Co dzieje się z wykładnikami podczas mnożenia liczb. Właściwości stopni: sformułowania, dowody, przykłady. Stopień z ujemną podstawą
Pojęcie stopnia z matematyki jest wprowadzane już w 7 klasie na lekcji algebry. A w przyszłości, w trakcie studiowania matematyki, ta koncepcja jest aktywnie wykorzystywana w różnych formach. Stopnie to dość trudny temat, wymagający zapamiętywania wartości oraz umiejętności prawidłowego i szybkiego liczenia. Aby szybciej i lepiej pracować ze stopniami matematyki, wymyślili właściwości stopnia. Pomagają ograniczyć duże obliczenia, do pewnego stopnia przekształcić ogromny przykład w jedną liczbę. Nie ma zbyt wielu właściwości, a wszystkie są łatwe do zapamiętania i zastosowania w praktyce. Dlatego w artykule omówiono główne właściwości stopnia, a także miejsce ich zastosowania.
właściwości stopnia
Rozważymy 12 własności stopnia, w tym własności potęg o tej samej podstawie, i podamy przykład dla każdej własności. Każda z tych właściwości pomoże Ci szybciej rozwiązywać problemy, a także uchroni Cię przed licznymi błędami obliczeniowymi.
1. nieruchomość.
Wiele osób bardzo często zapomina o tej własności, popełnia błędy, przedstawiając liczbę do zera jako zero.
2. nieruchomość.
Trzecia nieruchomość.
Należy pamiętać, że ta właściwość może być używana tylko przy mnożeniu liczb, nie działa z sumą! I nie wolno nam zapominać, że ta i kolejne właściwości odnoszą się tylko do potęg o tej samej podstawie.
4. nieruchomość.
Jeśli liczba w mianowniku zostanie podniesiona do potęgi ujemnej, to podczas odejmowania w nawiasach przyjmuje się stopień mianownika, aby poprawnie zastąpić znak w dalszych obliczeniach.
Właściwość działa tylko podczas dzielenia, a nie odejmowania!
5. nieruchomość.
6. nieruchomość.
Ta właściwość może być również stosowana w odwrotnej kolejności. Jednostka podzielona przez liczbę do pewnego stopnia to ta liczba do potęgi ujemnej.
7. nieruchomość.
Ta właściwość nie może być stosowana do sumy i różnicy! Podnosząc sumę lub różnicę do potęgi, stosuje się skrócone wzory mnożenia, a nie właściwości potęgi.
8. nieruchomość.
9. nieruchomość.
Ta właściwość działa dla dowolnego stopnia ułamkowego z licznikiem równym jeden, formuła będzie taka sama, tylko stopień pierwiastka zmieni się w zależności od mianownika stopnia.
Ta właściwość jest również często używana w Odwrotna kolejność. Pierwiastek dowolnej potęgi liczby można przedstawić jako tę liczbę do potęgi jedynki podzielonej przez potęgę pierwiastka. Ta właściwość jest bardzo przydatna w przypadkach, gdy nie jest wyodrębniany korzeń liczby.
10. nieruchomość.
Ta właściwość działa nie tylko z pierwiastek kwadratowy i drugiego stopnia. Jeśli stopień korzenia i stopień podniesienia tego korzenia są takie same, to odpowiedzią będzie radykalne wyrażenie.
11. nieruchomość.
Musisz być w stanie zobaczyć tę właściwość na czas podczas jej rozwiązywania, aby uchronić się przed ogromnymi obliczeniami.
12. nieruchomość.
Każda z tych właściwości spotka Cię nie raz w zadaniach, może być podana w czystej postaci lub może wymagać pewnych przekształceń i użycia innych formuł. Dlatego dla Dobra decyzja nie wystarczy znać tylko właściwości, trzeba przećwiczyć i połączyć resztę wiedzy matematycznej.
Zastosowanie stopni i ich właściwości
Są aktywnie wykorzystywane w algebrze i geometrii. Stopnie z matematyki zajmują osobne, ważne miejsce. Za ich pomocą rozwiązywane są równania wykładnicze i nierówności, a także potęgi często komplikują równania i przykłady związane z innymi działami matematyki. Wykładniki pomagają uniknąć dużych i długich obliczeń, łatwiej jest je zredukować i obliczyć. Ale aby pracować z dużymi mocami lub z mocami o dużych liczbach, musisz znać nie tylko właściwości stopnia, ale także umiejętnie pracować z podstawami, być w stanie je rozłożyć, aby ułatwić sobie zadanie. Dla wygody powinieneś również znać znaczenie liczb podniesionych do potęgi. Skróci to Twój czas rozwiązywania, eliminując konieczność długich obliczeń.
Pojęcie stopnia odgrywa szczególną rolę w logarytmach. Ponieważ logarytm jest w istocie potęgą liczby.
Innym przykładem użycia potęgi są skrócone wzory mnożenia. Nie mogą korzystać z właściwości stopni, rozkładają się według specjalnych zasad, ale w każdym skróconym wzorze mnożenia niezmiennie występują stopnie.
Stopnie naukowe są również aktywnie wykorzystywane w fizyce i informatyce. Wszystkie tłumaczenia do systemu SI są dokonywane przy użyciu stopni, aw przyszłości przy rozwiązywaniu problemów stosowane są właściwości stopnia. W informatyce aktywnie wykorzystuje się potęgi dwójki, aby ułatwić liczenie i uprościć postrzeganie liczb. Dalsze obliczenia do przeliczania jednostek miar lub obliczenia problemów, podobnie jak w fizyce, odbywają się z wykorzystaniem właściwości stopnia.
Stopnie są również bardzo przydatne w astronomii, gdzie rzadko można znaleźć zastosowanie właściwości stopnia, ale same stopnie są aktywnie wykorzystywane do skracania zapisu różnych wielkości i odległości.
Stopnie są również używane w życiu codziennym, przy obliczaniu powierzchni, objętości, odległości.
Za pomocą stopni zapisuje się bardzo duże i bardzo małe wartości w dowolnej dziedzinie nauki.
równania wykładnicze i nierówności
Właściwości stopnia zajmują szczególne miejsce właśnie w równania wykładnicze i nierówności. Te zadania są bardzo częste, zarówno na kursie szkolnym, jak i na egzaminach. Wszystkie są rozwiązywane przez zastosowanie właściwości stopnia. Niewiadoma jest zawsze w samym stopniu, dlatego znając wszystkie własności, nie będzie trudno rozwiązać takie równanie lub nierówność.
Dodawanie i odejmowanie potęg
Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Zatem suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.
Szanse te same moce tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 to 5a 2 .
Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, lub trzy kwadraty a, lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne oraz różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Zatem suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie jest ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie uprawnienia są wykonywane w taki sam sposób, jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki oddzielenia muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Mnożenie potęgi
Liczby z potęgami można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, pisząc je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynik pomnożenia a 3 przez b 2 to a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 x y 2
a 2 b 3 r 2 ⋅ a 3 b 2 r = a 2 b 3 r 2 za 3 b 2 r
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, widzimy, że jeśli pomnoży się dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej suma stopnie terminów.
A więc a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
A więc n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile jest potęgi n;
A m , przyjmuje się jako czynnik tyle razy, ile stopni m jest równe;
Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
A więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Oraz x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 r 3 ⋅ b 4 r = b 6 r 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta zasada odnosi się również do liczb, których wykładniki wynoszą − negatywny.
1. A więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a-n .a m = a m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: czyli
Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeśli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Tak więc (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Podział władz
Liczby z potęgami można dzielić tak jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 to a 3 .
Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez drugą, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Tak więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.
A n+1:a = a n+1-1 = a n . Czyli $\frac = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Zasada obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynik dzielenia -5 przez -3 daje -2 .
Również $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i doprowadź do wspólny mianownik.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Zmniejsz wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
właściwości stopnia
Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Stopnie z wymiernymi wskaźnikami i ich właściwości zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.
Stopień c wskaźnik naturalny ma kilka ważne właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładach z potęgami.
