У дома > Историци > Курс на лекции по техническа механика. Основна механика за манекени. Въведение Изтеглете лекции по теоретична механика за техникумите

Курс на лекции по техническа механика. Основна механика за манекени. Въведение Изтеглете лекции по теоретична механика за техникумите

Лекции по теоретична механика

Точкова динамика

Лекция 1

    Основни понятия за динамиката

В гл Динамикаизучава се движението на телата под действието на приложените към тях сили. Следователно, в допълнение към тези понятия, които бяха въведени в раздел кинематика,тук е необходимо да се използват нови концепции, които отразяват спецификата на въздействието на силите върху различни тела и реакцията на телата на тези въздействия. Нека разгледаме основните от тези понятия.

а) сила

Силата е количествен резултат от въздействието върху дадено тяло от други тела.Силата е векторна величина (фиг. 1).



Точка А от началото на вектора на силата ФНаречен точка на приложение на силата. Линията MN, на която е разположен векторът на силата, се нарича линия на сила.Дължината на вектора на силата, измерена в определен мащаб, се нарича числова стойностили модул на вектора на силата. Модулът на силата се обозначава като или . Действието на сила върху тялото се проявява или в неговата деформация, ако тялото е неподвижно, или в придаване на ускорение, когато тялото се движи. На тези прояви на сила се основава устройството на различни инструменти (силомери или динамометри) за измерване на сили.

б) система от сили

Разглежданият набор от сили се формира силова система.Всяка система, състояща се от n сили, може да бъде записана в следната форма:

в) свободно тяло

Тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да изпитва пряко (механично) взаимодействие с други тела, се нарича Безплатноили изолиран. Влиянието на една или друга система от сили върху тялото може да се изясни само ако това тяло е свободно.

г) резултантна сила

Ако някаква сила има същия ефект върху свободно тяло като някаква система от сили, тогава тази сила се нарича резултат от тази система от сили. Това е написано по следния начин:

,

което означава еквивалентноствъздействието върху едно и също свободно тяло на получената и някаква система от n сили.

Нека сега се обърнем към разглеждането на по-сложни понятия, свързани с количественото определяне на ротационните ефекти на силите.

д) момент на сила спрямо точка (център)

Ако тялото под действието на сила може да се върти около някаква неподвижна точка O (фиг. 2), то за количествено определяне на този ротационен ефект се въвежда физическа величина, която се нарича момент на сила около точка (център).

Нарича се равнината, минаваща през дадена фиксирана точка и линията на действие на силата равнина на сила. На фиг. 2 това е равнината ОАВ.

Моментът на сила спрямо точка (център) е векторна величина, равна на векторното произведение на радиус вектора на точката на приложение на силата от вектора на силата:

( 1)

Съгласно правилото за векторно умножение на два вектора, техният векторен продукт е вектор, перпендикулярен на равнината на разположение на факторните вектори (в този случай равнината на триъгълника OAB), насочен в посоката, от която е най-късият завой на първия фактор вектор към втория фактор вектор видими срещу часовника (фиг. 2).При този ред на векторите на факторите на напречното произведение (1) въртенето на тялото под действието на силата ще се вижда срещу часовника (фиг. 2) Тъй като векторът е перпендикулярен на равнината на силата , местоположението му в пространството определя положението на равнината на силата Числената стойност на вектора на момента на сила спрямо центъра е равна на удвоената площ ОАВ и може да се определи по формулата:

, (2)

където величиназ, равно на най-късото разстояние от дадена точка O до линията на действие на силата, се нарича рамо на силата.

Ако положението на равнината на действие на силата в пространството не е от съществено значение за характеризиране на ротационното действие на силата, тогава в този случай, за да се характеризира ротационното действие на силата, вместо вектора на момента на силата, алгебричен момент на сила:

(3)

Алгебричният момент на сила спрямо даден център е равен на произведението на модула на силата и неговото рамо, взето със знак плюс или минус. В този случай положителен момент съответства на въртенето на тялото под действието на дадена сила срещу часовника, а отрицателен момент съответства на въртенето на тялото по посока на часовника. От формули (1), (2) и (3) следва, че моментът на сила спрямо точка е равен на нула само ако рамото на тази силазнула. Такава сила не може да завърти тялото около дадена точка.

е) Момент на сила около оста

Ако тялото под действието на сила може да се върти около някаква фиксирана ос (например въртене на рамката на врата или прозорец в пантите, когато те са отворени или затворени), тогава се въвежда физическа величина за количествено определяне на този ротационен ефект, който е наречен момент на сила около дадена ос.

z

б Fxy

Фигура 3 показва диаграма, в съответствие с която се определя моментът на сила около оста z:

Ъгълът  се образува от две перпендикулярни посоки z и към равнините на триъгълници O аби OAV, съответно. Тъй като  О абе проекцията на ОАВ върху xy равнината, тогава според стереометричната теорема за проекцията на плоска фигура върху дадена равнина имаме:

където знакът плюс съответства на положителна стойност на cos, т.е. остри ъгли , а знакът минус съответства на отрицателна стойност на cos, т.е. тъпи ъгли , поради посоката на вектора . От своя страна SO аб=1/2abh, където з аб . Стойността на сегмента абе равна на проекцията на силата върху равнината xy, т.е. . аб = Ф xy .

Въз основа на горното, както и на равенства (4) и (5), ние определяме момента на сила около оста z, както следва:

Равенството (6) ни позволява да формулираме следната дефиниция на момента на сила около която и да е ос: Моментът на сила около дадена ос е равен на проекцията върху тази ос на вектора на момента на тази сила спрямо която и да е точка от тази ос и се дефинира като произведение на проекцията на сила върху равнина, перпендикулярна на дадената ос, взета със знак плюс или минус на рамото на тази проекция спрямо точката на пресичане на оста с равнината на проекцията. В този случай знакът на момента се счита за положителен, ако гледайки от положителната посока на оста, въртенето на тялото около тази ос се вижда срещу часовника. В противен случай моментът на сила около оста се приема за отрицателен. Тъй като това определение на момента на сила спрямо оста е доста трудно за запомняне, се препоръчва да запомните формулата (6) и фиг. 3, която обяснява тази формула.

От формула (6) следва, че моментът на сила около оста е нула, акотя е успоредна на оста (в този случай нейната проекция върху равнина, перпендикулярна на оста, е равна на нула), или линията на действие на силата пресича оста (тогава проекционното рамо з=0). Това напълно отговаря на физическия смисъл на момента на сила около оста като количествена характеристика на въртеливото действие на силата върху тяло с ос на въртене.

ж) телесно тегло

Отдавна е отбелязано, че под въздействието на сила тялото набира скорост постепенно и продължава да се движи, ако силата бъде отстранена. Това свойство на телата да се противопоставят на промяна в движението се наричаше инерция или инерция на телата. Количествената мярка за инерцията на тялото е неговата маса.Освен това, телесната маса е количествена мярка за въздействието на гравитационните сили върху дадено тялоколкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-голяма е гравитационната сила върху тялото.Както ще бъде показано по-долу, ъъъТези две определения за телесно тегло са свързани.

Други понятия и дефиниции на динамиката ще бъдат обсъдени по-късно в разделите, където се появяват за първи път.

2. Връзки и реакции на връзките

По-рано в раздел 1, буква в) беше дадена концепцията за свободно тяло, като тяло, което може да се движи в пространството във всяка посока, без да е в пряк контакт с други тела. Повечето от реалните тела, които ни заобикалят, са в пряк контакт с други тела и не могат да се движат в една или друга посока. Така например телата, разположени върху повърхността на масата, могат да се движат във всяка посока, с изключение на посоката, перпендикулярна на повърхността на масата надолу. Вратите с панти могат да се въртят, но не могат да се движат напред и т. н. Телата, които не могат да се движат в пространството в една или друга посока се наричат не е безплатно.

Всичко, което ограничава движението на дадено тяло в пространството, се нарича връзки.Това могат да бъдат някои други тела, които предотвратяват движението на това тяло в някои посоки ( физически връзки); в по-широк план може да са някои условия, наложени на движението на тялото, ограничаващи това движение. Така че можете да зададете условие за движението на материална точка по дадена крива. В този случай връзката се определя математически под формата на уравнение ( уравнение на връзката). Въпросът за видовете връзки ще бъде разгледан по-подробно по-долу.

Повечето от връзките, наложени върху телата, са практически физически връзки. Следователно възниква въпросът за взаимодействието на дадено тяло и връзката, наложена на това тяло. На този въпрос отговаря аксиомата за взаимодействието на телата: Две тела действат едно върху друго със сили, равни по големина, противоположни по посока и разположени на една и съща права линия. Тези сили се наричат ​​сили на взаимодействие. Силите на взаимодействие се прилагат към различни взаимодействащи тела. Така например, по време на взаимодействието на дадено тяло и връзка, една от силите на взаимодействие се прилага от страната на тялото към връзката, а другата сила на взаимодействие се прилага от страната на връзката към даденото тяло . Тази последна мощност се нарича сила на реакция на връзкатаили просто, реакция на свързване.

При решаване на практически задачи на динамиката е необходимо да можете да намерите посоката на реакциите различни видовевръзки. Общото правило за определяне на посоката на реакцията на връзката понякога може да помогне за това: Реакцията на връзката винаги е насочена обратно на посоката, в която тази връзка предотвратява движението на дадено тяло. Ако тази посока може да бъде определена определено, тогава реакцията на връзката ще бъде определена от посоката. В противен случай посоката на реакцията на връзката е неопределена и може да се намери само от съответните уравнения на движение или равновесие на тялото. По-подробно въпросът за видовете връзки и посоката на техните реакции трябва да се проучи според учебника: S.M. Targ Кратък курс по теоретична механика "Висше училище", М., 1986 г. Гл.1, §3.

В раздел 1, точка (c) беше казано, че ефектът на всяка система от сили може да бъде напълно определен само ако тази система от сили се приложи към свободно тяло. Тъй като повечето тела всъщност не са свободни, тогава, за да се изследва движението на тези тела, възниква въпросът как тези тела да бъдат свободни. На този въпрос е отговорено аксиома на връзките на лекциите Нафилософия у дома. Лекцииса били... социална психологияи етнопсихология. 3. ТеоретиченРезултатите в социалния дарвинизъм бяха...

  • теоретични механика

    Урок >> Физика

    абстрактно лекции Напредмет ТЕОРЕТИЧЕСКИ МЕХАНИКАЗа студенти от специалност: 260501.65 ... - редовна форма Реферат лекциисъставено въз основа на: Буторин Л.В., Бусигина Е.Б. теоретични механика. Образователно и практическо ръководство...

    • държавна автономна институция

    Калининградска област

    професионален образователна организация

    Колеж по услуги и туризъм

    Курс на лекции с примери за практически задачи

    "Основи на теоретичната механика"

    по дисциплинаТехническа механика

    за студенти3 разбира се

    специалност20.02.04 Пожарна безопасност

    Калининград

    ОДОБРЯВАМ

    Заместник-директор по СД ГАУ КО ВЕО КСТН.Н. Мясников

    ОДОБРЕН

    Методически съвет на ГАУ КО ВЕТ КСТ

    РАЗГЛЕЖДАН

    На заседание на PCC

    Редакционен екип:

    Колганова A.A., методист

    Фалалеева А.Б., учител по руски език и литература

    Цветаева Л.В., председател на PCCобщоматематически и природонаучни дисциплини

    Съставено от:

    Незванова И.В. Лектор ГАУ КО ВЕТ КСТ

    Съдържание

      1. Теоретична информация

      1. Теоретична информация

      1. Примери за решаване на практически задачи

      Динамика: основни понятия и аксиоми

      1. Теоретична информация

      1. Примери за решаване на практически задачи

    Библиография

      Статика: основни понятия и аксиоми.

