვეულებრივ იცვლება სიმბოლოთი ⇔ და შემდეგ განმარტება ასე გამოიყურება:

ისინი კითხულობენ: "a უდრის b-ს განმარტებით". თქვენ ასევე შეგიძლიათ წაიკითხოთ ეს ჩანაწერი ასე: „და თუ და მხოლოდ თუ ბ.

ასეთი სტრუქტურის მქონე განმარტებები ე.წ გამოკვეთილი. განვიხილოთ ისინი უფრო დეტალურად.

მოდით მივმართოთ „მართკუთხედის“ განმარტების მეორე ნაწილს.

შეიძლება გამოიყოს:

1) "ოთხკუთხედის" ცნება, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ზოგადია "მართკუთხედის" ცნებასთან მიმართებაში.

2) თვისება „იყოს ყველა სწორი კუთხე“, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ ერთი ტიპი ყველა შესაძლო ოთხკუთხედიდან - ოთხკუთხედებიდან; ამ მხრივ მას სახეობების განსხვავებას უწოდებენ.

ზოგადად, სპეციფიკური განსხვავება არის ϶ᴛᴏ თვისებები (ერთი ან მეტი), რომელიც საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ განსაზღვრული ობიექტები ზოგადი კონცეფციის ფარგლებიდან.

ჩვენი ანალიზის შედეგები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დიაგრამის სახით:

"+" ნიშანი გამოიყენება "და" ნაწილაკების შემცვლელად.

ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერ კონცეფციას აქვს არეალი. თუ ცნება a განისაზღვრება გვარისა და სპეციფიკური განსხვავების მიხედვით, მაშინ მისი მოცულობა - A სიმრავლე - შეიძლება ითქვას, რომ ის შეიცავს ისეთ ობიექტებს, რომლებიც მიეკუთვნებიან C სიმრავლეს (გენერიკული კონცეფციის მოცულობას) და აქვთ P თვისება:

A = (x/ x ∈ C და P(x)).

ვინაიდან ცნების განმარტება გვარის და კონკრეტული განსხვავების საშუალებით, არსებითად არის პირობითი შეთანხმება ახალი ტერმინის შემოღებაზე, რათა ჩაანაცვლოს ნებისმიერი ცნობილი ტერმინი, შეუძლებელია იმის თქმა, არის თუ არა იგი ჭეშმარიტი თუ მცდარი; ის არც დადასტურებულია და არც უარყოფილია. მაგრამ, განმარტებების ჩამოყალიბებისას ისინი იცავენ უამრავ წესს. მოდით დავურეკოთ მათ.

1. განმარტება უნდა იყოს პროპორციული. ეს ნიშნავს, რომ განსაზღვრული და განმსაზღვრელი ცნებების ფარგლები უნდა ემთხვეოდეს.

2. განმარტებაში (ან მათ სისტემაში) არ უნდა იყოს მანკიერი წრე. ეს ნიშნავს, რომ ცნება არ შეიძლება განისაზღვროს თავისთავად.

3. განმარტება უნდა იყოს ნათელი. საჭიროა, მაგალითად, რომ განმსაზღვრელ კონცეფციაში შემავალი ტერმინების მნიშვნელობები ცნობილი იყოს ახალი ცნების დეფინიციის დანერგვის დროისთვის.

4. განსაზღვრეთ ერთი და იგივე ცნება გვარისა და კონკრეტული განსხვავების მეშვეობით, ზემოთ ჩამოყალიბებული წესების დაცვით, შეიძლება იყოს სხვადასხვა გზით. ამრიგად, კვადრატი შეიძლება განისაზღვროს როგორც:

ა) მართკუთხედი, რომლის მიმდებარე გვერდები ტოლია;

ბ) მართკუთხედი, რომლის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია;

გ) რომბი, რომელსაც აქვს მართი კუთხე;

დ) პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია და კუთხეები მართია.

ერთი და იგივე ცნების სხვადასხვა განმარტება შესაძლებელია კონცეფციის შინაარსში შემავალი თვისებების დიდი რაოდენობის გამო, მხოლოდ რამდენიმე შედის განმარტებაში. შემდეგ კი არჩეულია ერთ-ერთი შესაძლო განმარტება, საიდანაც ერთი უფრო მარტივი და მიზანშეწონილია თეორიის შემდგომი მშენებლობისთვის.

მოდით დავასახელოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელსაც უნდა მივყვეთ, თუ გვინდა გავამრავლოთ ნაცნობი კონცეფციის განმარტება ან ავაშენოთ ახლის განმარტება:

1. დაასახელეთ განსაზღვრული ცნება (ტერმინი).