Właściwość #1
Iloczyn uprawnień
Podczas mnożenia potęg przy tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.
a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Ta właściwość potęgi wpływa również na iloczyn trzech lub więcej potęg.
- Uprość wyrażenie.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Obecny jako stopień naukowy.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Obecny jako stopień naukowy.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Zapisz iloraz jako potęgę
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Oblicz.
Należy pamiętać, że we wskazanej właściwości chodziło tylko o mnożenie potęg przy tych samych podstawach.. Nie dotyczy ich dodawania.
Nie możesz zastąpić sumy (3 3 + 3 2) przez 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
obliczyć (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Właściwość #2
Stopnie prywatne
Podczas dzielenia potęgi za pomocą tej samej podstawy podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności częściowych stopni.
3 8: t = 3 4
Odpowiedź: t = 3 4 = 81
Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.
Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Należy pamiętać, że właściwość 2 dotyczyła wyłącznie podziału kompetencji za pomocą tych samych zasad.
Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 -4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczysz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Właściwość #3
Potęgowanie
Podnosząc moc do potęgi podstawa stopnia pozostaje bez zmian, a wykładniki są mnożone.
(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo zajmiemy się tematem podniesienia ułamka do potęgi na następnej stronie.
Jak pomnożyć moce
Jak mnożyć moce? Jakie potęgi można mnożyć, a jakie nie? Jak pomnożyć liczbę przez potęgę?
W algebrze można znaleźć iloczyn potęgowania w dwóch przypadkach:
1) jeżeli stopnie mają tę samą podstawę;
2) jeżeli stopnie mają te same wskaźniki.
Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, podstawa musi pozostać taka sama, a wykładniki muszą zostać dodane:
Mnożąc stopnie za pomocą tych samych wskaźników, całkowity wskaźnik można wyjąć z nawiasów:
Zastanów się, jak pomnożyć moce na konkretnych przykładach.
Jednostka w wykładniku nie jest zapisywana, ale mnożąc stopnie, uwzględniają:
Podczas mnożenia liczba stopni może być dowolna. Należy pamiętać, że nie można napisać znaku mnożenia przed literą:
W wyrażeniach potęgowanie jest wykonywane jako pierwsze.
Jeśli potrzebujesz pomnożyć liczbę przez potęgę, musisz najpierw wykonać potęgowanie, a dopiero potem - mnożenie:
Mnożenie mocy przy tej samej podstawie
Ten samouczek wideo jest dostępny w ramach subskrypcji
Masz już abonament? Wejść
W tej lekcji dowiemy się, jak mnożyć moce za pomocą tej samej podstawy. Najpierw przywołujemy definicję stopnia i formułujemy twierdzenie o ważności równości . Następnie podajemy przykłady jego zastosowania do konkretnych liczb i udowadniamy to. Twierdzenie to zastosujemy również do rozwiązywania różnych problemów.
Temat: Stopień z naturalnym wskaźnikiem i jego właściwości
Lekcja: Mnożenie potęg z tymi samymi podstawami (wzór)
1. Podstawowe definicje
Podstawowe definicje:
n- wykładnik,
— n-ta potęga liczby.
2. Stwierdzenie twierdzenia 1
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Innymi słowy: jeśli a- Jakikolwiek numer; n oraz k liczby naturalne, to:
Stąd zasada 1:
3. Wyjaśnianie zadań
Wniosek: przypadki szczególne potwierdziły poprawność Twierdzenia nr 1. Udowodnijmy to w ogólnym przypadku, czyli dla każdego a i wszelkie naturalne n oraz k.
4. Dowód twierdzenia 1
Podano numer a- każdy; liczby n oraz k- naturalny. Udowodnić:
Dowód opiera się na definicji stopnia.
5. Rozwiązanie przykładów za pomocą Twierdzenia 1
Przykład 1: Obecny jako stopień naukowy.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 1.
oraz) 
6. Uogólnienie twierdzenia 1
Oto uogólnienie:
7. Rozwiązanie przykładów za pomocą uogólnienia Twierdzenia 1
8. Rozwiązywanie różnych problemów za pomocą Twierdzenia 1
Przykład 2: Oblicz (możesz skorzystać z tabeli podstawowych stopni).
a) 
(wg tabeli)
b) 
Przykład 3: Napisz jako potęgę o podstawie 2.
a) 
Przykład 4: Określ znak liczby:
, a - ujemny, ponieważ wykładnik przy -13 jest nieparzysty.
Przykład 5: Zastąp ( ) mocą z podstawą r:
To znaczy mamy .
9. Podsumowując
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 7. Wyd. M.: Oświecenie. 2010
1. Asystent szkolny (źródło).
1. Wyraź jako stopień:
a B C D E) 
3. Napisz jako potęgę o podstawie 2:
4. Określ znak liczby:
a) 
5. Zastąp ( ) potęgą liczby z podstawą r:
a) r4() = r15; b) ( ) r 5 = r 6
Mnożenie i dzielenie potęg z tymi samymi wykładnikami
W tej lekcji przestudiujemy mnożenie potęg z tymi samymi wykładnikami. Przypomnijmy najpierw podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące mnożenia i dzielenia potęg o tych samych podstawach oraz podnoszenia potęgi do potęgi. Następnie formułujemy i dowodzimy twierdzenia o mnożeniu i dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami. A potem z ich pomocą rozwiążemy szereg typowych problemów.
Przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń
Tutaj a- podstawa stopnia
— n-ta potęga liczby.
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 2. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k, takie, że n > k równość jest prawdziwa:
Podczas dzielenia potęgi o tej samej podstawie wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 3. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Wszystkie powyższe twierdzenia dotyczyły mocy o tym samym fusy, ta lekcja dotyczy stopni z tym samym wskaźniki.
Przykłady mnożenia potęg z tymi samymi wykładnikami
Rozważ następujące przykłady:
Wypiszmy wyrażenia określające stopień.
Wniosek: Z przykładów widać, że 
, ale trzeba to jeszcze udowodnić. Formułujemy twierdzenie i dowodzimy je w ogólnym przypadku, czyli dla dowolnego a oraz b i wszelkie naturalne n.
Stwierdzenie i dowód Twierdzenia 4
Dla dowolnych liczb a oraz b i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 4 .
Z definicji stopnia:
Udowodniliśmy więc, że .
Aby pomnożyć potęgi z tym samym wykładnikiem, wystarczy pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian.
Stwierdzenie i dowód Twierdzenia 5
Sformułujemy twierdzenie o dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami.
Dla dowolnej liczby a oraz b() i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 5 .
Zapiszmy i z definicji stopnia:
Stwierdzenie twierdzeń słowami
Udowodniliśmy więc to.
Aby podzielić między sobą stopnie o tych samych wykładnikach, wystarczy podzielić jedną podstawę przez drugą, a wykładnik pozostawić bez zmian.
Rozwiązywanie typowych problemów za pomocą Twierdzenia 4
Przykład 1: Wyraź jako iloczyn sił.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 4.
Aby rozwiązać następujący przykład, przywołaj formuły:
Uogólnienie twierdzenia 4
Uogólnienie twierdzenia 4:
Rozwiązywanie przykładów za pomocą uogólnionego twierdzenia 4
Dalsze rozwiązywanie typowych problemów
Przykład 2: Napisz jako stopień produktu.
Przykład 3: Napisz jako potęgę o wykładniku 2.
Przykłady obliczeń
Przykład 4: Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7 .M.: Edukacja. 2006
2. Asystent szkolny (Źródło).
1. Prezentuj jako iloczyn uprawnień:
a) ; b) ; w) ; G) ;
2. Zapisz jako stopień produktu:
3. Napisz w formie stopnia ze wskaźnikiem 2:
4. Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
Lekcja matematyki na temat „Mnożenie i dzielenie władzy”
Sekcje: Matematyka
Cel pedagogiczny:
Zadania:
Jednostki aktywności doktryny: określenie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego; składniki stopnia; definicja prywatności; asocjacyjne prawo mnożenia.