      1. Теоретична информация

    Статика - раздел от теоретичната механика, който разглежда свойствата на силите, приложени към точките на твърдо тяло, и условията за тяхното равновесие. Основни задачи:

    1. Преобразуване на системи от сили в еквивалентни системи от сили.

    2. Определяне на условията за равновесие на системи от сили, действащи върху твърдо тяло.

    материална точка наречен най-простият модел на материално тяло

    всякаква форма, чиито размери са достатъчно малки и която може да се приеме като геометрична точка с определена маса. Механична система е всеки набор от материални точки. Абсолютно твърдо тяло е механична система, разстоянията между точките на която не се променят при никакви взаимодействия.

    Сила е мярка за механичното взаимодействие на материалните тела едно с друго. Силата е векторна величина, тъй като се определя от три елемента:

      числова стойност;

      посока;

      точка на приложение (А).

    Единицата за сила е Нютон (N).

    Фигура 1.1

    Система от сили е съвкупност от сили, действащи върху тялото.

    Балансирана (равна на нула) система от сили е система, която, приложена към тяло, не променя състоянието си.

    Системата от сили, действащи върху тялото, може да бъде заменена с една резултатна, действаща като система от сили.

    Аксиоми на статиката.

    Аксиома 1: Ако към тялото се приложи балансирана система от сили, тогава то се движи равномерно и праволинейно или е в покой (законът за инерцията).

    аксиома 2: Абсолютно твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили тогава и само ако тези сили са равни по абсолютна стойност, действат в една права линия и са насочени в противоположни посоки. Фигура 1.2

    аксиома 3: Механичното състояние на тялото няма да бъде нарушено, ако балансирана система от сили се добави или извади от системата от действащи върху него сили.

    Аксиома 4: Резултатът от двете сили, приложени към тялото, е равна на техния геометричен сбор, тоест се изразява в абсолютна стойност и посока чрез диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, както върху страните.

    Фигура 1.3.

    Аксиома 5: Силите, с които две тела действат едно върху друго, винаги са равни по абсолютна стойност и насочени по една права линия в противоположни посоки.

    Фигура 1.4.

    Видове връзки и техните реакции

    връзки се наричат ​​всякакви ограничения, които пречат на движението на тялото в пространството. Тялото, търсейки под действието на приложените сили да се движи, което е възпрепятствано от връзката, ще въздейства върху него с определена сила, наречена сила на натиск върху връзката . Според закона за равенство на действието и реакцията връзката ще действа върху тялото със същия модул, но противоположно насочена сила.
    Силата, с която тази връзка действа върху тялото, предотвратявайки едно или друго движение, се нарича     реакционната сила (реакция) на връзката .
    Един от основните принципи на механиката е     принцип на освобождението : всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките и заменим тяхното действие с реакциите на връзките.

    Реакцията на връзката е насочена в посока, обратна на мястото, където връзката не позволява на тялото да се движи. Основните видове връзки и техните реакции са показани в Таблица 1.1.

    Таблица 1.1

    Видове връзки и техните реакции

    Име на комуникация

    символ

    1

    Гладка повърхност (поддръжка) - повърхността (подпората), триенето, върху което даденото тяло може да се пренебрегне.
    С безплатна поддръжка, реакцията    е насочена перпендикулярно на допирателната през точкатаНО телесен контакт1 с опорна повърхност2 .

    2

    Конец (гъвкав, неразтеглив). Връзката, направена под формата на неразтеглива нишка, не позволява на тялото да се отдалечава от точката на окачване. Следователно реакцията на нишката е насочена по протежение на нишката до точката на нейното окачване.

    3

    безтегловна пръчка – пръчка, чието тегло може да се пренебрегне в сравнение с възприеманото натоварване.
    Реакцията на безтегловна шарнирна праволинеен прът е насочена по оста на пръта.

    4

    Подвижна панта, шарнирна подвижна опора. Реакцията е насочена по нормалата към опорната повърхност.

    7

    Твърдо затваряне. В равнината на твърдото вграждане ще има два компонента на реакцията, и момент на двойка сили, което предотвратява завъртането на лъча1 спрямо точкатаНО .
    Твърдото закрепване в пространството отнема всичките шест степени на свобода от тяло 1 - три премествания по координатните оси и три завъртания около тези оси.
    Ще има три компонента в пространственото твърдо вграждане    , , и три момента на двойки сили.

    Система за сближаване на силата

    Система от сближаващи се сили наречена система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка. Две сили, сближаващи се в една точка, според третата аксиома на статиката, могат да бъдат заменени с една сила -резултатен .
    Основният вектор на системата от сили - стойност, равна на геометричната сума от силите на системата.

    Резултатът от плоска система от сближаващи се сили може да се дефинираграфично и аналитично.

    Добавяне на система от сили . Добавянето на плоска система от сближаващи се сили се извършва или чрез последователно събиране на сили с конструиране на междинна резултатна (фиг. 1.5), или чрез конструиране на многоъгълник на сила (фиг. 1.6).


    Фигура 1.5. Фигура 1.6

    Проекция на сила върху оста - алгебрична величина, равна на произведението на модула на силата и косинуса на ъгъла между силата и положителната посока на оста.
    Проекция    Фх(фиг.1.7) сили на ос хположителен, ако α е остър, отрицателен, ако α е тъп. Ако силатае перпендикулярна на оста, то проекцията му върху оста е нула.


    Фигура 1.7

    Проекция на сила върху равнина Оху– вектор , сключен между проекциите на началото и края на силатакъм този самолет. Тези. проекцията на силата върху равнината е векторна величина, характеризираща се не само с числова стойност, но и с посоката в равнинатаОху (фиг. 1.8).


    Фигура 1.8

    След това прожекционният модулкъм самолета Оху ще бъде равно на:

    Фxy = F cosα,

    където α е ъгълът между посоката на силатаи неговата проекция.
    Аналитичен начин за определяне на силите . За аналитичния метод за определяне на силатанеобходимо е да се избере система от координатни осиохз, по отношение на което ще се определи посоката на силата в пространството.
    Вектор, изобразяващ силата    , може да се конструира, ако модулът на тази сила и ъглите α, β, γ, които силата образува с координатните оси, са известни. точкаНОприлагане на сила зададени отделно по своите координатих, в, z. Можете да зададете силата чрез нейните проекцииfx, fy, fzпо координатните оси. Модулът на силата в този случай се определя по формулата:

    и косинуси на посоката:

    , .

    Аналитичен метод за добавяне на сили : проекцията на вектора на сумата върху някаква ос е равна на алгебричната сума от проекциите на членовете на векторите върху същата ос, т.е., ако:

    тогава , , .
    знаейки Rx, Ry, Rz, можем да дефинираме модула

    и косинуси на посоката:

    , , .

    Фигура 1.9

    За равновесието на система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно резултантната на тези сили да е равна на нула.
    1) Условие на геометрично равновесие за сближаваща се система от сили : за равновесието на система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно многоъгълникът на силите, изграден от тези сили

    беше затворен (края на вектора на последния член

    сила трябва да съвпада с началото на вектора на първия член на силата). Тогава основният вектор на системата от сили ще бъде равен на нула ()
    2) Условия на аналитично равновесие . Модулът на главния вектор на системата от сили се определя по формулата. =0. Дотолкова доколкото , то коренният израз може да бъде равен на нула само ако всеки член едновременно изчезне, т.е.

    Rx= 0, Рай= 0, Р z = 0.

    Следователно, за равновесието на пространствената система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на тези сили върху всяка от трите координати на осите да бъдат равни на нула:

    За равновесието на плоска система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно сумата от проекциите на силите върху всяка от двете координатни оси да бъде равна на нула:

    Събиране на две успоредни сили в една и съща посока.

    Фигура 1.9

    Две успоредни сили в една и съща посока се редуцират до еднакви оперативна сила, успоредни на тях и насочени в същата посока. Големината на резултантната е равна на сумата от величините на тези сили, а точката на нейното приложение C разделя разстоянието между линиите на действие на силите вътрешно на части, обратно пропорционални на величините на тези сили, т.е.

    B A C

    R=F 1 +F 2

    Добавянето на две неравни успоредни сили, насочени в противоположни посоки.

    Две неравни антипаралелни сили се редуцират до една резултантна сила, успоредна на тях и насочена към по-голямата сила. Величината на резултантната е равна на разликата между величините на тези сили, а точката на нейното приложение, C, разделя разстоянието между линиите на действие на силите външно на части, обратно пропорционални на величините на тези сили, че е

    Двойка сили и момент на сила около точка.

    Момент на сила спрямо точка O се нарича, взето със съответния знак, произведението на величината на силата на разстоянието h от точка O до линията на действие на силата . Този продукт се приема със знак плюс, ако силата има тенденция да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка и със знака -, ако силата има тенденция да върти тялото по посока на часовниковата стрелка, т.е . Дължината на перпендикуляра h се наричарамо на силата точка О. Ефектът от действието на силата т.е. ъгловото ускорение на тялото е по-голямо, колкото по-голяма е величината на момента на силата.

    Фигура 1.11

    Няколко сили Система се нарича система, състояща се от две успоредни сили с еднаква величина, насочени в противоположни посоки. Разстоянието h между линиите на действие на силите се наричараменни двойки . Момент на двойка сили m(F,F") е произведението на стойността на една от силите, които изграждат двойката и рамото на двойката, взето със съответния знак.

    Записва се по следния начин: m(F, F")= ± F × h, където произведението се взема със знак плюс, ако двойката сили се стреми да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка и със знак минус, ако двойката сили клони за завъртане на тялото по посока на часовниковата стрелка.

    Теорема за сбора на моментите на силите на двойка.

    Сумата от моментите на силите на двойката (F,F") по отношение на която и да е точка 0, взета в равнината на действие на двойката, не зависи от избора на тази точка и е равна на момента на двойката.

    Теорема за еквивалентни двойки. Последствия.

    Теорема. Две двойки, чиито моменти са равни един на друг, са еквивалентни, т.е. (F, F") ~ (P, P")

    Следствие 1 . Двойка сили може да се пренесе на всяко място в равнината на нейното действие, както и да се завърти под произволен ъгъл и да промени рамото и величината на силите на двойката, като същевременно поддържа момента на двойката.

    Последствие 2. Двойка сили няма резултат и не може да бъде балансирана от една сила, лежаща в равнината на двойката.

    Фигура 1.12

    Събиране и условие за равновесие за система от двойки в равнина.

    1. Теорема за събирането на двойки, лежащи в една и съща равнина. Система от двойки, произволно разположени в една и съща равнина, може да бъде заменена с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на тези двойки.

    2. Теорема за равновесието на система от двойки в равнина.