2. მიუთითეთ უახლოესი ზოგადი ცნება (განსაზღვრულთან მიმართებაში).

3. ჩამოთვალეთ ის თვისებები, რომლებიც განასხვავებენ განსაზღვრულ ობიექტებს გენერიკის მოცულობისგან, ანუ ჩამოაყალიბეთ კონკრეტული განსხვავება.

4. შეამოწმეთ დაცულია თუ არა ცნების განსაზღვრის წესები (პროპორციულია თუ არა, არის თუ არა მოჯადოებული წრე და ა.შ.).

იმ უნარებს შორის, რომლებსაც მათემატიკა ასწავლის და რომელიც ყველა თქვენგანმა უნდა ისწავლოს, დიდი მნიშვნელობააქვს უნარი კლასიფიცირებაცნებები.

ფაქტია, რომ მათემატიკა, ისევე როგორც მრავალი სხვა მეცნიერება, სწავლობს არა ცალკეულ ობიექტებს ან ფენომენებს, არამედ მასიური. ასე რომ, როდესაც თქვენ სწავლობთ სამკუთხედებს, თქვენ სწავლობთ ნებისმიერი სამკუთხედის თვისებებს და მათი რაოდენობა უსასრულოა. ზოგადად, ნებისმიერი მათემატიკური ცნების მოცულობა, როგორც წესი, უსასრულოა.

მათემატიკური ცნებების ობიექტების განსხვავების მიზნით, მათი თვისებების შესასწავლად, ეს ცნებები ჩვეულებრივ იყოფა ტიპებად, კლასებად. ყოველივე ამის შემდეგ, ზოგადი თვისებების გარდა, ნებისმიერ მათემატიკურ კონცეფციას ბევრი სხვა აქვს მნიშვნელოვანი თვისებები, თანდაყოლილი არა ამ კონცეფციის ყველა ობიექტისთვის, არამედ მხოლოდ გარკვეული სახის ობიექტებისთვის. Ისე, მართკუთხა სამკუთხედები, გარდა ნებისმიერი სამკუთხედის ზოგადი თვისებებისა, აქვს მრავალი თვისება, რომელიც ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკისთვის, მაგალითად პითაგორას თეორემა, კუთხეებსა და გვერდებს შორის ურთიერთობა და ა.შ.

მათემატიკური ცნებების მრავალსაუკუნოვანი შესწავლის პროცესში, ცხოვრებაში მათი მრავალრიცხოვანი გამოყენების პროცესში, სხვა მეცნიერებებში, ზოგიერთი სპეციალური ტიპებიყველაზე მეტის მქონე საინტერესო თვისებებიყველაზე ხშირად გვხვდება და გამოიყენება პრაქტიკაში. ასე რომ, არსებობს უსასრულოდ ბევრი სხვადასხვა ოთხკუთხედი, მაგრამ პრაქტიკაში, ტექნოლოგიაში, მათი მხოლოდ გარკვეული ტიპები გამოიყენება ყველაზე მეტად: კვადრატები, მართკუთხედები, პარალელოგრამები, რომბები, ტრაპეცია.

კონცეფციის ფარგლების ნაწილებად დაყოფა ამ კონცეფციის კლასიფიკაციაა. უფრო ზუსტად, კლასიფიკაცია გაგებულია, როგორც კონცეფციის ობიექტების განაწილება ურთიერთდაკავშირებულ კლასებად (სახეობები, ტიპები) ყველაზე მეტად. აუცილებელი თვისებები(თვისებები). ნიშანი (საკუთრება), რომლის მიხედვითაც ხდება ცნების ტიპებად (კლასებად) კლასიფიკაცია (დაყოფა), ე.წ. საფუძველიკლასიფიკაცია.

კონცეფციის სწორად აგებული კლასიფიკაცია ასახავს კონცეფციის ობიექტებს შორის ყველაზე არსებით თვისებებს და კავშირებს, ხელს უწყობს ამ ობიექტების სიმრავლის უკეთ ნავიგაციას, შესაძლებელს ხდის ამ ობიექტების ისეთი თვისებების დადგენას, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია ამ გამოყენებისთვის. კონცეფცია სხვა მეცნიერებებში და ყოველდღიურ პრაქტიკაში.

კონცეფცია კლასიფიცირებულია ერთი ან რამდენიმე ყველაზე მნიშვნელოვანი საფუძვლის მიხედვით.