I. Organizacja przez studentów pokazu opanowania dotychczasowej wiedzy. (krok 1)
a) Aktualizacja wiedzy:
2) Sformułuj definicję stopnia z naturalnym wskaźnikiem.
a n \u003d a a a ... a (n razy)
b k \u003d b b b b a ... b (k razy) Uzasadnij swoją odpowiedź.
II. Organizacja samooceny stażysty według stopnia posiadania odpowiedniego doświadczenia. (krok 2)
Autotest :( Praca indywidualna w dwóch wersjach.)
A1) Wyraź iloczyn 7 7 7 7 x x x jako potęgę:
A2) Wyraź jako iloczyn stopień (-3) 3 x 2
A3) Oblicz: -2 3 2 + 4 5 3
Liczbę zadań w teście dobieram zgodnie z przygotowaniem poziomu zajęć.
Do testu podaję klucz do samodzielnego sprawdzenia. Kryteria: zaliczony-niezaliczony.
III. Zadanie edukacyjno-praktyczne (krok 3) + krok 4. (uczniowie sami sformułują właściwości)
W trakcie rozwiązywania problemów 1) i 2) uczniowie proponują rozwiązanie, a ja jako nauczyciel organizuję zajęcia, aby znaleźć sposób na uproszczenie uprawnień przy mnożeniu z tymi samymi podstawami.
Nauczyciel: wymyśl sposób na uproszczenie mocy podczas mnożenia przy tej samej podstawie.
W klastrze pojawia się wpis:
Sformułowano temat lekcji. Mnożenie władzy.
Nauczyciel: wymyśl zasadę dzielenia stopni tymi samymi podstawami.
Rozumowanie: jakie działanie sprawdza podział? a 5: a 3 = ? że 2 za 3 = 5
Wracam do schematu - klaster i uzupełniam wpis - ..przy dzieleniu, odejmowaniu i dodawaniu tematu lekcji. ...i podział stopni.
IV. Przekazywanie studentom granic wiedzy (jako minimum i jako maksimum).
Nauczyciel: zadaniem minimum na dzisiejszej lekcji jest nauczenie się stosowania własności mnożenia i dzielenia potęg przy tych samych podstawach, a maksimum: łącznego stosowania mnożenia i dzielenia.
Napisz na tablicy : a m za n = za m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organizacja badania nowego materiału. (krok 5)
a) Wg podręcznika: nr 403 (a, c, e) zadania o innym brzmieniu
nr 404 (a, e, f) niezależna praca, potem organizuję wzajemną kontrolę, oddaję klucze.
b) Dla jakiej wartości m obowiązuje równość? 16 m \u003d 32; x wys x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Zadanie: wymyśl podobne przykłady do podziału.
c) Nr 417(a), Nr 418(a) Pułapki na studentów: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 \u003d 2.
VI. Podsumowanie tego, czego się nauczono, prowadzenie pracy diagnostycznej (co zachęca uczniów, a nie nauczycieli do studiowania tego tematu) (krok 6)
prace diagnostyczne.
Test(włóż klucze) Odwrotna strona test).
Warianty zadania: przedstaw jako stopień iloraz x 15: x 3; przedstawiają jako potęgę iloczyn (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; dla których m jest równością a 16 a m = a 32 prawda; znajdź wartość wyrażenia h 0: h 2 z h = 0,2; obliczyć wartość wyrażenia (5 2 5 0) : 5 2 .
Podsumowanie lekcji. Odbicie. Dzielę klasę na dwie grupy.
Znajdź argumenty grupy I: na korzyść znajomości właściwości stopnia i grupy II - argumenty, które powiedzą, że możesz się obejść bez właściwości. Wysłuchujemy wszystkich odpowiedzi, wyciągamy wnioski. W kolejnych lekcjach możesz podać dane statystyczne i nazwać rubrykę „Nie pasuje mi to do głowy!”
VII. Praca domowa.
Odniesienie do historii. Jakie liczby nazywają się liczbami Fermata.
s.19. #403, #408, #417
Używane książki:
Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady.
Po określeniu stopnia liczby logiczne jest, aby o tym mówić właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.
Nawigacja po stronach.
Właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami
Z definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Opierając się na tej definicji i używając właściwości mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:
- jeśli a>0 , to a n >0 dla dowolnego naturalnego n ;
- jeśli a=0 , to a n =0 ;
- jeśli a 2 m > 0 , jeśli a 2 m−1 n ;
- jeśli m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n , to dla 0m n i dla a>0 nierówność a m >a n jest prawdziwa.
- za m za n \u003d za m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (am) n = am n ;
- jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, a i b są liczbami dodatnimi, a a n n i a−n>b−n ;
- jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a m>n , to dla 0m n i dla a>1, nierówność a m >a n jest spełniona.
Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawą i lewą część można zamienić. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n with uproszczenie wyrażeń często używany w postaci a m+n = a m a n .
Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.
Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, którą nazywamy główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i any liczby naturalne m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa.
Udowodnijmy główną właściwość stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn 
. Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako 
, a ten iloczyn jest potęgą a z wykładnikiem naturalnym m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.
Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, zgodnie z główną własnością stopnia, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , ponieważ otrzymujemy równe wartości, to równość 2 2 2 3 =2 5 jest prawdziwa i potwierdza główną własność stopnia.
Główną właściwość stopnia na podstawie właściwości mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech i jeszcze stopnie o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Czyli dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k jest prawdziwa.
Na przykład (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .
Możesz przejść do następnej właściwości stopni za pomocą naturalnego wskaźnika - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n , równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.
Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n =0, a gdy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie da się dzielić przez zero. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie albo zero (co ma miejsce, gdy m−n) albo liczba ujemna (co ma miejsce, gdy m m−n a n =a (m−n) + n = a m Z otrzymanej równości a m−n a n = a m oraz ze związku mnożenia z dzieleniem wynika, że a m−n jest potęgą cząstkową a m oraz a n Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.
Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i naturalnych wykładnikach 5 i 2, rozważana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: naturalny stopień n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równy iloczynowi stopni a n i bn , czyli (a b) n =a n b n .
Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy 
. Ostatni iloczyn, na podstawie własności mnożenia, można przepisać jako 
, który jest równy a n b n .
Oto przykład: 
.
Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .
Następna nieruchomość to własność przyrodnicza: iloraz liczb rzeczywistych aib , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .
Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Zatem (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , az równości (a:b) n b n =a n wynika, że (a:b) n jest ilorazem a n do b n .
Napiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: 
.
Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potęgi a z wykładnikiem m·n , czyli (a m) n =a m·n .
Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Dowodem własności władzy w stopniu jest następujący łańcuch równości: 
.
Rozważana właściwość może zostać rozszerzona do stopnia w stopniu w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s, równość 
. Dla większej jasności podajmy przykład z określonymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.
Zaczynamy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi za pomocą naturalnego wykładnika.
Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień a n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i 
.
Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0,00·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0 .
Przejdźmy do podstaw ujemnych.
Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie 
. Zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych każdy z iloczynów postaci a a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, co oznacza, że jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. 
i stopień 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą 2 m−1, to 
. Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Na mocy tej własności (−5) 3 17 n n jest iloczynem lewej i prawej części n prawdziwych nierówności a własności nierówności, udowadniana nierówność ma postać a n n . Na przykład z powodu tej własności nierówności 3 7 7 i 
.
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Z dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi pozytywnymi podstawami, mniejszym niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień, którego wskaźnik jest większy, jest większy. Zwracamy się do dowodu tej właściwości.
Udowodnijmy, że dla m>n i 0m n . Aby to zrobić, piszemy różnicę a m − a n i porównujemy ją z zerem. Zapisana różnica po wyjęciu n z nawiasów przybierze postać a n ·(a m−n −1) . Otrzymany iloczyn jest ujemny jako iloczyn liczby dodatniej a n i liczby ujemnej a m−n −1 (a n jest dodatnia jako potęga naturalna liczby dodatniej, a różnica a m−n −1 jest ujemna, ponieważ m−n >0 ze względu na warunek początkowy m>n , z którego wynika, że dla 0m−n jest to mniej niż jeden). A zatem a m − a n m n , co miało być udowodnione. Na przykład podajemy poprawną nierówność.