    За да може едно абсолютно твърдо тяло да бъде в покой под действието на система от двойки, произволно разположени в една и съща равнина, е необходимо и достатъчно сумата от моментите на всички двойки да е равна на нула, т.е.

    Център на тежестта

    Земно притегляне - резултатът от силите на привличане към Земята, разпределени по целия обем на тялото.

    Център на тежестта на тялото - това е такава точка, неизменно свързана с това тяло, през която минава линията на действие на силата на тежестта на дадено тяло при всяко положение на тялото в пространството.

    Методи за намиране на центъра на тежестта

    1. Метод на симетрия:

    1.1. Ако едно хомогенно тяло има равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в тази равнина

    1.2. Ако едно хомогенно тяло има ос на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи върху тази ос. Центърът на тежестта на хомогенно тяло на въртене лежи върху оста на въртене.

    1.3 Ако едно хомогенно тяло има две оси на симетрия, тогава центърът на тежестта е в точката на тяхното пресичане.

    2. Метод на разделяне: Тялото се разделя на най-малкия брой части, силите на тежестта и положението на центровете на тежестта на които са известни.

    3. Метод на отрицателните маси: При определяне на центъра на тежестта на тяло със свободни кухини трябва да се използва методът на разделяне, но масата на свободните кухини трябва да се счита за отрицателна.

    Координати на центъра на тежестта плоска фигура:

    Позициите на центровете на тежестта на прости геометрични фигуриможе да се изчисли по известни формули. (Фигура 1.13)

    Забележка: Центърът на тежестта на симетрията на фигурата е върху оста на симетрия.

    Центърът на тежестта на пръта е в средата на височината.

    1.2. Примери за решаване на практически задачи

    Пример 1: Тежестта е окачена на прът и е в равновесие. Определете силите в лентата. (Фигура 1.2.1)

    решение:

      Силите, които възникват в закрепващите пръти, са равни по големина на силите, с които прътите поддържат товара. (5-та аксиома)

    Определяме възможните посоки на реакциите на връзките "твърди пръти".

    Усилията са насочени по протежение на пръчките.

    Фигура 1.2.1.

    Нека освободим точка А от връзките, като заменим действието на връзките с техните реакции. (Фигура 1.2.2)

    Нека започнем конструкцията с известна сила, като начертаем векторФв някакъв мащаб.

    От края на вектораФначертайте линии, успоредни на реакциитеР 1 иР 2 .

    Фигура 1.2.2

    Пресичайки се, линиите създават триъгълник. (Фигура 1.2.3.). Познавайки мащаба на конструкциите и измервайки дължината на страните на триъгълника, е възможно да се определи големината на реакциите в пръчките.

      За по-точни изчисления можете да използвате геометрични отношения, по-специално теоремата на синусите: съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е постоянна стойност

    за този случай:

    Фигура 1.2.3

    коментар: Ако посоката на вектора (реакция на свързване) на дадена схема и в триъгълника на силите не съвпада, тогава реакцията на схемата трябва да бъде насочена в обратна посока.

    Пример 2: Определете величината и посоката на получената плоска система от сближаващи се сили по аналитичен начин.

    решение:

    Фигура 1.2.4

    1. Определяме проекциите на всички сили на системата върху Ox (Фигура 1.2.4)

    Алгебрично добавяйки проекциите, получаваме проекцията на резултата върху оста Ox.


    Знакът показва, че резултатът е насочен наляво.

    2. Определяме проекциите на всички сили върху оста Oy:

    Алгебрично добавяйки проекциите, получаваме проекцията на резултата върху оста Oy.

    Знакът показва, че резултатът е насочен надолу.

    3. Определете модула на резултата по величините на проекциите:

    4. Определете стойността на ъгъла на резултата с оста Ox:

    и стойността на ъгъла с оста y:

    Пример 3: Изчислете сумата от моментите на силите спрямо точката O (фигура 1.2.6).

    ОА= АБ= ATD=DE=CB=2м

    Фигура 1.2.6

    решение:

    1. Моментът на сила спрямо точка е числено равен на произведението на модула и рамото на силата.

    2. Моментът на силата е равен на нула, ако линията на действие на силата минава през точка.

    Пример 4: Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, показана на фигура 1.2.7

    решение:

    Разделяме фигурата на три:

    1-правоъгълник

    НО 1 =10*20=200см 2

    2-триъгълник

    НО 2 =1/2*10*15=75см 2

    3-обиколка

    НО 3 =3,14*3 2 = 28,3 см 2

    Фигура 1 CG: x 1 =10 см, y 1 = 5 см

    Фигура 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25см, u 2 =1/3*10=3,3см

    Фигура 3 CG: x 3 =10 см, y 3 = 5 см

    Дефинира се по подобен начин за с =4,5 см

      Кинематика: основни понятия.

    Основни кинематични параметри

    Траектория - линията, която материална точка очертава при движение в пространството. Траекторията може да бъде права и крива, плоска и пространствена линия.

    Уравнение на траекторията за движение в равнина: y =е ( х)

    Изминато разстояние. Пътят се измерва по пътя в посоката на движение. Обозначаване -С, мерни единици - метри.

    Уравнение за движение на точки е уравнение, което определя позицията на движеща се точка като функция на времето.

    Фигура 2.1

    Позицията на точка във всеки момент от време може да се определи от разстоянието, изминато по траекторията от някаква фиксирана точка, считана за начало (Фигура 2.1). Този вид движение се наричаестествено . По този начин уравнението на движението може да бъде представено като S = f (t).

    Фигура 2.2

    Позицията на точка може да се определи и ако нейните координати са известни като функция на времето (Фигура 2.2). Тогава, в случай на движение в равнина, трябва да се дадат две уравнения:

    В случай на пространствено движение се добавя и трета координатаz= е 3 ( т)

    Този вид движение се наричакоординати .

    Скорост на движение е векторна величина, която характеризира в момента скоростта и посоката на движение по траекторията.

    Скоростта е вектор, насочен във всеки момент тангенциално към траекторията към посоката на движение (Фигура 2.3).

    Фигура 2.3

    Ако точка покрива равни разстояния за равни интервали от време, тогава движението се наричауниформа .

    Средна скорост по пътя ΔСдефиниран:

    където∆S- разстояние, изминато във времето Δт; Δ т- времеви интервал.

    Ако точка изминава неравни пътища за равни интервали от време, тогава движението се наричанеравномерно . В този случай скоростта е променлива и зависи от времетоv= е( т)

    Текущата скорост се определя като

    точково ускорение - векторна величина, характеризираща скоростта на промяна на скоростта по големина и посока.

    Скоростта на точка при движение от точка M1 до точка Mg се променя по големина и посока. Средната стойност на ускорението за този период от време

    Текущо ускорение:

    Обикновено за удобство се разглеждат два взаимно перпендикулярни компонента на ускорение: нормално и тангенциално (фигура 2.4)

    Нормално ускорение a н , характеризира промяната в скоростта от

    посока и се определя като

    Нормалното ускорение винаги е насочено перпендикулярно на скоростта към центъра на дъгата.

    Фигура 2.4

    Тангенциално ускорение a т , характеризира промяната на скоростта по големина и винаги е насочен тангенциално към траекторията; при ускорение посоката му съвпада с посоката на скоростта, а при забавяне е насочена обратно на посоката на вектора на скоростта.

    Пълната стойност на ускорението се дефинира като:

    Анализ на видовете и кинематичните параметри на движенията

    Равномерно движение - Това е движение с постоянна скорост:

    За праволинейно равномерно движение:

    За криволинейно равномерно движение:

    Закон за равномерното движение :

    Равнопроменливо движение – е движение с постоянно тангенциално ускорение:

    За праволинейно равномерно движение

    За криволинейно равномерно движение:

    Закон за равномерното движение:

    Кинематични графики

    Кинематични графики - Това са графики на промените в пътя, скоростта и ускорението в зависимост от времето.

    Равномерно движение (Фигура 2.5)

    Фигура 2.5

    Равнопроменливо движение (фигура 2.6)

    Фигура 2.6

    Най-простите движения на твърдо тяло

    Движение напред наречено движение на твърдо тяло, при което всяка права линия върху тялото по време на движение остава успоредна на първоначалното си положение (фигура 2.7)

    Фигура 2.7

    При транслационно движение всички точки на тялото се движат по един и същи начин: скоростите и ускоренията са еднакви във всеки момент.

    Ввъртеливо движение всички точки на тялото описват кръгове около обща фиксирана ос.

    Неподвижната ос, около която се въртят всички точки на тялото, се наричаос на въртене.

    Само за описание на въртеливото движение на тяло около фиксирана осъглови опции. (Фигура 2.8)

    φ е ъгълът на завъртане на тялото;

    ω – ъглова скорост, определя промяната в ъгъла на въртене за единица време;

    Промяната на ъгловата скорост с времето се определя от ъгловото ускорение:

    2.2. Примери за решаване на практически задачи

    Пример 1: Дадено е уравнението на движението на точка. Определете скоростта на точката в края на третата секунда от движение и средната скорост за първите три секунди.

    решение:

    1. Уравнение на скоростта

    2. Скорост в края на третата секунда (т=3 ° С)

    3. Средна скорост

    Пример 2: Съгласно дадения закон за движение определете вида на движението, началната скорост и тангенциалното ускорение на точката, времето за спиране.

    решение:

    1. Тип движение: еднакво променливо ()
    2. При сравняване на уравненията е очевидно, че

    - първоначалният път, изминат преди началото на обратното броене 10m;

    - начална скорост 20m/s

    - постоянно тангенциално ускорение

    - ускорението е отрицателно, следователно движението е бавно, ускорението е насочено в посока, противоположна на скоростта на движение.

    3. Можете да определите времето, в което скоростта на точката ще бъде равна на нула.

    3. Динамика: основни понятия и аксиоми

    Динамика - раздел от теоретичната механика, в който се установява връзка между движението на телата и силите, действащи върху тях.

    В динамиката се решават два вида проблеми:

      определяне на параметрите на движение според дадените сили;

      определят силите, действащи върху тялото, според дадените кинематични параметри на движението.

    Подматериална точка предполагат определено тяло, което има определена маса (т.е. съдържа определено количество материя), но няма линейни размери (безкрайно малък обем пространство).
    изолиран разглежда се материална точка, която не се влияе от други материални точки. AT реалния святизолирани материални точки, както и изолирани тела, не съществуват, това понятие е условно.

    При транслационно движение всички точки на тялото се движат по един и същи начин, така че тялото може да се приеме като материална точка.

    Ако размерите на тялото са малки в сравнение с траекторията, то може да се разглежда и като материална точка, докато точката съвпада с центъра на тежестта на тялото.

    По време на въртеливото движение на тялото точките може да не се движат по същия начин, в този случай някои разпоредби на динамиката могат да се прилагат само към отделни точки, а материалният обект може да се разглежда като набор от материални точки.

    Следователно динамиката се разделя на динамика на точка и динамика на материална система.

    Аксиоми на динамиката

    Първа аксиома ( принцип на инерция): в всяка изолирана материална точка е в състояние на покой или равномерно и праволинейно движение, докато приложените сили я изведат от това състояние.

    Това състояние се нарича състояниеинерция. Премахнете точката от това състояние, т.е. дайте му известно ускорение, може би външна сила.

    Всяко тяло (точка) имаинерция. Мярката за инерция е масата на тялото.