ასე რომ, სამკუთხედები შეიძლება დაიყოს კუთხეების ზომის მიხედვით. ვიღებთ შემდეგ ტიპებს: მახვილკუთხა (ყველა კუთხე მახვილია), მართკუთხა (ერთი კუთხე სწორია, დანარჩენი მახვილი), ბლაგვიკუთხოვანი (ერთი კუთხე ბლაგვია, დანარჩენი მახვილია). თუ სამკუთხედების გაყოფის საფუძვლად ავიღებთ გვერდებს შორის თანაფარდობებს, მაშინ მივიღებთ შემდეგ ტიპებს: მრავალმხრივი, ტოლგვერდა და რეგულარული (ტოლგვერდა).

უფრო რთულია, როცა ცნების კლასიფიკაცია რამდენიმე საფუძვლით გიწევს. ასე რომ, თუ ამოზნექილი ოთხკუთხედები კლასიფიცირდება გვერდების პარალელურობის მიხედვით, მაშინ არსებითად უნდა გავყოთ ყველა ამოზნექილი ოთხკუთხედი ერთდროულად ორი კრიტერიუმის მიხედვით: 1) მოპირდაპირე გვერდების ერთი წყვილი პარალელია თუ არა; 2) მოპირდაპირე გვერდების მეორე წყვილი პარალელურია თუ არა. შედეგად მივიღებთ ამოზნექილი ოთხკუთხედების სამ ტიპს: 1) ოთხკუთხედები არაპარალელური გვერდებით; 2) ოთხკუთხედები ერთი წყვილი პარალელური გვერდით - ტრაპეცია; 3) ოთხკუთხედები ორი წყვილი პარალელური გვერდით - პარალელოგრამები.

ხშირად, კონცეფცია კლასიფიცირდება ეტაპობრივად: ჯერ ერთი ფუძის მიხედვით, შემდეგ ზოგიერთი სახეობა იყოფა ქვესახეობებად სხვა საფუძვლის მიხედვით და ა.შ. მაგალითად არის ოთხკუთხედების კლასიფიკაცია. პირველ ეტაპზე ისინი იყოფა ამოზნექილობის საფუძველზე. შემდეგ ამოზნექილი ოთხკუთხედები იყოფა მოპირდაპირე გვერდების პარალელურობის მიხედვით. თავის მხრივ, პარალელოგრამები იყოფა მართი კუთხის არსებობის მიხედვით და ა.შ.

კლასიფიკაციისას უნდა დაიცვან გარკვეული წესები. მოდით აღვნიშნოთ მთავარი.

1. კლასიფიკაციის საფუძვლად შეიძლება ავიღოთ მოცემული კონცეფციის ყველა ობიექტის მხოლოდ საერთო მახასიათებელი.ასე, მაგალითად, შეუძლებელია ალგებრული გამონათქვამების კლასიფიკაციის საფუძვლად მივიღოთ რომელიმე ცვლადის ძალაში ტერმინების განლაგების ნიშანი. ეს თვისება არ არის საერთო ყველა ალგებრული გამონათქვამისთვის, მაგალითად, მას არ აქვს აზრი წილადური გამოსახულებების ან მონომიებისთვის. მხოლოდ მრავალწევრებს აქვთ ეს თვისება, ამიტომ მრავალწევრები შეიძლება კლასიფიცირდეს მთავარი ცვლადის უმაღლესი ხარისხის მიხედვით.
2. კლასიფიკაციის საფუძვლად უნდა იქნას მიღებული ცნებების არსებითი თვისებები (მახასიათებლები).კიდევ ერთხელ განვიხილოთ ალგებრული გამოხატვის კონცეფცია. ამ კონცეფციის ერთ-ერთი თვისება ის არის, რომ ალგებრული გამოსახულებაში შემავალი ცვლადები აღინიშნება ზოგიერთი ასოებით. ეს თვისება ზოგადია, მაგრამ არა არსებითი, რადგან გამოხატვის ბუნება არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ასოა მითითებული ესა თუ ის ცვლადი. ასე რომ, ალგებრული გამონათქვამები x+yდა a+bარსებითად იგივე გამოხატულებაა. ამიტომ, არ არის აუცილებელი გამონათქვამების კლასიფიკაცია ასოებით ცვლადების აღნიშვნის საფუძველზე. სხვა საქმეა, თუ ალგებრული გამონათქვამების კლასიფიკაციის საფუძველს ავიღებთ იმ მოქმედებების ტიპის ნიშანს, რომლითაც ცვლადები არიან დაკავშირებული, ანუ მოქმედებები, რომლებიც შესრულებულია ცვლადებზე. ეს საერთო მახასიათებელი ძალიან მნიშვნელოვანია და ამ მახასიათებლის მიხედვით კლასიფიკაცია სწორი და სასარგებლო იქნება.
3. კლასიფიკაციის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ ერთი საფუძველი.შეუძლებელია ცნების ერთდროულად კლასიფიკაცია ორი განსხვავებული კრიტერიუმის მიხედვით. მაგალითად, შეუძლებელია სამკუთხედების დაუყონებლივ კლასიფიცირება როგორც ზომის, ისე გვერდებს შორის თანაფარდობის მიხედვით, რადგან შედეგად მივიღებთ სამკუთხედების კლასებს, რომლებსაც აქვთ საერთო ელემენტები (მაგალითად, მახვილკუთხა და ტოლკუთხედი ან ბლაგვკუთხა და ტოლფერდა. და ა.შ.). აქ ირღვევა შემდეგი კლასიფიკაციის მოთხოვნა: თითოეულ ეტაპზე კლასიფიკაციის შედეგად მიღებული კლასები (ტიპები) არ უნდა იკვეთებოდეს.
4. Ამავე დროს კლასიფიკაცია რატომღაც ამომწურავი უნდა იყოს და ცნების თითოეული ობიექტი უნდა მოხვდეს ერთ და მხოლოდ ერთ კლასში კლასიფიკაციის შედეგად.