Pozostaje udowodnić drugą część nieruchomości. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, ponieważ dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, ponieważ m−n>0 ze względu na warunek początkowy, a dla a>1, stopień m−n jest większy niż jeden . Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co miało być udowodnione. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .
Własności stopni z wykładnikami całkowitymi
Ponieważ liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, to wszystkie własności potęg z dodatnimi wykładnikami całkowitymi dokładnie pokrywają się z własnościami potęg z wykładnikami naturalnymi wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.
Zdefiniowaliśmy stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, a także stopień z wykładnikiem zerowym, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażonymi przez równości pozostały ważne. Dlatego wszystkie te własności obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i dla wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są niezerowe.
Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, prawdziwe są następujące własności stopni z wykładnikami całkowitymi:
Dla a=0 potęgi a m i a n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc opisane właśnie własności obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład wykażmy, że własność potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną i q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a −p) −q =a (−p) (−q) . Zróbmy to.
Dla dodatnich p i q równość (a p) q =a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0 , wtedy (a p) 0 =1 i a p 0 = a 0 =1 , skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0 i q=0 , wtedy (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .
Wykażmy teraz, że (a −p) q =a (−p) q . Z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym , wtedy 
. Przez własność ilorazu w stopniu mamy 
. Ponieważ 1 p =1,1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy reguł mnożenia można zapisać jako a (−p)q .
podobnie 
.
I 
.
Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.
W przedostatnim z zarejestrowanych własności warto zastanowić się nad dowodem nierówności a −n >b −n , który jest prawdziwy dla każdej ujemnej liczby całkowitej −n oraz każdej dodatniej a i b, dla której warunek a . Piszemy i przekształcamy różnicę między lewą i prawą częścią tej nierówności: 
. Ponieważ według warunku a n n , zatem b n − a n >0 . Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i bn . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co miało być udowodnione.
Ostatnia własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się w taki sam sposób, jak analogiczna własność stopni z wykładnikami naturalnymi.
Własności potęg z wykładnikami wymiernymi
Stopień c wskaźnik ułamkowy określiliśmy, rozszerzając do niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają takie same właściwości jak stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:
- własność iloczynu potęg o tej samej podstawie
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ; - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach
dla a>0; - ułamkowa właściwość produktu
dla a>0 i b>0 , a jeśli i , to dla a≥0 i (lub) b≥0 ; - iloraz własności do potęgi ułamkowej
dla a>0 i b>0 , a jeśli , to dla a≥0 i b>0 ; - własność stopnia w stopniu
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ; - własność porównywania potęg o równych wykładnikach wymiernych: dla dowolnych liczb dodatnich a i b, a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p ;
- własność porównywania potęg z wykładnikami wymiernymi i równymi podstawami: dla liczb wymiernych p i q, p>q dla 0p q, a dla a>0, nierówność a p >a q .
- a pa q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p = a p: b p ;
- (a p) q = a p q ;
- dla dowolnych liczb dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p ;
- dla liczb niewymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .
Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym, na własnościach pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.
Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym, a następnie 
. Własności pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam napisać następujące równości. Dalej, korzystając z własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy 
, a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.
Druga własność potęg z wykładnikami ułamkowymi jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób: 
Resztę równości dowodzą podobne zasady: 
Przechodzimy do dowodu kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest ważna, a dla p p >b p . Liczbę wymierną p zapisujemy jako m/n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0. Dla m>0 i am m . Z tej nierówności przez własność pierwiastków mamy , a ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, to na podstawie definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym wynikająca nierówność może być przepisana jako , czyli a p p .
Podobnie, gdy m m >b m , skąd , czyli a p >b p .
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q . Zawsze możemy zredukować liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, otrzymamy zwykłe ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, co wynika z reguły porównania zwykłe ułamki z tymi samymi mianownikami. Następnie, na podstawie własności porównywania potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach, dla 0m 1 m 2 i dla a>1, nierówność a m 1 >a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można przepisać odpowiednio jako 
oraz 
. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .
Własności stopni z niewymiernymi wykładnikami
Na podstawie tego, jak zdefiniowany jest stopień z wykładnikiem niewymiernym, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikiem wymiernym. Czyli dla dowolnych a>0 , b>0 i niewymiernych liczb p i q prawdziwe są własności stopni z irracjonalnymi wykładnikami:
Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same własności.
- Algebra - 10 klasa. Równania trygonometryczne Lekcja i prezentacja na temat: "Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych" Materiały dodatkowe Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały […]
- Konkurs na stanowisko "SPRZEDAWCY - KONSULTANTA" jest otwarty: Obowiązki: sprzedaż telefonów komórkowych i akcesoriów do usługi telefonii komórkowej dla abonentów Beeline, Tele2, MTS podłączenie planów taryfowych i usług Beeline i Tele2, doradztwo MTS […]
- Równoległościan o wzorze Równoległościan to wielościan o 6 ścianach, z których każda jest równoległobokiem. Prostopadłościan to prostopadłościan, którego każda ściana jest prostokątem. Każdy równoległościan charakteryzuje się 3 […]
- Towarzystwo Ochrony Praw Konsumentów Astana Aby otrzymać kod PIN dostępu do tego dokumentu na naszej stronie internetowej, wyślij wiadomość SMS o treści zan na numer Abonenci operatorów GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) wysyłając SMS do pokoju, […]
- Pisownia Н I НН W RÓŻNYCH CZĘŚCIACH MOWY 2. Wymień wyjątki od tych zasad. 3. Jak odróżnić przymiotnik słowny z sufiksem -n- od imiesłowu z […]
- uchwalić ustawę o zagrodach rodzinnych uchwalić prawo federalne o darmowym przydziale dla każdego chętnego obywatela Federacja Rosyjska lub rodzina obywateli kawałka ziemi do zagospodarowania na nim Gospodarstwo rodzinne pod następującymi warunkami: 1. Teren przeznaczony jest na […]
- KONTROLA GOSTEKHNADZORA REGIONU BRIAŃSKIEGO Potwierdzenie zapłaty cła państwowego (Download-12.2 kb) Wnioski o rejestrację dla osób fizycznych (Download-12 kb) Wnioski o rejestrację dla osób prawnych (Download-11.4 kb) 1. Przy rejestracji nowego samochodu: 1.wniosek 2.paszport […]
- Dawno nie graliśmy w turniejach 1x1. I nadszedł czas, aby wznowić tę tradycję. Dopóki nie będziemy mogli zorganizować osobnej drabinki i turniejów dla graczy 1v1, sugerujemy korzystanie z profili drużyn na stronie. Odejmij lub dodaj punkty za mecze w meczach […]
Już wcześniej rozmawialiśmy o tym, czym jest potęga liczby. Ma pewne właściwości przydatne w rozwiązywaniu problemów: to one i wszystkie możliwe wykładniki przeanalizujemy w tym artykule. Pokażemy również na przykładach, jak można je udowodnić i poprawnie zastosować w praktyce.
Przypomnijmy pojęcie stopnia z wykładnikiem naturalnym, które już wcześniej sformułowaliśmy: jest to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Musimy też pamiętać, jak poprawnie pomnożyć liczby rzeczywiste. Wszystko to pomoże nam sformułować następujące właściwości dla stopnia z naturalnym wskaźnikiem:
Definicja 1
1. Główna właściwość stopnia: a m a n = a m + n
Można uogólnić do postaci: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Własność ilorazowa dla potęg o tej samej podstawie: a m: a n = a m − n
3. Właściwość stopnia produktu: (a b) n = a n b n
Równość można rozszerzyć do: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Własność stopnia naturalnego: (a: b) n = a n: b n
5. Podnosimy potęgę do potęgi: (a m) n = a m n ,
Można uogólnić do: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. Porównaj stopień z zerem:
- jeśli a > 0, to dla dowolnego naturalnego n, a n będzie większe od zera;
- przy równym 0 n będzie również równe zero;
- dla< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- dla< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Równość a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Nierówność a m > a n będzie prawdziwa pod warunkiem, że m i n są liczbami naturalnymi, m jest większe od n, a a jest większe od zera i nie mniejsze niż jeden.
W rezultacie otrzymaliśmy kilka równości; jeśli spełnisz wszystkie warunki wskazane powyżej, będą one identyczne. Dla każdej z równości, na przykład dla właściwości głównej, możesz zamienić prawą i lewą część: a m · a n = a m + n - to samo, co a m + n = a m · a n . W tej formie jest często używany przy upraszczaniu wyrażeń.
1. Zacznijmy od głównej własności stopnia: równość a m · a n = a m + n będzie prawdziwa dla każdego naturalnego mi n i rzeczywistego a . Jak udowodnić to stwierdzenie?
Podstawowa definicja potęg z naturalnymi wykładnikami pozwoli nam zamienić równość na iloczyn czynników. Dostaniemy taki wpis:
Można to skrócić do 
(przypomnij sobie podstawowe własności mnożenia). W rezultacie otrzymaliśmy stopień liczby a z wykładnikiem naturalnym m + n. Zatem a m + n , co oznacza, że udowodniono główną właściwość stopnia.
Weźmy konkretny przykład, aby to udowodnić.
Przykład 1
Mamy więc dwie potęgi o podstawie 2. Ich naturalne wskaźniki to odpowiednio 2 i 3. Otrzymaliśmy równość: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Obliczmy wartości, aby sprawdzić poprawność tej równości.
Wykonajmy niezbędne operacje matematyczne: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 i 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
W rezultacie otrzymaliśmy: 2 2 2 3 = 2 5 . Nieruchomość została sprawdzona.
Ze względu na własności mnożenia możemy uogólnić własność, formułując ją w postaci trzech lub więcej potęg, których wykładniki są liczbami naturalnymi, a podstawy są takie same. Jeśli liczbę liczb naturalnych n 1, n 2 itd. oznaczymy literą k, otrzymamy poprawną równość:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Przykład 2
2. Następnie musimy udowodnić następującą własność, która nazywa się własnością ilorazu i jest nieodłączna dla potęg o tych samych podstawach: jest to równość a m: a n = a m − n , która jest ważna dla każdego naturalnego m i n (i m jest większa niż n)) i dowolną niezerową rzeczywistą a .
Na początek wyjaśnijmy, co dokładnie oznaczają warunki wymienione w sformułowaniu. Jeśli weźmiemy równe zero, to w końcu otrzymamy dzielenie przez zero, czego nie da się zrobić (w końcu 0 n = 0). Warunek, że liczba m musi być większa niż n, jest konieczny, abyśmy mogli pozostać w obrębie naturalnych wykładników: odejmując n od m, otrzymujemy liczbę naturalną. Jeśli warunek nie zostanie spełniony, otrzymamy liczbę ujemną lub zero i ponownie wyjdziemy poza badanie stopni za pomocą naturalnych wskaźników.
Teraz możemy przejść do dowodu. Z poprzednio badanych przywołujemy podstawowe właściwości ułamków i formułujemy równość w następujący sposób:
za m − n za n = za (m − n) + n = za m
Z tego możemy wywnioskować: a m − n a n = a m
Przypomnij sobie związek między dzieleniem a mnożeniem. Wynika z tego, że a m − n jest ilorazem potęg a m i a n . To jest dowód własności drugiego stopnia.
Przykład 3
Zastąp konkretne liczby dla jasności wskaźników i oznacz podstawę stopnia π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Następnie przeanalizujemy właściwość stopnia iloczynu: (a · b) n = a n · b n dla dowolnych rzeczywistych aib oraz naturalnych n .
Zgodnie z podstawową definicją stopnia z wykładnikiem naturalnym możemy przeformułować równość w następujący sposób:
Pamiętając o własnościach mnożenia piszemy: 
. Oznacza to samo co a n · b n .
Przykład 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Jeśli mamy trzy lub więcej czynników, to ta właściwość dotyczy również tego przypadku. Wprowadzamy notację k dla liczby czynników i piszemy:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
Przykład 5
Przy określonych liczbach otrzymujemy następującą poprawną równość: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Następnie spróbujemy udowodnić własność ilorazu: (a: b) n = a n: b n dla dowolnej rzeczywistej aib jeśli b nie jest równe 0, a n jest liczbą naturalną.
Jako dowód możemy użyć właściwości poprzedniego stopnia. Jeśli (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n i (a: b) n b n = a n , to z tego wynika, że (a: b) n jest ilorazem dzielenia a n przez b n .
Przykład 6
Policzmy przykład: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Przykład 7
Zacznijmy od razu od przykładu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
A teraz formułujemy łańcuch równości, który udowodni nam poprawność równości: 
Jeśli w przykładzie mamy stopnie stopni, to ta własność jest również dla nich prawdziwa. Jeśli mamy jakieś liczby naturalne p, q, r, s, to będzie to prawda:
a p q y s = a p q y s
Przykład 8
Dodajmy konkrety: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Inną właściwością stopni z wykładnikiem naturalnym, którą musimy udowodnić, jest właściwość porównania.
Najpierw porównajmy wykładnik z zerem. Dlaczego a n > 0 pod warunkiem, że a jest większe od 0?
Jeśli pomnożymy jedną liczbę dodatnią przez drugą, otrzymamy również liczbę dodatnią. Znając ten fakt, możemy powiedzieć, że nie zależy to od liczby czynników - wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich jest liczbą dodatnią. A czym jest stopień, jeśli nie wynikiem mnożenia liczb? Wtedy będzie to prawda dla dowolnej potęgi a n o podstawie dodatniej i wykładniku naturalnym.
Przykład 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 i 34 9 13 51 > 0
Jest też oczywiste, że potęga o podstawie równej zero sama jest zerem. Do jakiejkolwiek potęgi podniesiemy zero, tak pozostanie.
Przykład 10
0 3 = 0 i 0 762 = 0
Jeśli podstawą stopnia jest liczba ujemna, dowód jest nieco bardziej skomplikowany, ponieważ pojęcie parzystego / nieparzystego wykładnika staje się ważne. Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest parzysty i oznaczmy go przez 2 · m , gdzie m jest liczbą naturalną.
Pamiętajmy, jak poprawnie pomnożyć liczby ujemne: iloczyn a · a jest równy iloczynowi modułów, a więc będzie liczbą dodatnią. Następnie 
a stopień a 2 · m są również dodatnie.
Przykład 11
Na przykład (- 6) 4 > 0 , (-2 , 2) 12 > 0 i - 2 9 6 > 0
Co jeśli wykładnik o podstawie ujemnej jest liczbą nieparzystą? Oznaczmy to 2 · m − 1 .
Następnie 
Wszystkie iloczyny a · a , zgodnie z właściwościami mnożenia, są dodatnie, podobnie jak ich iloczyn. Ale jeśli pomnożymy ją przez jedyną pozostałą liczbę a , to wynik końcowy będzie ujemny.
Wtedy otrzymujemy: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Jak to udowodnić?
jakiś< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Przykład 12
Na przykład nierówności są prawdziwe: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Pozostaje nam udowodnić ostatnią właściwość: jeśli mamy dwa stopnie, których podstawy są takie same i dodatnie, a wykładniki są liczbami naturalnymi, to jeden z nich jest większy, którego wykładnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień, którego wskaźnik jest większy, jest większy.
Udowodnijmy te twierdzenia.
Najpierw musimy upewnić się, że m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Bierzemy n z nawiasów, po czym nasza różnica przyjmie postać a n · (am − n − 1) . Jego wynik będzie ujemny (ponieważ wynik pomnożenia liczby dodatniej przez ujemną jest ujemny). W końcu według warunki początkowe, m − n > 0 , to a m − n − 1 jest ujemne, a pierwszy czynnik jest dodatni, jak każda siła naturalna o dodatniej podstawie.
Okazało się, że a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Pozostaje udowodnić drugą część sformułowanego powyżej stwierdzenia: a m > a jest prawdziwe dla m > n oraz a > 1 . Wskazujemy różnicę i bierzemy n z nawiasów: (a m - n - 1) Potęga n z większą niż jeden da wynik pozytywny; a sama różnica również okaże się dodatnia ze względu na warunki początkowe, a dla a > 1 stopień m − n jest większy niż jeden. Okazuje się, że a m − a n > 0 i a m > a n , co musieliśmy udowodnić.
Przykład 13
Przykład z konkretnymi liczbami: 3 7 > 3 2
Podstawowe własności stopni z wykładnikami całkowitymi
Dla stopni z dodatnimi wykładnikami całkowitymi własności będą podobne, ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, co oznacza, że wszystkie udowodnione powyżej równości są również dla nich ważne. Nadają się również do przypadków, w których wykładniki są ujemne lub równe zeru (pod warunkiem, że podstawa samego stopnia jest niezerowa).
Zatem własności potęg są takie same dla dowolnych podstaw a i b (pod warunkiem, że liczby te są rzeczywiste i nie są równe 0) oraz dowolnych wykładników m i n (pod warunkiem, że są to liczby całkowite). Piszemy je krótko w postaci formuł:
Definicja 2
1. za m za n = za m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. n< b n и a − n >b − n z dodatnią liczbą całkowitą n , dodatnie a i b , a< b
7 rano< a n , при условии целых m и n , m >n i 0< a < 1 , при a >1 za m > za za .
Jeżeli podstawa stopnia jest równa zero, to wpisy a m i n mają sens tylko w przypadku naturalnych i dodatnich m i n. W rezultacie stwierdzamy, że powyższe formuły są również odpowiednie dla przypadków o stopniu o podstawie zerowej, jeśli wszystkie inne warunki są spełnione.
Dowody tych właściwości w tym przypadku są proste. Będziemy musieli pamiętać, czym jest stopień z wykładnikiem naturalnym i całkowitym, a także właściwości akcji z liczbami rzeczywistymi.
Przeanalizujmy własność stopnia w stopniu i udowodnijmy, że dotyczy to zarówno liczb całkowitych dodatnich, jak i niedodatnich. Zaczynamy od udowodnienia równości (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) i (a − p) − q = a (− p) (-q)
Warunki: p = 0 lub liczba naturalna; q - podobnie.
Jeśli wartości p i q są większe od 0, otrzymujemy (a p) q = a p · q . Już wcześniej udowodniliśmy podobną równość. Jeżeli p = 0 to:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Dlatego (a 0) q = a 0 q
Dla q = 0 wszystko jest dokładnie takie samo:
(a p) 0 = 1 za p 0 = za 0 = 1
Wynik: (a p) 0 = a p 0 .
Jeśli oba wskaźniki mają wartość zero, to (a 0) 0 = 1 0 = 1 i a 0 0 = a 0 = 1, a następnie (a 0) 0 = a 0 0 .
Przypomnij sobie własność ilorazu w potędze udowodnionej powyżej i napisz:
1 za p q = 1 q za p q
Jeśli 1 p = 1 1 … 1 = 1 i a p q = a p q , wtedy 1 q a p q = 1 a p q
Notację tę możemy przekształcić dzięki podstawowym regułom mnożenia na a (− p) · q .
Również: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Pozostałe właściwości stopnia można udowodnić w podobny sposób, przekształcając istniejące nierówności. Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy tylko trudne punkty.
Dowód przedostatniej własności: przypomnijmy, że a − n > b − n jest prawdziwe dla dowolnych ujemnych wartości całkowitych n oraz dowolnych dodatnich a i b, pod warunkiem, że a jest mniejsze niż b .
Wówczas nierówność można przekształcić w następujący sposób:
1 za n > 1 b n
Piszemy prawą i lewą część jako różnicę i wykonujemy niezbędne przekształcenia:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
Przypomnijmy, że w warunku a jest mniejsze niż b , to zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem naturalnym: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n kończy się liczbą dodatnią, ponieważ jej czynniki są dodatnie. W rezultacie mamy ułamek b n - a n a n · b n , co ostatecznie daje również wynik dodatni. Stąd 1 a n > 1 b n skąd a − n > b − n , co musieliśmy udowodnić.
Ostatnia własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się podobnie do własności stopni z wykładnikami naturalnymi.
Podstawowe własności stopni z wykładnikami wymiernymi
W poprzednich artykułach omawialiśmy, czym jest stopień z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym). Ich właściwości są takie same jak w przypadku stopni z wykładnikami całkowitymi. Napiszmy:
Definicja 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 dla a > 0 i jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 z tą samą podstawą).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 jeśli a > 0 (właściwość ilorazowa).
3. abmn = amnbmn dla a > 0 i b > 0, a jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 i (lub) b ≥ 0 (właściwość produktu w stopniu ułamkowym).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n dla a > 0 i b > 0, a jeśli m n > 0, to dla a ≥ 0 i b > 0 (właściwość ilorazu w stopniu ułamkowym).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 dla a > 0, a jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 (właściwość stopnia w stopni).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; Jeżeli p< 0 - a p >b p (właściwość porównywania stopni z równymi wykładnikami wymiernymi).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q w 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
Aby udowodnić te przepisy, musimy pamiętać, co to jest stopień z wykładnikiem ułamkowym, jakie są właściwości pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia i jakie są właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Przyjrzyjmy się każdej nieruchomości.
Zgodnie z tym, czym jest stopień z wykładnikiem ułamkowym, otrzymujemy:
jestem 1 n 1 \u003d jestem 1 n 1 i jestem 2 n 2 \u003d jestem 2 n 2, zatem jestem 1 n 1 jestem 2 n 2 \u003d jestem 1 n 1 jestem 2 n 2
Właściwości korzenia pozwolą nam wyprowadzić równości:
za m 1 m 2 za 1 za 2 za m 2 za za 1 za 2 za 1 = za za 1 za 2 za za m 2 za 1 z 1 za 2
Z tego otrzymujemy: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Przekształćmy:
za m 1 w 2 za m 2 w 1 w 1 w 2 = za m 1 w 2 + m 2 w 1 w 1 w 2
Wykładnik można zapisać jako:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
To jest dowód. Druga właściwość jest udowadniana dokładnie w ten sam sposób. Zapiszmy łańcuch równości:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = jestem 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = mam 1 n 1 - m 2 n 2
Dowody pozostałych równości:
abmn = (ab)mn=ambmn=amnbmn=amnbmn; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = jestem 1 m 2 n 2 n 1 = jestem 1 n 1 m 2 n 2
Następna właściwość: udowodnijmy, że dla dowolnych wartości a i b większych od 0 , jeśli a jest mniejsze od b , zostanie wykonane p< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Reprezentujmy liczbę wymierną p jako m n . W tym przypadku m jest liczbą całkowitą, n jest liczbą naturalną. Wtedy warunki p< 0 и p >0 zostanie rozszerzone do m< 0 и m >0 . Dla m > 0 i a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Używamy własności pierwiastków i wyprowadzamy: a m n< b m n
Biorąc pod uwagę dodatniość wartości a i b przepisujemy nierówność jako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
W ten sam sposób dla m< 0 имеем a a m >b m , otrzymujemy a m n > b m n więc a m n > b m n i a p > b p .
Pozostaje nam udowodnić ostatnią właściwość. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p > q dla 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 byłoby prawdziwe a p > a q .
Liczby wymierne p i q można sprowadzić do wspólnego mianownika i uzyskać ułamki m 1 n i m 2 n
Tutaj m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. Jeżeli p > q, to m 1 > m 2 (uwzględniając zasadę porównywania ułamków). Następnie o 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nierówność a 1 m > a 2 m .
Można je przepisać w następującej formie:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Następnie możesz dokonać przekształceń i uzyskać w rezultacie:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Podsumowując: dla p > q i 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Podstawowe własności stopni z niewymiernymi wykładnikami
Wszystkie opisane powyżej własności, jakie posiada stopień z wymiernymi wykładnikami, można rozszerzyć do takiego stopnia. Wynika to z samej jego definicji, którą podaliśmy w jednym z poprzednich artykułów. Sformułujmy pokrótce te własności (warunki: a > 0 , b > 0 , wskaźniki p i q są liczbami niewymiernymi):
Definicja 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , potem a p > a q .
Zatem wszystkie potęgi, których wykładniki p i q są liczbami rzeczywistymi, pod warunkiem, że a > 0, mają te same własności.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Jeśli nie zwracamy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7 klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, czyli różnica kwadratów! Otrzymujemy:
Uważnie przyglądamy się mianownikowi. Wygląda jak jeden z liczników, ale co jest nie tak? Zła kolejność terminów. Gdyby zostały zamienione, reguła mogłaby obowiązywać.
Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam w tym równy stopień mianownika.
Warunki magicznie zmieniły miejsca. To „zjawisko” w równym stopniu dotyczy każdego wyrażenia: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach.
Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!
Wróćmy do przykładu:
I znowu formuła:
cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (czyli ze znakiem „”) oraz liczbę.
Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, to wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.
Spójrzmy teraz na nowe przypadki. Zacznijmy od wskaźnika równego.
Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:
Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?
Rozważ trochę mocy z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóż przez:
Więc pomnożyliśmy tę liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.
To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:
Powtórzmy zasadę:
Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.
Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj jest też tam - to jest liczba (jako podstawa).
Z jednej strony musi być równy w dowolnym stopniu - bez względu na to, ile samo pomnożysz zero, i tak otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do zera, musi być równa. Więc jaka jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko dzielić przez zero, ale także podnieść ją do potęgi zerowej.
Chodźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite zawierają liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co ostatnim razem: mnożymy pewną liczbę normalną przez to samo w stopniu ujemnym:
Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:
Teraz rozszerzamy otrzymaną regułę do dowolnego stopnia:
Sformułujmy więc regułę:
Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie podstawa nie może być pusta:(bo nie da się podzielić).
Podsumujmy:
I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.
II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .
III. Liczba, która nie jest równa zeru do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Otóż jak zwykle przykłady samodzielnego rozwiązania:
Analiza zadań do samodzielnego rozwiązania:
Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być gotowym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś go rozwiązać, a dowiesz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!
Kontynuujmy rozszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnika.
Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?
Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, ponadto.
Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:
Podnieśmy obie strony równania do potęgi:
Teraz pamiętaj o zasadzie „stopień do stopnia”:
Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby uzyskać?
To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia.
Przypomnę: pierwiastek potęgi liczby () to liczba, która po podniesieniu do potęgi jest równa.
Oznacza to, że pierwiastek stopnia jest odwrotną operacją potęgowania: .
Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .
Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki regule mocy do mocy:
Ale czy podstawą może być dowolna liczba? W końcu nie można wydobyć korzenia ze wszystkich liczb.
Nic!
Pamiętaj o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków równego stopnia z liczb ujemnych!
A to oznacza, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej z parzystym mianownikiem, czyli wyrażenie nie ma sensu.
A co z ekspresją?
Ale tutaj pojawia się problem.
Liczba może być reprezentowana jako inne, zmniejszone ułamki, na przykład lub.
I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a to tylko dwa różne rekordy o tym samym numerze.
Albo inny przykład: raz, to możesz to zapisać. Ale jak tylko napiszemy wskaźnik w inny sposób, znowu mamy kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).
Aby uniknąć takich paradoksów, rozważ tylko dodatni wykładnik podstawy z wykładnikiem ułamkowym.
Więc jeśli:
- - Liczba naturalna;
- jest liczbą całkowitą;
Przykłady:
Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:
5 praktycznych przykładów
Analiza 5 przykładów do szkolenia
1. Nie zapomnij o zwykłych właściwościach stopni:
2. . Tutaj przypominamy, że zapomnieliśmy nauczyć się tabeli stopni:
w końcu - to lub. Rozwiązanie zostanie znalezione automatycznie: .
Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem.
Wszystkie reguły i własności stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopni z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem
Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (to znaczy, że liczby niewymierne to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem wymiernych).
Studiując stopnie za pomocą wskaźnika naturalnego, całkowitego i racjonalnego, za każdym razem wymyślaliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.
Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;
...zerowa moc- jest to niejako liczba pomnożona przez siebie raz, to znaczy, że jeszcze nie zaczęła się mnożyć, co oznacza, że sama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewną „liczbą pustą” , czyli liczba;
...ujemny wykładnik liczby całkowitej- to tak, jakby miał miejsce pewien „odwrotny proces”, to znaczy liczba nie została przez siebie pomnożona, ale podzielona.
Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, co oznacza, że wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.
Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.
GDZIE JESTEŚMY PEWNI JESTEŚ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))
Na przykład:
Zdecyduj sam:
Analiza rozwiązań:
1. Zacznijmy od przyjętej już zasady podnoszenia stopnia do stopnia:
Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:
W tym przypadku,
Okazało się, że:
Odpowiadać: .
2. Doprowadzamy ułamki zwykłe w wykładnikach do tej samej postaci: zarówno dziesiętne, jak i zwykłe. Otrzymujemy na przykład:
Odpowiedź: 16
3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:
POZIOM ZAAWANSOWANY
Definicja stopnia
Stopień jest wyrazem postaci: , gdzie:
- — podstawa stopnia;
- - wykładnik.
Stopień z wykładnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)
Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez samą liczbę razy:
Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)
Jeśli wykładnikiem jest Dodatnia liczba całkowita numer:
erekcja do zerowej mocy:
Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w każdym stopniu jest to, az drugiej strony każda liczba w tym stopniu jest tym.
Jeśli wykładnikiem jest liczba całkowita ujemna numer:
(bo nie da się podzielić).
Jeszcze raz o wartościach null: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.
Przykłady:
Stopień z wykładnikiem wymiernym
- - Liczba naturalna;
- jest liczbą całkowitą;
Przykłady:
Właściwości stopnia
Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.
Zobaczmy: co jest i?
Zgodnie z definicją:
Tak więc po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący produkt:
Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:
co było do okazania
Przykład : Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie : .
Przykład : Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie : Należy zauważyć, że w naszej regule koniecznie musi mieć taką samą podstawę. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:
Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla produktów o mocach!
W żadnym wypadku nie powinienem tego pisać.
Podobnie jak w przypadku poprzedniej właściwości, przejdźmy do definicji stopnia:
Zmieńmy to tak:
Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:
W rzeczywistości można to nazwać „wzięciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!
Przypomnijmy wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale tak naprawdę to nieprawda.
Moc z ujemną podstawą.
Do tego momentu omówiliśmy tylko to, co powinno być indeks stopień. Ale jaka powinna być podstawa? W stopniach od naturalny wskaźnik podstawą może być Jakikolwiek numer .
Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, jakie znaki ("" lub "") będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?
Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? ALE? ?
W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy, wynik będzie dodatni.
Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. W końcu pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.
I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możesz sformułować te proste zasady:
- nawet stopień, - liczba pozytywny.
- Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
- Liczba dodatnia do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
- Zero do dowolnej potęgi jest równe zeru.
Określ sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.
W przykładzie 5 wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest parzysty, co oznacza, że wynik zawsze będzie pozytywny. No chyba, że podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście nie, ponieważ (bo).
Przykład 6) nie jest już taki prosty. Tutaj musisz dowiedzieć się, które jest mniej: lub? Jeśli to pamiętasz, staje się to jasne, co oznacza, że podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.
I znowu używamy definicji stopnia:
Wszystko jak zwykle - spisujemy definicję stopni i dzielimy je na siebie, dzielimy na pary i otrzymujemy:
Zanim przeanalizujemy ostatnią regułę, rozwiążmy kilka przykładów.
Oblicz wartości wyrażeń:
Rozwiązania :
Jeśli nie zwracamy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7 klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, czyli różnica kwadratów!
Otrzymujemy:
Uważnie przyglądamy się mianownikowi. Wygląda jak jeden z liczników, ale co jest nie tak? Zła kolejność terminów. Gdyby zostały odwrócone, można by zastosować zasadę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam w tym równy stopień mianownika.
Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:
Warunki magicznie zmieniły miejsca. To „zjawisko” w równym stopniu dotyczy każdego wyrażenia: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić zmieniając tylko jeden niedopuszczalny dla nas minus!
Wróćmy do przykładu:
I znowu formuła:
Więc teraz ostatnia zasada:
Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozszerzmy pojęcie stopnia i uprośćmy:
Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: ogółem okazało się, że są mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:
Przykład:
Stopień z irracjonalnym wykładnikiem
Oprócz informacji o stopniach za średni poziom przeanalizujemy stopień za pomocą irracjonalnego wskaźnika. Wszystkie zasady i własności stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopnia z wykładnikiem wymiernym, z tym wyjątkiem - w końcu liczby niewymierne z definicji to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem wymiernych).
Studiując stopnie za pomocą wskaźnika naturalnego, całkowitego i racjonalnego, za każdym razem wymyślaliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do zera jest niejako liczbą pomnożoną przez siebie raz, to znaczy, że jeszcze nie zaczęła się mnożyć, co oznacza, że sama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, czyli liczby; stopień z ujemnym wskaźnikiem całkowitym - to tak, jakby wystąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.
Niezwykle trudno wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (podobnie trudno wyobrazić sobie przestrzeń czterowymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.
Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, co oznacza, że wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.
Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Staramy się jak najlepiej się go pozbyć :)
Na przykład:
Zdecyduj sam:
| 1) | 2) | 3) |
Odpowiedzi:
- Zapamiętaj różnicę formuły kwadratów. Odpowiadać: .
- Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład: .
- Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:
STRESZCZENIE SEKCJI I PODSTAWOWA FORMUŁA
Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:
Stopień z wykładnikiem całkowitym
stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).
Stopień z wykładnikiem wymiernym
stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.
Stopień z irracjonalnym wykładnikiem
stopień, którego wykładnik jest nieskończony dziesiętny lub korzeń.
Właściwości stopnia
Cechy stopni.
- Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
- Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
- Liczba dodatnia do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
- Zero równa się dowolnej potędze.
- Każda liczba do zerowej potęgi jest równa.
TERAZ MASZ SŁOWO...
Jak ci się podoba ten artykuł? Dajcie znać w komentarzach poniżej, czy Wam się podobało, czy nie.
Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z właściwościami mocy.
Być może masz pytania. Albo sugestie.
Napisz w komentarzach.
I powodzenia na egzaminach!
Jedną z głównych cech algebry, a właściwie całej matematyki, jest stopień naukowy. Oczywiście w XXI wieku wszystkie obliczenia można przeprowadzić na kalkulatorze internetowym, ale lepiej nauczyć się robić to samemu dla rozwoju mózgu.
W tym artykule przyjrzymy się najbardziej ważne pytania dotyczące tej definicji. Mianowicie zrozumiemy, co to jest w ogóle i jakie są jego główne funkcje, jakie właściwości istnieją w matematyce.
Spójrzmy na przykłady, jak wyglądają obliczenia, jakie są podstawowe formuły. Przeanalizujemy główne rodzaje wielkości i ich różnice w stosunku do innych funkcji.
Zrozumiemy, jak rozwiązywać różne problemy za pomocą tej wartości. Pokażemy na przykładach, jak podnieść do zera, irracjonalnie, negatywnie itp.
Kalkulator potęgowania online
Jaki jest stopień liczby
Co oznacza wyrażenie „podnieść liczbę do potęgi”?
Stopień n liczby a jest iloczynem czynników wielkości n razy z rzędu.
Matematycznie wygląda to tak:
a n = a * a * a * …a n .
Na przykład:
- 2 3 = 2 w trzecim kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 w kroku. dwa = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 w kroku. cztery = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 w 5 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 w 4 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Poniżej znajduje się tabela kwadratów i kostek od 1 do 10.
Tabela stopni od 1 do 10
Poniżej znajdują się wyniki podnoszenia liczb naturalnych do potęg dodatnich - „od 1 do 100”.
| Ch-lo | II stopnia | 3 klasa |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Właściwości stopnia
Czym charakteryzuje się taka matematyczna funkcja? Spójrzmy na podstawowe właściwości.
Naukowcy ustalili, co następuje znaki charakterystyczne dla wszystkich stopni:
- an*am = (a) (n+m);
- an: am = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Sprawdźmy na przykładach:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Z drugiej strony 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Podobnie: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. W przeciwnym razie 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. A jeśli jest inaczej? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Jak widać, zasady działają.
Ale jak być? z dodawaniem i odejmowaniem? Wszystko jest proste. Wykonywane jest pierwsze potęgowanie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.
Spójrzmy na przykłady:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ale w tym przypadku musisz najpierw obliczyć dodatek, ponieważ w nawiasach znajdują się akcje: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Jak produkować komputery w więcej trudne przypadki ? Kolejność jest taka sama:
- jeśli są nawiasy, musisz zacząć od nich;
- następnie potęgowanie;
- następnie wykonaj operacje mnożenia, dzielenia;
- po dodaniu odejmowanie.
Istnieją specyficzne właściwości, które nie są charakterystyczne dla wszystkich stopni:
- Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a do stopnia m zapiszemy jako: a m / n .
- Podnosząc ułamek do potęgi: tej procedurze podlegają zarówno licznik, jak i jego mianownik.
- Podnosząc iloczyn różnych liczb do potęgi, wyrażenie będzie odpowiadać iloczynowi tych liczb w dany stopień. To znaczy: (a * b) n = a n * b n .
- Podnosząc liczbę do potęgi ujemnej, musisz podzielić 1 przez liczbę w tym samym kroku, ale ze znakiem „+”.
- Jeśli mianownik ułamka jest potęgą ujemną, to wyrażenie to będzie równe iloczynowi licznika i mianownika potęgi dodatniej.
- Dowolna liczba do potęgi 0 = 1 i do kroku. 1 = do siebie.
Zasady te są ważne w indywidualnych przypadkach, omówimy je bardziej szczegółowo poniżej.
Stopień z ujemnym wykładnikiem
Co zrobić z ujemnym stopniem, czyli gdy wskaźnik jest ujemny?
Na podstawie właściwości 4 i 5(patrz punkt powyżej) okazuje się:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
I wzajemnie:
1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
A jeśli to ułamek?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stopień z naturalnym wskaźnikiem
Jest rozumiany jako stopień o wykładnikach równych liczbom całkowitym.
Rzeczy do zapamiętania:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.
Również, jeśli (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…to wynik będzie oznaczony znakiem „+”. Jeśli liczba ujemna zostanie podniesiona do nieparzystej potęgi, to na odwrót.
Charakterystyczne dla nich są również właściwości ogólne i wszystkie opisane powyżej cechy specyficzne.
Stopień ułamkowy
Ten widok można zapisać jako schemat: A m / n. Czyta się go jako: pierwiastek n-tego stopnia liczby A do potęgi m.
Za pomocą wskaźnika ułamkowego możesz zrobić wszystko: zmniejszyć, rozłożyć na części, podnieść do innego stopnia itp.
Stopień z irracjonalnym wykładnikiem
Niech α będzie liczbą niewymierną i А ˃ 0.
Aby zrozumieć istotę stopnia za pomocą takiego wskaźnika, Spójrzmy na różne możliwe przypadki:
- A \u003d 1. Wynik będzie równy 1. Ponieważ istnieje aksjomat - 1 jest równe jednemu we wszystkich mocach;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 są liczbami wymiernymi;
- 0˂А˂1.
W tym przypadku odwrotnie: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 na takich samych warunkach jak w drugim akapicie.
Na przykład wykładnikiem jest liczba π. To jest racjonalne.
r 1 - w tym przypadku jest równy 3;
r 2 - będzie równe 4.
Wtedy, dla A = 1, 1 π = 1.
A = 2, to 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, następnie (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takie stopnie charakteryzują się wszystkimi operacjami matematycznymi i określonymi właściwościami opisanymi powyżej.
Wniosek
Podsumujmy – po co te wartości, jakie są zalety takich funkcji? Oczywiście przede wszystkim ułatwiają życie matematykom i programistom przy rozwiązywaniu przykładów, ponieważ pozwalają minimalizować obliczenia, zmniejszać algorytmy, systematyzować dane i wiele więcej.
Gdzie jeszcze ta wiedza może być przydatna? W każdej specjalizacji zawodowej: medycyna, farmakologia, stomatologia, budownictwo, technologia, inżynieria, projektowanie itp.