    маса Нареченколичеството материя в тялото в класическата механика се счита за постоянна стойност. Единицата за маса е килограм (kg).

    Втора аксиома (Вторият закон на Нютон е основният закон на динамиката)

    F=ma

    къдетот - точка маса, кг;а - точково ускорение, m/s 2 .

    Ускорението, придадено на материална точка от сила, е пропорционално на величината на силата и съвпада с посоката на силата.

    Гравитацията действа върху всички тела на Земята, тя придава ускорение на тялото. свободно паданекъм центъра на земята:

    G=mg

    къдетог- 9,81 m/s², ускорение при свободно падане.

    Трета аксиома (трети закон на Нютон): сСилите на взаимодействие на две тела са равни по големина и насочени по една и съща права линия в различни посоки.

    При взаимодействие ускоренията са обратно пропорционални на масите.

    Четвърта аксиома (закон за независимост на действието на силите): toВсяка сила от системата от сили действа така, както би действала сама.

    Ускорението, придадено на точката от системата от сили, е равно на геометричната сума от ускоренията, придадени на точката от всяка сила поотделно (фигура 3.1):

    Фигура 3.1

    Концепцията за триене. Видове триене.

    триене- съпротивление, произтичащо от движението на едно грубо тяло върху повърхността на друго. Триенето при плъзгане води до триене на плъзгане, а триенето при търкаляне води до триене при люлеене.

    Триене на плъзгане

    Фигура 3.2.

    Причината е механичното захващане на издатините. Силата на съпротивление на движение по време на плъзгане се нарича сила на триене при плъзгане (Фигура 3.2)

    Закони на триенето при плъзгане:

    1. Силата на триене при плъзгане е право пропорционална на силата на нормално налягане:

    къдетоР- сила на нормално налягане, насочена перпендикулярно на опорната повърхност;е- коефициент на триене при плъзгане.

    Фигура 3.3.

    В случай на тяло, движещо се по наклонена равнина (Фигура 3.3)

    триене при търкаляне

    Съпротивлението при търкаляне е свързано с взаимната деформация на земята и колелото и е много по-малко от триенето на плъзгане.

    За равномерно търкаляне на колелото е необходимо да се приложи силаФ dv (Фигура 3.4)

    Условието на търкаляне на колелото е, че моментът на движение не трябва да бъде по-малък от момента на съпротивление:

    Фигура 3.4.

    Пример 1: Пример 2: Към две материални точки на масам 1 = 2 кг им 2 = прилагат се 5 кг равни сили. Сравнете стойностите по-бързо.

    решение:

    Според третата аксиома динамиката на ускорението е обратно пропорционална на масите:

    Пример 3: Определете работата на гравитацията при преместване на товар от точка А до точка С по наклонена равнина (фигура 3.7). Силата на тежестта на тялото е 1500N. AB=6m, BC=4m.Пример 3: Определете работата на силата на рязане за 3 минути. Скоростта на въртене на детайла е 120 rpm, диаметърът на детайла е 40 mm, силата на рязане е 1kN. (Фигура 3.8)

    решение:

    1. Работа с въртеливо движение:

    2. Ъглова скорост 120 об/мин

    Фигура 3.8.

    3. Броят на оборотите за дадено време еz\u003d 120 * 3 \u003d 360 оборота.

    Ъгъл на завъртане през това време φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 рад

    4. Работете за 3 оборота:У\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

    Библиография

      Олофинская, В.П. "Техническа механика", Москва "Форум" 2011 г

      Ердеди А.А. Ердеди Н.А. Теоретична механика. Якост на материалите.- R-n-D; Финикс, 2010 г

    Като част от всяка учебна програма, изучаването на физика започва с механика. Не от теоретична, не от приложна и не изчислителна, а от добрата стара класическа механика. Тази механика се нарича още Нютонова механика. Според легендата ученият се разхождал в градината, видял падаща ябълка и именно това явление го подтикнало да открие закона за всемирното привличане. Разбира се, законът винаги е съществувал и Нютон му е дал само форма, разбираема за хората, но заслугата му е безценна. В тази статия няма да описваме законите на Нютонова механика възможно най-подробно, но ще очертаем основите, основните знания, дефинициите и формулите, които винаги могат да ви играят на ръка.

    Механиката е клон на физиката, наука, която изучава движението на материалните тела и взаимодействията между тях.

    Самата дума е от гръцки произход и се превежда като "изкуството да се строят машини". Но преди да построим машини, все още ни предстои дълъг път, така че нека тръгнем по стъпките на нашите предци и ще изучим движението на камъните, хвърлени под ъгъл към хоризонта, и ябълките, падащи върху глави от височина h.


    Защо изучаването на физиката започва с механика? Защото е напълно естествено, да не се тръгва от термодинамично равновесие?!

    Механиката е една от най-старите науки и исторически изучаването на физиката започва именно с основите на механиката. Поставени в рамките на времето и пространството, хората всъщност не могат да започнат от нещо друго, колкото и да искат. Движещите се тела са първото нещо, на което обръщаме внимание.

    Какво е движение?

    Механичното движение е промяна в положението на телата в пространството едно спрямо друго във времето.

    След това определение съвсем естествено стигаме до концепцията за референтна рамка. Промяна на положението на телата в пространството едно спрямо друго.Ключови думи тук: един спрямо друг . В крайна сметка, пътник в кола се движи спрямо човек, стоящ отстрани на пътя с определена скорост, и почива спрямо съседа си на седалка наблизо и се движи с друга скорост спрямо пътник в кола, която ги изпреварва.


    Ето защо, за да измерваме нормално параметрите на движещите се обекти и да не се объркаме, имаме нужда референтна система - твърдо свързани помежду си референтно тяло, координатна система и часовник. Например, Земята се движи около Слънцето в хелиоцентрична отправна система. В ежедневието ние извършваме почти всички наши измервания в геоцентрична референтна система, свързана със Земята. Земята е референтно тяло, спрямо което се движат автомобили, самолети, хора, животни.


    Механиката като наука има своя задача. Задачата на механиката е да знае положението на тялото в пространството по всяко време. С други думи, механиката изгражда математическо описание на движението и намира връзки между физическите величини, които го характеризират.

    За да продължим по-нататък, се нуждаем от понятието „ материална точка ". Казват, че физиката е точна наука, но физиците знаят колко приближения и предположения трябва да се направят, за да се споразумеят точно за тази точност. Никой никога не е виждал материална точкаи не помирише идеалната газ, но са! Просто с тях се живее много по-лесно.

    Материална точка е тяло, чийто размер и форма могат да бъдат пренебрегнати в контекста на този проблем.

    Раздели на класическата механика

    Механиката се състои от няколко раздела

    • Кинематика
    • Динамика
    • Статика

    Кинематикаот физическа гледна точка изучава как точно се движи тялото. С други думи, този раздел се занимава с количествените характеристики на движението. Намерете скорост, път - типични задачи на кинематиката

    Динамикарешава въпроса защо се движи по начина, по който се движи. Тоест, той отчита силите, действащи върху тялото.

    Статикаизучава равновесието на телата под действието на силите, тоест отговаря на въпроса: защо изобщо не пада?

    Граници на приложимост на класическата механика

    Класическата механика вече не претендира да е наука, която обяснява всичко (в началото на миналия век всичко беше съвсем различно) и има ясен обхват на приложимост. Като цяло законите на класическата механика са валидни за света, познат ни по размери (макросвят). Те престават да работят в случай на света на частиците, когато класическата механика се заменя с квантовата механика. Също така, класическата механика е неприложима в случаите, когато движението на телата се извършва със скорост, близка до скоростта на светлината. В такива случаи релативистичните ефекти стават ясно изразени. Грубо казано, в рамките на квантовата и релативистката механика - класическата механика, това е специален случай, когато размерите на тялото са големи, а скоростта е малка.


    Най-общо казано, квантовите и релативистичните ефекти никога не изчезват, те се осъществяват и при обичайното движение на макроскопични тела със скорост, много по-ниска от скоростта на светлината. Друго нещо е, че действието на тези ефекти е толкова малко, че не надхвърля най-точните измервания. Така класическата механика никога няма да загуби своето основно значение.

    Ще продължим да изучаваме физическите основи на механиката в бъдещи статии. За по-добро разбиране на механиката винаги можете да се обърнете към нашите автори, които поотделно хвърлят светлина върху тъмното петно ​​на най-трудната задача.

    Преглед:тази статия е прочетена 32852 пъти

    Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

    Кратък преглед

    Пълният материал се изтегля по-горе, след като изберете езика


    • Статика
      • Основни понятия за статиката
      • Видове сила
      • Аксиоми на статиката
      • Връзките и техните реакции
      • Система за сближаване на силата
        • Методи за определяне на резултантната система от сближаващи се сили
        • Условия на равновесие за система от сближаващи се сили
      • Момент на сила около центъра като вектор
        • Алгебрична стойност на момента на силата
        • Свойства на момента на сила около центъра (точката)
      • Теория на двойките сили
        • Събиране на две успоредни сили в една и съща посока
        • Събиране на две успоредни сили, насочени в противоположни посоки
        • Силови двойки
        • Няколко теореми за силите
        • Условия за равновесие на система от двойки сили
      • Рамото на лоста
      • Произволна плоска система от сили
        • Случаи на свеждане на плоска система от сили до по-проста форма
        • Условия на аналитично равновесие
      • Център на паралелните сили. Център на тежестта
        • Център на паралелните сили
        • Центърът на тежестта на твърдо тяло и неговите координати
        • Център на тежестта на обема, равнините и правите
        • Методи за определяне положението на центъра на тежестта
    • Основи на силовите състезания
      • Проблеми и методи за устойчивост на материалите
      • Класификация на натоварването
      • Класификация на конструктивните елементи
      • Деформации на пръта
      • Основни хипотези и принципи
      • Вътрешни сили. Метод на сечение
      • Волтаж
      • Напрежение и компресия
      • Механични характеристики на материала
      • Допустими напрежения
      • Твърдост на материала
      • Графики на надлъжни сили и напрежения
      • Shift
      • Геометрични характеристики на сечения
      • Усукване
      • извивам
        • Диференциални зависимости при огъване
        • Якост на огъване
        • нормални напрежения. Изчисляване на силата
        • Напрежения на срязване при огъване
        • Скованост при огъване
      • Елементи обща теориястресово състояние
      • Теории за силата
      • Огъване с усукване
    • Кинематика
      • Точкова кинематика
        • Точкова траектория
        • Методи за определяне на движението на точка
        • Точкова скорост
        • точково ускорение
      • Кинематика на твърдото тяло
        • Транслационно движение на твърдо тяло
        • Ротационно движение на твърдо тяло
        • Кинематика на зъбните механизми
        • Равнопаралелно движение на твърдо тяло
      • Сложно движение на точки
    • Динамика
      • Основни закони на динамиката
      • Точкова динамика
        • Диференциални уравнения на свободна материална точка
        • Два проблема на точковата динамика
      • Динамика на твърдото тяло
        • Класификация на силите, действащи върху механична система
        • Диференциални уравнения на движение на механична система
      • Общи теореми на динамиката
        • Теорема за движението на центъра на масата на механична система
        • Теорема за промяната на импулса
        • Теорема за промяната на ъгловия импулс
        • Теорема за промяна на кинетичната енергия
    • Сили, действащи в машините
      • Сили при зацепване на цилиндрична предавка
      • Триене в механизми и машини
        • Триене на плъзгане
        • триене при търкаляне
      • Ефективност
    • Машинни части
      • Механични трансмисии
        • Видове механични зъбни колела
        • Основни и производни параметри на механичните зъбни колела
        • предавки
        • Зъбни колела с гъвкави връзки
      • Валове
        • Предназначение и класификация
        • Проектно изчисление
        • Проверете изчислението на валовете
      • Лагери
        • Плъзгащи лагери
        • Търкалящи се лагери
      • Свързване на машинните части
        • Видове разглобяеми и постоянни връзки
        • Връзки с ключ
    • Стандартизиране на нормите, взаимозаменяемост
      • Допуски и кацания
      • Единна система за толеранси и кацания (ESDP)
      • Отклонение на формата и позицията

    Формат: pdf

    Размер: 4MB

    руски език

    Пример за изчисляване на цилиндрична предавка
    Пример за изчисляване на цилиндрична предавка. Извършен е изборът на материал, изчисляването на допустимите напрежения, изчисляването на контактната и якост на огъване.


    Пример за решаване на проблема с огъването на гредата
    В примера са начертани диаграми на напречни сили и моменти на огъване, намира се опасен участък и се избира I-лъч. В задачата беше анализирано изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости, сравнителен анализразлични напречни сечения на гредата.


    Пример за решаване на проблема с усукването на вала
    Задачата е да се тества здравината на стоманен вал за даден диаметър, материал и допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид


    Пример за решаване на проблема с напрежение-компресия на прът
    Задачата е да се тества здравината на стоманен прът при дадени допустими напрежения. По време на решението се изграждат графики на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на щангата не се взема предвид


    Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
    Пример за решаване на проблема за прилагане на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система



    Определяне на скоростта и ускорението на точка според дадените уравнения на движение
    Пример за решаване на задачата за определяне на скоростта и ускорението на точка според дадените уравнения на движение


    Определяне на скорости и ускорения на точките на твърдо тяло по време на плоскопаралелно движение
    Пример за решаване на задачата за определяне на скоростите и ускоренията на точките на твърдо тяло по време на плоскопаралелно движение


    Определяне на силите в плоските фермени пръти
    Пример за решаване на проблема за определяне на силите в прътите на плоска ферма по метода на Ритер и метода на рязане на възел

    1 слайд

    Курс на лекции по теоретична механика Динамика (I част) Бондаренко A.N. Москва - 2007 Електронна курс на обучениенаписана на базата на лекции, изнесени от автора за студенти, обучаващи се в специалностите на СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТ и МИИТ (1974-2006). Образователен материалсъответства на календарните планове в размер на три семестъра. За да приложите напълно анимационните ефекти по време на презентация, трябва да използвате програма за преглед на Power Point не по-ниска от тази, вградена в Microsoft Office на операционната система Windows-XP Professional. Коментарите и предложенията могат да бъдат изпращани по имейл: [защитен с имейл]. Москва държавен университетЖелезници (МИИТ) Катедра Теоретична механика Научно-технически център по транспортни технологии

    2 слайд

    Съдържание Лекция 1. Въведение в динамиката. Закони и аксиоми на динамиката на материалната точка. Основно уравнение на динамиката. Диференциални и естествени уравнения на движението. Две основни задачи на динамиката. Примери за решаване на директната задача на динамиката Лекция 2. Решаване на обратната задача на динамиката. Общи инструкции за решаване на обратната задача на динамиката. Примери за решаване на обратната задача на динамиката. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Лекция 3. Праволинейни трептения на материална точка. Условието за възникване на трептения. Класификация на вибрациите. Свободни вибрации, без да се вземат предвид силите на съпротивление. заглушени вибрации. Декремент на трептене. Лекция 4. Принудителни трептения на материална точка. Резонанс. Влияние на съпротивлението на движение при принудителни вибрации. Лекция 5. Относително движение на материална точка. Инерционни сили. Конкретни случаи на движение за различни видове преносими движения. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата. Лекция 6. Динамика на механична система. механична система. Външни и вътрешни сили. Център на масата на системата. Теорема за движението на центъра на масите. Закони за опазване. Пример за решаване на задачата за използване на теоремата за движението на центъра на масата. Лекция 7. Импулс на сила. Количеството движение. Теорема за промяната на импулса. Закони за опазване. Теорема на Ойлер. Пример за решаване на задачата за използването на теоремата за промяната на импулса. момент на инерция. Теорема за промяна на ъгловия импулс Лекция 8. Закони за запазване. Елементи на теорията на инерционните моменти. Кинетичен момент на твърдо тяло. Диференциално уравнениевъртене на твърдо тяло. Пример за решаване на задачата за използване на теоремата за промяна на ъгловия момент на системата. Елементарна теория на жироскопа. Препоръчителна литература 1. Yablonsky A.A. Курс по теоретична механика. Част 2. М.: висше училище. 1977. 368 с. 2. Мешчерски И.В. Сборник от задачи по теоретична механика. М.: Наука. 1986 416 стр. 3. Сборник със задачи за курсови работи/ Изд. А.А. Яблонски. М.: Висше училище. 1985. 366 с. 4. Бондаренко A.N. „Теоретична механика в примери и задачи. Динамика” ( електронен наръчник www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 г.

    3 слайд

    Лекция 1 Динамика е раздел от теоретичната механика, който изучава механичното движение от самото начало. обща точка визия. Движението се разглежда във връзка със силите, действащи върху обекта. Разделът се състои от три раздела: Динамика на материална точка Динамика на механична система Аналитична механика ■ Динамика на точка – изучава движението на материална точка, като се вземат предвид силите, които предизвикват това движение. Основният обект е материална точка - материално тяло с маса, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати. Основни допускания: - съществува абсолютно пространство (то има чисто геометрични свойства, които не зависят от материята и нейното движение. - има абсолютно време (не зависи от материята и нейното движение). От това следва: - има абсолютно неподвижна референтна система - времето не зависи от движението на референтната система - масите на движещите се точки не зависят от движението на референтната система Тези предположения се използват в класическата механика, създадена от Галилей и Нютон Той все още има доста широк обхват, тъй като механичните системи, разглеждани в приложните науки, нямат толкова големи маси и скорости на движение, за които е необходимо да се вземе предвид тяхното влияние върху геометрията на пространството, времето, движението, като се прави в релативистичната механика (теорията на относителността) ■ Основните закони на динамиката - открити за първи път от Галилей и формулирани от Нютон, формират основата на всички методи за описание и анализ на движението на механичните системи и тяхното динамично взаимодействие действие под въздействието на различни сили. ■ Закон за инерцията (закон на Галилео-Нютон) - Изолирана материална точка на тяло запазва състоянието си на покой или равномерно праволинейно движение, докато приложените сили го принудят да промени това състояние. Това предполага еквивалентност на състоянието на покой и движение по инерция (законът за относителността на Галилей). Референтната система, по отношение на която е изпълнен законът за инерцията, се нарича инерционна. Свойството на материалната точка да се стреми да запази скоростта на своето движение (кинематичното си състояние) непроменена се нарича инерция. ■ Законът за пропорционалността на силата и ускорението (Основно уравнение на динамиката - законът на Нютон II) - Ускорението, придадено на материална точка чрез сила, е право пропорционално на силата и обратно пропорционално на масата на тази точка: или Тук m е маса на точката (мярка за инерция), измерена в kg, числено равна на теглото, разделено на гравитационното ускорение: F е действащата сила, измерена в N (1 N придава ускорение от 1 m/s2 на точка от 1 kg, 1 N = 1/9,81 kg-s). ■ Динамика на механична система – изучава движението на съвкупност от материални точки и твърди тела, обединени от общите закони на взаимодействие, като се вземат предвид силите, които предизвикват това движение. ■ Аналитична механика – изучава движението на несвободни механични системи с помощта на общи аналитични методи. един

    4 слайд

    Лекция 1 (продължение - 1.2) Диференциални уравнения на движение на материална точка: - диференциално уравнение на движение на точка във векторна форма. - диференциални уравнения на движението на точката в координатна форма. Този резултат може да бъде получен чрез формална проекция на векторното диференциално уравнение (1). След групирането, векторната връзка се разлага на три скаларни уравнения: В координатна форма: Използваме връзката на радиус-вектор с координати и вектор на сила с проекции: диференциално уравнение на движение по естествени (движещи се) координатни оси: или: - естествени уравнения на движението на точка. ■ Основно уравнение на динамиката: - съответства на векторния начин за определяне на движението на точка. ■ Законът за независимост на действието на силите - Ускорението на материална точка под действието на няколко сили е равно на геометричната сума от ускоренията на точка от действието на всяка от силите поотделно: или Законът е валиден за всяко кинематично състояние на телата. Силите на взаимодействие, приложени към различни точки (тела), не са балансирани. ■ Законът за равенството на действието и реакцията (закон на Нютон III) - Всяко действие съответства на еднаква и противоположно насочена реакция: 2

    5 слайд

    Два основни проблема на динамиката: 1. Директен проблем: Дава се движение (уравнения на движение, траектория). Необходимо е да се определят силите, под чието действие се осъществява дадено движение. 2. Обратна задача: Дадени са силите, под чието действие възниква движението. Необходимо е да се намерят параметри на движение (уравнения на движение, траектория на движение). И двете задачи се решават с помощта на основното уравнение на динамиката и неговата проекция върху координатните оси. Ако се разглежда движението на несвободна точка, тогава, както в статиката, се използва принципът на освобождаване от връзки. В резултат на реакцията връзките се включват в състава на силите, действащи върху материалната точка. Решението на първия проблем е свързано с операции за диференциране. Решаването на обратната задача изисква интегриране на съответните диференциални уравнения, а това е много по-трудно от диференцирането. Обратната задача е по-трудна от директната. Решението на директната задача за динамиката - нека разгледаме примери: Пример 1. Кабина с тежест G на асансьор се повдига от въже с ускорение a . Определете напрежението на кабела. 1. Изберете обект (кабината на асансьора се движи напред и може да се разглежда като материална точка). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакцията R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: Определяме реакцията на кабела: Определяме напрежението на кабела: При равномерно движение на кабината ay = 0 и напрежението на кабела е равно на тежестта: T = G. При скъсване на кабела T = 0 и ускорението на кабината е равно на ускорението на свободното падане: ay = -g. 3 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: y Пример 2. Точка с маса m се движи по хоризонтална повърхност (равнината Oxy) съгласно уравненията: x = a coskt, y = b coskt. Определете силата, действаща върху точката. 1. Изберете обект (материална точка). 2. Изхвърляме връзката (равнината) и я заместваме с реакцията N. 3. Добавяме неизвестна сила F към системата от сили 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оси x,y: Определете проекциите на силата: Модул на силата: Косинус на посоката: По този начин големината на силата е пропорционална на разстоянието на точката до центъра на координатите и е насочена към центъра по линията, свързваща точката с центъра. Траекторията на движението на точката е елипса, центрирана в началото: O r Лекция 1 (продължение - 1.3)

    6 слайд

    Лекция 1 (продължение 1.4) Пример 3: Товар с тежест G е окачен на въже с дължина l и се движи по кръгова пътека в хоризонтална равнина с определена скорост. Ъгълът на отклонение на кабела от вертикалата е равен на. Определете напрежението на кабела и скоростта на натоварване. 1. Изберете обект (товар). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакцията R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: От третото уравнение определяме реакцията на кабела: Определяме напрежението на кабела: Заменяме стойността на реакцията на кабела, нормално ускорениевъв второто уравнение и определяме скоростта на товара: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста, n, b: Пример 4: Автомобил с тежест G се движи по изпъкнал мост (радиусът на кривината е R ) със скорост V. Определете налягането на автомобила върху моста. 1. Избираме обект (кола, пренебрегваме размерите и го разглеждаме като точка). 2. Изхвърляме връзката (груба повърхност) и я заместваме с реакциите N и силата на триене Ffr. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста n: От тук определяме нормалната реакция: Определяме налягането на автомобила върху моста: От тук можем да определим скоростта съответстващо на нулево налягане върху моста (Q = 0): 4

    7 слайд

    Лекция 2 След заместване на намерените стойности на константите получаваме: Така под действието на една и съща система от сили материална точка може да извърши цял клас движения, определени от началните условия. Началните координати отчитат първоначалното положение на точката. Началната скорост, дадена от проекциите, отчита влиянието върху нейното движение по разглеждания участък от траекторията на силите, които са действали върху точката, преди да пристигнат в този участък, т.е. начално кинематично състояние. Решение на обратната задача на динамиката - В общия случай на движение на точка, силите, действащи върху точката, са променливи, които зависят от времето, координатите и скоростта. Движението на точка се описва от система от три диференциални уравнения от втори ред: След интегриране на всяко от тях, ще има шест константи C1, C2,…., C6: Стойностите на константите C1, C2,… ., C6 се намират от шест начални условия при t = 0: Пример 1 на решението на обратната задача: Свободна материална точка с маса m се движи под действието на сила F, която е постоянна по големина и величина. . В началния момент скоростта на точката е v0 и съвпада по посока със силата. Определете уравнението на движението на точка. 1. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Понижаваме реда на производната: 2. Избираме декартовата референтна система, насочвайки оста x по посока на силата и проектираме основното уравнение на динамиката върху тази ос: или x y z 4. Отделете променливите: 5. Изчислете интегралите от двете части на уравнението : 6. Нека представим проекцията на скоростта като производна по време на координатата: 8. Изчислете интегралите от двете части на уравнението: 7. Разделете променливите: 9. За да определим стойностите на константите C1 и C2, използваме началните условия t = 0, vx = v0 , x = x0: В резултат получаваме уравнението за равномерно променливо движение (по протежение на ос x): 5

    8 слайд

    Общи инструкции за решаване на преки и обратни задачи. Процедура за решаване: 1. Съставяне на диференциалното уравнение на движение: 1.1. Изберете координатна система - правоъгълна (фиксирана) с неизвестна траектория на движение, естествена (движеща се) с известна траектория, например окръжност или права линия. В последния случай може да се използва една праволинейна координата. Референтната точка трябва да се комбинира с първоначалното положение на точката (при t = 0) или с равновесното положение на точката, ако съществува, например, когато точката се колебае. 6 1.2. Начертайте точка в позиция, съответстваща на произволен момент от времето (за t > 0), така че координатите да са положителни (s > 0, x > 0). Предполагаме също, че проекцията на скоростта в тази позиция също е положителна. В случай на трептения проекцията на скоростта променя знака, например при връщане в положение на равновесие. Тук трябва да се приеме, че в разглеждания момент от време точката се отдалечава от положението на равновесие. Изпълнението на тази препоръка е важно в бъдеще при работа със съпротивителни сили, които зависят от скоростта. 1.3. Освободете материалната точка от връзките, заменете тяхното действие с реакции, добавете активни сили. 1.4. Запишете основния закон на динамиката във векторна форма, проектирайте върху избрани оси, изразете дадени или реактивни сили по отношение на време, координати или скоростни променливи, ако те зависят от тях. 2. Решение на диференциални уравнения: 2.1. Намалете производната, ако уравнението не е сведено до каноничната (стандартна) форма. например: или 2.2. Отделни променливи, например: или 2.4. Изчислете неопределените интеграли от лявата и дясната страна на уравнението, например: 2.3. Ако в уравнението има три променливи, тогава направете промяна на променливите, например: и след това отделете променливите. Коментирайте. Вместо да се изчислява неопределени интеграливъзможно е да се изчислят определени интеграли с променлива горна граница. Долните граници представляват началните стойности на променливите (начални условия). Тогава няма нужда да се намира отделно константата, която автоматично се включва в решението, например: Използвайки началните условия, например, t = 0 , vx = vx0, определете константата на интегриране: 2.5. Изразете скоростта по отношение на производната по време на координатата, например, и повторете стъпки 2.2 -2.4 Забележка. Ако уравнението се сведе до канонична форма, който има стандартно решение, то се използва това готово решение. Константите на интегриране все още се намират от началните условия. Вижте например трептения (лекция 4, стр. 8). Лекция 2 (продължение 2.2)

    9 слайд

    Лекция 2 (продължение 2.3) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от времето. Товар с тежест P започва да се движи по гладка хоризонтална повърхност под действието на сила F, чиято величина е пропорционална на времето (F = kt). Определете разстоянието, изминато от товара за време t. 3. Съставете основното уравнение на динамиката: 5. Намалете реда на производната: 4. Проектирайте основното уравнение на динамиката върху оста x: или 7 6. Разделете променливите: 7. Изчислете интегралите от двете части на уравнение: 9. Представете проекцията на скоростта като производна на координатата по време: 10. Изчислете интегралите на двете части на уравнението: 9. Разделете променливите: 8. Определете стойността на константата C1 от начално условие t = 0, vx = v0=0: В резултат получаваме уравнението на движението (по оста x), което дава стойността на изминатото разстояние за време t: 1. Избираме референтната система (декартова координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Приемаме обекта на движение като материална точка (тялото се движи напред), освобождаваме го от връзката (референтна равнина) и го заменяме с реакцията (нормална реакция на гладка повърхност) : 11. Определете стойността на константата C2 от началното условие t = 0, x = x0=0: Пример 3 за решаване на обратната задача: Силата зависи от координатата. Материална точка с маса m се изхвърля нагоре от земната повърхност със скорост v0. Силата на гравитацията на Земята е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието от точката до центъра на тежестта (центъра на Земята). Определете зависимостта на скоростта от разстоянието y до центъра на Земята. 1. Избираме референтната система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: или Коефициентът на пропорционалност може се намира с помощта на теглото на точка от повърхността на Земята: R Оттук диференциалът, уравнението изглежда така: или 4. Намалете реда на производната: 5. Променете променливата: 6. Отделете променливите: 7. Изчислете интеграли от двете страни на уравнението: 8. Заменете границите: В резултат получаваме израз за скоростта като функция на координатата y: Максималната височина на полета може да бъде намерена чрез приравняване на скоростта към нула: максималната височина на полета когато знаменателят се обърне на нула: От тук, при задаване на радиуса на Земята и ускорението на свободното падане, се получава II космическа скорост:

    10 слайд

    Лекция 2 (продължение 2.4) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от скоростта. Кораб с маса m имаше скорост v0. Съпротивлението на водата срещу движението на кораба е пропорционално на скоростта. Определете времето, през което скоростта на кораба спадне наполовина след изключване на двигателя, както и разстоянието, изминато от кораба до пълно спиране. 8 1. Избираме референтна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (корабът се движи напред), освобождаваме го от връзки (вода) и го заменяме с реакция (подемна сила - сила на Архимед), а също и силата на съпротивление на движение. 3. Добавете активна сила (гравитация). 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 6. Понижаваме реда на производната: 7. Разделяме променливите: 8. Изчисляваме интегралите от двете части от уравнението: 9. Заместваме границите: Получава се израз, който свързва скоростта и времето t, от които можете да определите времето на движение: Времето на движение, през което скоростта ще спадне наполовина: То е интересно да се отбележи, че когато скоростта се доближи до нула, времето на движение клони към безкрайност, т.е. крайната скорост не може да бъде нула. Защо не "вечно движение"? В този случай обаче изминатото разстояние до спирката е крайна стойност. За да определим изминатото разстояние, се обръщаме към израза, получен след понижаване на реда на производната и правим промяна на променливата: След интегриране и заместване на границите, получаваме: Изминато разстояние до спирката: ■ Движение на точка, хвърлена в ъгъл спрямо хоризонта в равномерно гравитационно поле, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Елиминирайки времето от уравненията на движение, получаваме уравнението на траекторията: Времето на полета се определя чрез приравняване на координатата y на нула: Обхватът на полета се определя чрез заместване на време на полет:

    11 слайд

    Лекция 3 Праволинейни трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при условие, че има възстановяваща сила, която се стреми да върне точката в равновесно положение при всяко отклонение от това положение. 9 Има възстановяваща сила, положението на равновесието е стабилно Няма възстановяваща сила, положението на равновесие е нестабилно Няма възстановяваща сила, положението на равновесие е безразлично Тя винаги е насочена към положение на равновесие, стойността е право пропорционална на линейното удължение (скъсяване) на пружината, което е равно на отклонението на тялото от равновесното положение: c е коефициентът на коравина на пружината, числено равен на сила, при която пружината променя дължината си с единица, измерена в N/m в системата SI. x y O Видове вибрации на материална точка: 1. Свободни вибрации (без да се отчита съпротивлението на средата). 2. Свободни трептения, като се отчита съпротивлението на средата (затихващи трептения). 3. Принудителни вибрации. 4. Принудителни трептения, като се отчита съпротивлението на средата. ■ Свободни трептения - възникват под действието само на възстановяваща сила. Нека запишем основния закон на динамиката: Да изберем координатна система, центрирана в позицията на равновесие (точка O) и да проектираме уравнението върху оста x: Нека приведем полученото уравнение до стандартния (каноничен) вид: Това уравнение е хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред, формата на решението на което се определя от корените на характеристиката на уравнението, получено с помощта на универсалното заместване: Корените на характеристичното уравнение са въображаеми и равни: Общото решение на диференциалното уравнение е: скоростта на точката: Първоначални условия: Да дефинираме константите: И така, уравнението на свободните вибрации изглежда така: Уравнението може да бъде представено с едночленен израз: където a е амплитудата, е началната фаза. Новите константи a и - са свързани с константите C1 и C2 чрез отношенията: Да дефинираме a и: Причината за възникване на свободни трептения е началното преместване x0 и/или началната скорост v0.

    12 слайд

    10 Лекция 3 (продължение 3.2) Затихване на трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при наличие на възстановяваща сила и сила на съпротивление на движение. Зависимостта на силата на съпротивление на движението от преместването или скоростта се определя от физическото естество на средата или връзката, която пречи на движението. Най-простата зависимост е линейна зависимост от скоростта (вискозно съпротивление): - коефициент на вискозитет x y O Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: стандартен изглед: където Характеристичното уравнение има корени: Общото решение на това диференциално уравнение има различна форма в зависимост от стойностите на корените: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - случай на висока вискозна устойчивост: - истински корени, различни. или - тези функции са апериодични: 3. n = k: - корените са реални, кратни. тези функции също са апериодични:

    13 слайд

    Лекция 3 (продължение 3.3) Класификация на решенията на свободните трептения. Пружинни връзки. еквивалентна твърдост. y y 11 Диф. Символ на уравнение. Корени на уравнение char. уравнение Решаване на диференциално уравнение Графика nk n=k

    14 слайд

    Лекция 4 Принудителни вибрации на материална точка - Заедно с възстановяващата сила действа и периодично променяща се сила, наречена смущаваща сила. Смущаващата сила може да има различно естество. Например, в конкретен случай инерционният ефект на небалансирана маса m1 на въртящ се ротор причинява хармонично променящи се проекции на сила: Основното уравнение на динамиката: Проекцията на уравнението на динамиката върху оста: Нека приведем уравнението към стандарта форма: 12 Решението на това нехомогенно диференциално уравнение се състои от две части x = x1 + x2: x1 е общото решение на съответното хомогенно уравнениеи x2 е конкретно решение на нехомогенното уравнение: Избираме конкретно решение под формата на дясната страна: Полученото равенство трябва да бъде изпълнено за всяко t . Тогава: или Така, при едновременното действие на възстановяващите и смущаващите сили, материалната точка извършва сложно колебателно движение, което е резултат от добавянето (суперпозицията) на свободни (x1) и принудителни (x2) вибрации. Ако п< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием цялостно решение(!): По този начин, конкретно решение: Ако p > k (принудени трептения с висока честота), тогава фазата на трептенията е противоположна на фазата на смущаващата сила:

    15 слайд

    Лекция 4 (продължение 4.2) 13 Динамичен коефициент - съотношението на амплитудата на принудителните трептения към статичното отклонение на точка под действието на постоянна сила H = const: Амплитудата на принудителните трептения: Статичното отклонение може да се намери от уравнение на равновесие: Тук: Оттук: Така, в p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (висока честота на принудителните трептения) динамичен коефициент: Резонанс – възниква, когато честотата на принудителното трептене съвпада с честотата на собствените трептения (p = k). Това най-често се случва при стартиране и спиране на въртенето на лошо балансирани ротори, монтирани върху еластични окачвания. Диференциалното уравнение на трептения с равни честоти: Не може да се вземе конкретно решение под формата на дясната страна, т.к. ще се получи линейно зависимо решение (виж общото решение). Общо решение: Заместете в диференциалното уравнение: Да вземем конкретно решение във формата и да изчислим производните: По този начин се получава решението: или Принудителните трептения при резонанс имат амплитуда, която нараства неограничено пропорционално на времето. Влияние на съпротивлението на движение при принудителни вибрации. Диференциалното уравнение при наличие на вискозно съпротивление има вида: Общото решение се избира от таблицата (Лекция 3, стр. 11) в зависимост от съотношението на n и k (виж). Взимаме конкретно решение във формата и изчисляваме производните: Заместване в диференциалното уравнение: Уравняване на коефициентите при едно и също тригонометрични функцииполучаваме система от уравнения: Повишавайки двете уравнения на степен и ги добавяме, получаваме амплитудата на принудителните трептения: Като разделим второто уравнение на първото, получаваме фазовото изместване на принудителните трептения: Така уравнението на движение за принудителни трептения, като се вземе предвид съпротивлението на движение, например при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

    16 слайд

    Лекция 5 Относително движение на материална точка – Да приемем, че движещата се (неинерциална) координатна система Oxyz се движи по някакъв закон спрямо фиксираната (инерционна) координатна система O1x1y1z1. Движението на материална точка M (x, y, z) спрямо подвижната система Oxyz е относително, спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е абсолютно. Движението на мобилната система Oxyz спрямо фиксираната система O1x1y1z1 е преносимо движение. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основно уравнение на динамиката: Абсолютно ускорение на точка: Заместете абсолютното ускорение на точка в основното уравнение на динамиката: Нека прехвърлим членовете с транслационно и Кориолисово ускорение в дясната страна: прехвърлените членове имат размерността на силите и се считат за съответните инерционни сили, равни: Тогава относителното движение на точката може да се счита за абсолютно, ако добавим транслационните и кориолисовите сили на инерцията към действащите сили: В проекции върху осите на движещата се координатна система, имаме: въртенето е равномерно, тогава εe = 0: 2. Транслационно криволинейно движение: Ако движението е праволинейно, тогава = : Ако движението е праволинейно и равномерно, тогава движещата се система е инерционна и относителната движението може да се счита за абсолютно: Никакви механични явления не могат да открият праволинейна униформа движение (принцип на относителността на класическата механика). Влияние на въртенето на Земята върху равновесието на телата – Да приемем, че тялото е в равновесие на земната повърхност на произволна ширина φ (паралели). Земята се върти около оста си от запад на изток с ъглова скорост: Радиусът на Земята е около 6370 km. S R- пълна реакциянеравна повърхност. G - сила на привличане на Земята към центъра. Ф - центробежна сила на инерцията. Условие на относителното равновесие: Резултатът от силите на привличане и инерция е силата на гравитацията (теглото): Величината на силата на гравитацията (теглото) върху повърхността на Земята е P = mg. Центробежната сила на инерцията е малка част от силата на гравитацията: Отклонението на силата на гравитацията от посоката на силата на привличане също е малко: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху баланса на телата е изключително малко и не се взема предвид при практическите изчисления. Максималната стойност на инерционната сила (при φ = 0 - при екватора) е само 0,00343 от стойността на гравитацията

    17 слайд

    Лекция 5 (продължение 5.2) 15 Влияние на въртенето на Земята върху движението на телата в земното гравитационно поле – Да предположим, че тяло пада на Земята от определена височина H над земната повърхност на географска ширина φ . Нека изберем движеща се отправна система, твърдо свързана със Земята, насочваща осите x, y тангенциално към успоредника и меридиана: Уравнение на относителното движение: Тук малката центробежна сила на инерцията в сравнение със силата на гравитацията е взети предвид. Така силата на гравитацията се отъждествява със силата на гравитацията. Освен това приемаме, че гравитацията е насочена перпендикулярно на земната повърхност поради малкото отклонение, както беше обсъдено по-горе. Ускорението на Кориолис е равно на и насочено успоредно на оста y на запад. Силата на инерция на Кориолис е насочена в обратна посока. Проектираме уравнението на относителното движение върху оста: Решението на първото уравнение дава: Начални условия: Решението на третото уравнение дава: Начални условия: Третото уравнение приема формата: Начални условия: Неговото решение дава: Полученото решение показва, че тялото се отклонява на изток при падане. Нека изчислим стойността на това отклонение, например, при падане от височина 100 м. Откриваме времето на падане от решението на второто уравнение: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата е изключително малко за практически височини и скорости и не се взема предвид при техническите изчисления. Решението на второто уравнение също предполага наличието на скорост по оста y, която също трябва да предизвика и причинява съответното ускорение и инерционната сила на Кориолис. Влиянието на тази скорост и свързаната с нея инерционна сила върху промяната в движението ще бъде дори по-малко от разглежданата инерционна сила на Кориолис, свързана с вертикалната скорост.

    18 слайд

    Лекция 6 Динамика на механична система. Система от материални точки или механична система - Набор от материални точки или тези материални точки, обединени от общи закони на взаимодействие (положението или движението на всяка от точките или тялото зависи от позицията и движението на всички останали) система от свободни точки - движението на която не е ограничено от никакви връзки (например планетарна система, в която планетите се разглеждат като материални точки). Система от несвободни точки или несвободна механична система - движението на материални точки или тела е ограничено от ограниченията, наложени на системата (например механизъм, машина и т.н.). 16 Сили, действащи върху системата. В допълнение към съществуващата преди това класификация на силите (активни и реактивни сили), се въвежда нова класификация на силите: 1. Външни сили (д) - действащи върху точки и тела на системата от точки или тела, които не са част от тази система. 2. Вътрешни сили (i) - сили на взаимодействие между материални точки или тела, включени в дадената система. Една и съща сила може да бъде както външна, така и вътрешна сила. Всичко зависи от това коя механична система се разглежда. Например: В системата на Слънцето, Земята и Луната всички гравитационни сили между тях са вътрешни. Когато разглеждаме системата Земята и Луната, гравитационните сили, приложени от страната на Слънцето, са външни: C Z L Въз основа на закона за действието и реакцията, всяка вътрешна сила Fk съответства на друга вътрешна сила Fk', равна по абсолютна стойност и противоположна по посока. От това следват две забележителни свойства на вътрешните сили: Главният вектор на всички вътрешни сили на системата е равен на нула: Основният момент на всички вътрешни сили на системата спрямо всеки център е равен на нула: Или в проекции върху координатата оси: Забележка. Въпреки че тези уравнения са подобни на уравненията на равновесието, те не са, тъй като вътрешните сили се прилагат към различни точки или тела на системата и могат да накарат тези точки (тела) да се движат една спрямо друга. От тези уравнения следва, че вътрешните сили не влияят на движението на система, разглеждана като цяло. Центърът на масата на системата от материални точки. За да опишем движението на системата като цяло, ние въвеждаме геометрична точка, наречен център на масата, чийто радиус вектор се определя от израза, където M е масата на цялата система: Или в проекции върху координатните оси: Формулите за центъра на масата са подобни на тези за центъра на гравитацията. Концепцията за центъра на масата обаче е по-обща, тъй като не е свързана със силите на гравитацията или силите на гравитацията.

    19 слайд

    Лекция 6 (продължение 6.2) 17 Теорема за движението на центъра на масата на системата - Разгледайте система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Нека сумираме тези уравнения върху всички точки: От лявата страна на уравнението ще въведем масите под знака на производната и ще заменим сбора от производните с производната от сумата: От определението на центъра на масата: Заместете в полученото уравнение: получаваме или: Произведението на масата на системата и ускорението на нейната централна маса е равно на главния вектор на външните сили. В проекции върху координатните оси: Центърът на масата на системата се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата. Последици от теоремата за движението на центъра на масата на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то скоростта на центъра на масата е постоянна, vC = const (центърът на масата се движи равномерно праволинейно - законът за запазване на центъра на движението на масата). 2. Ако във времевия интервал проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, то скоростта на центъра на масата по оста x е постоянна, vCx = const (центърът на масата се движи равномерно по оста). Подобни твърдения са верни за осите y и z. Пример: Двама души с маси m1 и m2 се намират в лодка с маса m3. В началния момент лодката с хора почива. Определете изместването на лодката, ако човек с маса m2 се премести до носа на лодката на разстояние a. 3. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е равен на нула, Re = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата е нула, vC = 0, то радиус векторът на центърът на масата остава постоянен, rC = const (центърът на масата е в покой е законът за запазване на положението на центъра на масата). 4. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата по тази ос е нула , vCx = 0, тогава координатата на центъра на масата по оста x остава постоянна, xC = const (центърът на масата не се движи по тази ос). Подобни твърдения са верни за осите y и z. 1. Обект на движение (лодка с хора): 2. Изхвърляме връзки (вода): 3. Заменяме връзката с реакция: 4. Добавете активни сили: 5. Запишете теоремата за центъра на масата: Проектирайте върху оста x: O Определете колко далеч трябва да прехвърлите до човек с маса m1, така че лодката да остане на място: Лодката ще се премести на разстояние l в обратна посока.

    20 слайд

    Лекция 7 Силовият импулс е мярка за механично взаимодействие, която характеризира предаването на механично движение от силите, действащи върху точка за даден период от време: 18 В проекции върху координатни оси: В случай на постоянна сила: В проекции върху координатни оси: към точката на сила в същия интервал от време: Умножете по dt: Интегрирайте за даден интервал от време: Инерцията на точката е мярка за механично движение, определена от вектор, равен на произведението на масата на точка и нейния вектор на скоростта: Теорема за промяната в импулса на системата - Разгледайте системата n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека напишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Количество на движение на система от материални точки - геометричната сума от количествата на движение на материални точки: По дефиниция на центъра на масата: Векторът на импулса на системата е равно на произведението на масата на цялата система и вектора на скоростта на центъра на масата на системата. Тогава: В проекции върху координатните оси: Производната по време на вектора на инерцията на системата е равна на главния вектор на външните сили на системата. Нека сумираме тези уравнения върху всички точки: От лявата страна на уравнението въвеждаме масите под знака на производната и заменяме сбора на производните с производната на сбора: От дефиницията на импулса на системата: В проекции върху координатните оси:

    21 слайд

    Теорема на Ойлер - Приложение на теоремата за промяната на импулса на система към движението на непрекъсната среда (вода). 1. Избираме като обект на движение обема вода, разположен в криволинейния канал на турбината: 2. Изхвърляме връзките и заменяме тяхното действие с реакции (Rpov - резултат от повърхностните сили) 3. Добавяме активни сили (Rb - резултатът на силите на тялото): 4. Запишете теоремата за промяната в импулса на системата: Количеството движение на водата в моменти t0 и t1 ще бъде представено като суми: Промяна в импулса на водата във времевия интервал : Промяна в импулса на водата за безкрайно малък интервал от време dt: , където F1 F2 Като вземем произведението на плътността, площта на напречното сечение и скоростта на секундна маса, получаваме: Замествайки диференциала на импулса на системата в теоремата за промяна , получаваме: Последици от теоремата за изменението на импулса на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал главният вектор на външните сили на системата е равен на нула, Re = 0, то движението на вектора на количеството е постоянно, Q = const е законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако във времевия интервал проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е равна на нула, Rxe = 0, то проекцията на импулса на системата върху оста x е постоянна, Qx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. Лекция 7 (продължение на 7.2) Пример: Граната с маса M, летяща със скорост v, се взриви на две части. Скоростта на един от фрагментите с маса m1 се увеличава в посока на движение до стойността v1. Определете скоростта на втория фрагмент. 1. Обектът на движение (граната): 2. Обектът е свободна система, няма връзки и техните реакции. 3. Добавете активни сили: 4. Запишете теоремата за промяната в импулса: Проектирайте върху оста: β Разделете променливите и интегрирайте: Десният интеграл е почти нула, т.к. време на експлозия t

    22 слайд

    Лекция 7 (продължение 7.3) 20 Ъгловият импулс на точка или кинетичният момент на движение спрямо определен център е мярка за механично движение, определена от вектор, равен на векторното произведение на радиус вектора на материална точка и вектор на нейния импулс: Кинетичният момент на система от материални точки спрямо определен център е геометричен сумата от моментите от броя на движенията на всички материални точки спрямо същия център: В проекции върху оста: В проекции върху оста: Теорема за промяната в момента на инерцията на системата - Разгледайте система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултантни Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Нека сумираме тези уравнения за всички точки: Нека заменим сбора на производните с производната на сбора: Изразът в скоби е моментът на импулса на системата. От тук: Умножаваме векторно всяко едно от равенствата по радиус-вектора вляво: Да видим дали е възможно да вземем знака на производната извън векторното произведение: Така получаваме: център. В проекции върху координатните оси: Производната на момента на инерцията на системата спрямо някаква ос във времето е равна на главния момент на външните сили на системата спрямо същата ос.

    23 слайд

    Лекция 8 21 ■ Последици от теоремата за изменението на ъгловия импулс на системата (закони за запазване): 1. Ако във времевия интервал векторът на главния момент на външните сили на системата спрямо определен център е равен до нула, MOe = 0, тогава векторът на ъгловия импулс на системата спрямо същия център е постоянен, KO = const е законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако във времевия интервал основният момент на външните сили на системата спрямо оста x е равен на нула, Mxe = 0, то ъгловият импулс на системата спрямо оста x е постоянен, Kx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. 2. Инерционен момент на твърдо тяло около ос: Моментът на инерция на материална точка около ос е равен на произведението на масата на точката и квадрата на разстоянието на точката до оста. Моментът на инерция на твърдо тяло около ос е равен на сумата от произведенията на масата на всяка точка и квадрата на разстоянието на тази точка от оста. ■ Елементи на теорията на инерционните моменти - При въртеливото движение на твърдо тяло мярката за инерция (съпротивление на промяна в движението) е моментът на инерция спрямо оста на въртене. Помислете за основните понятия на определението и методите за изчисляване на инерционните моменти. 1. Инерционен момент на материална точка около оста: При прехода от дискретна малка маса към безкрайно малка маса на точка, границата на такава сума се определя от интеграла: аксиален инерционен момент на твърдо тяло . В допълнение към аксиалния инерционен момент на твърдо тяло, има и други видове инерционни моменти: центробежният инерционен момент на твърдо тяло. полярен момент на инерция на твърдо тяло. 3. Теорема за инерционните моменти на твърдо тяло около успоредни оси - формулата за прехода към успоредни оси: Инерционен момент около базовата ос Статични инерционни моменти около референтните оси Маса на тялото Разстояние между осите z1 и z2 Така : моментите са нула:

    24 слайд

    Лекция 8 (продължение 8.2) 22 Инерционен момент на равномерен прът с постоянно сечение около оста: x z L Изберете елементарния обем dV = Adx на разстояние x: x dx Елементарна маса: За изчисляване на инерционния момент около централната ос (преминавайки през центъра на тежестта), достатъчно е да промените местоположението на оста и да зададете границите на интегриране (-L/2, L/2). Тук демонстрираме формулата за прехода към успоредни оси: zС 5. Инерционният момент на хомогенен твърд цилиндър около оста на симетрия: H dr r Нека отделим елементарния обем dV = 2πrdrH (тънък цилиндър с радиус r) : Елементарна маса: Тук използваме формулата за обем на цилиндъра V=πR2H. За да се изчисли инерционният момент на кух (дебел) цилиндър, е достатъчно да зададете границите на интегриране от R1 до R2 (R2> R1): 6. Инерционният момент на тънък цилиндър около оста на симетрия (t

    25 слайд

    Лекция 8 (продължение 8.3) 23 ■ Диференциално уравнение на въртене на твърдо тяло около ос: Нека напишем теорема за промяна на ъгловия импулс на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос: Инерцията на въртящо се твърдо тяло е: Моментът на външните сили около оста на въртене е равно на въртящия момент (реакциите и силата не създават гравитационни моменти): Заместваме кинетичния момент и въртящия момент в теоремата Пример: Двама души с еднакво тегло G1 = G2 висят на хвърлено въже върху твърд блок с тежест G3 = G1/4. В един момент един от тях започна да се изкачва по въжето с относителна скорост u. Определете скоростта на повдигане на всеки човек. 1. Изберете обекта на движение (блок с хора): 2. Изхвърлете връзките (поддържащото устройство на блока): 3. Сменете връзката с реакции (лагер): 4. Добавете активни сили (гравитация): 5. Запишете теоремата за промяна на кинетичния момент на системата по отношение на оста на въртене на блока: R Тъй като моментът на външните сили е равен на нула, кинетичният момент трябва да остане постоянен: В началния момент на времето t = 0, има е равновесен и Kz0 = 0. След началото на движението на един човек спрямо въжето цялата система започва да се движи, но кинетичният момент на системата трябва да остане равен на нула: Kz = 0. Ъгловият момент на система е сумата от ъгловите импулси на хората и блока: Тук v2 е скоростта на второто лице, равна на скоростта на кабела, Пример: Определете периода на малки свободни трептения на хомогенен прът с маса M и дължина l, окачена от единия край към фиксирана ос на въртене. Или: В случай на малки трептения sinφ φ: Период на трептене: Инерционен момент на лоста:

    26 слайд

    Лекция 8 (продължение 8.4 – допълнителен материал) 24 ■ Елементарна теория на жироскопа: Жироскопът е твърдо тяло, въртящо се около оста на материалната симетрия, една от точките на която е фиксирана. Свободният жироскоп е фиксиран по такъв начин, че неговият център на маса остава неподвижен, а оста на въртене минава през центъра на масата и може да заеме произволно положение в пространството, т.е. оста на въртене променя позицията си като оста на собственото въртене на тялото по време на сферично движение. Основното предположение на приблизителната (елементарна) теория на жироскопа е, че векторът на импулса (кинетичният момент) на ротора се счита за насочен по собствената му ос на въртене. По този начин, въпреки факта, че в общия случай роторът участва в три завъртания, се взема предвид само ъгловата скорост на собственото му въртене ω = dφ/dt. Основата за това е, че в модерна технологияроторът на жироскопа се върти с ъглова скорост от порядъка на 5000-8000 rad/s (около 50000-80000 rpm), докато другите две ъглови скорости, свързани с прецесията и нутацията на собствената му ос на въртене, са десетки хиляди пъти по-малко от тази скорост. Основното свойство на свободния жироскоп е, че оста на ротора запазва същата посока в пространството по отношение на инерционната (звездна) референтна система (демонстрирана от махалото на Фуко, което поддържа равнината на люлеене непроменена по отношение на звездите, 1852 г.). Това следва от закона за запазване на кинетичния момент спрямо центъра на масата на ротора, при условие че се пренебрегва триенето в лагерите на осите на окачването на ротора, външната и вътрешната рамка: Силово действие върху оста на свободен жироскоп. В случай на сила, приложена към оста на ротора, моментът на външните сили спрямо центъра на масата не е равен на нула: ω ω С сила, а спрямо вектора на момента на тази сила, т.е. ще се върти не около оста x (вътрешно окачване), а около оста y (външно окачване). При прекратяване на силата оста на ротора ще остане в същото положение, съответстващо на последното време на силата, т.к. от този момент моментът на външните сили отново става равен на нула. В случай на краткотрайно действие на сила (удар) оста на жироскопа практически не променя позицията си. По този начин бързото въртене на ротора дава на жироскопа способността да противодейства на случайни влияния, които се стремят да променят позицията на оста на въртене на ротора, и с постоянно действие на силата той поддържа позицията на равнината, перпендикулярна на действащата сила, в която лежи оста на ротора. Тези свойства се използват при работата на инерционните навигационни системи.


    Подобни статии

    Виктор Голявкин невероятни деца За кого е изненадващо, че Виктор Голявкин чете

    Виктор Голявкин невероятни деца За кого е изненадващо, че Виктор Голявкин чете

    Константин Кузнецов Константин Кузнецов художник

    Константин Кузнецов Константин Кузнецов художник

    Арменски народни приказки Приказки на народите по света Руски арменски италиански индийски

    Арменски народни приказки Приказки на народите по света Руски арменски италиански индийски

    ×
    близо