მაშასადამე, ყველა მთელი რიცხვის დაყოფა დადებითად და უარყოფითად არასწორია, რადგან მთელი რიცხვი ნული არცერთ კლასში არ მოხვდა. ეს უნდა ვთქვათ: მთელი რიცხვები იყოფა სამ კლასად - დადებითი, უარყოფითი და რიცხვი ნული.

ხშირად, ცნებების კლასიფიკაციისას, მხოლოდ ზოგიერთი კლასი გამოირჩევა მკაფიოდ, ხოლო დანარჩენი მხოლოდ იგულისხმება. ასე, მაგალითად, ალგებრული გამონათქვამების შესწავლისას, ჩვეულებრივ გამოიყოფა მხოლოდ ასეთი ტიპის გამონათქვამები: მონომები, მრავალწევრები, წილადი გამოსახულებები, ირაციონალური. მაგრამ ეს ტიპები არ ამოწურავს ყველა ტიპის ალგებრულ გამონათქვამს, ამიტომ ასეთი კლასიფიკაცია არის არასრული.

ალგებრული გამონათქვამების სრული სწორი კლასიფიკაცია შეიძლება გაკეთდეს შემდეგნაირად.

ალგებრული გამონათქვამების კლასიფიკაციის პირველ ეტაპზე ისინი იყოფა ორ კლასად: რაციონალური და არარაციონალური. მეორე ეტაპზე რაციონალური გამონათქვამები იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მესამე ეტაპზე მთელი რიცხვები იყოფა მონომებად, მრავალწევრებად და რთულ მთელ რიცხვებად.

ეს კლასიფიკაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად

დავალება 7

7.1. რატომ არ შეიძლება რაციონალური რიცხვების კლასიფიცირება მათი პარიტეტის მიხედვით?

7.2. დაადგინეთ სწორია თუ არა კონცეფციის დაყოფა:

ა) მნიშვნელობები შეიძლება იყოს თანაბარი ან არათანაბარი.

ბ) ფუნქციები იზრდება ან მცირდება.

გ) ტოლფერდა სამკუთხედები შეიძლება იყოს მახვილი, მართალი ან ბლაგვი.

დ) მართკუთხედები არის კვადრატები და რომბები.

7.3. გაანაწილეთ „გეომეტრიული ფიგურის“ ცნება სიბრტყის ნაწილის დასაკავებლად თვისების მიხედვით და მოიყვანეთ თითოეული ტიპის მაგალითები.

7.4. რაციონალური რიცხვების შესაძლო კლასიფიკაციის სქემების აგება.

7.5. შექმენით კლასიფიკაციის სქემა შემდეგი ცნებებისთვის:

ა) ოთხკუთხედი;

ბ) ორი კუთხე.

7.6. დაალაგეთ შემდეგი ცნებები:

ა) სამკუთხედი და წრე;

ბ) კუთხეები წრეში;

გ) ორი წრე;

დ) სწორი ხაზი და წრე;

ე) კვადრატული განტოლებები;

ვ) პირველი ხარისხის ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით.