Ma'ruza №2

matematika

Mavzu: "Matematik tushunchalar"

Matematik tushunchalar

Tushunchalarning ta’rifi

Tushunchalarni aniqlashga qo'yiladigan talablar

Ta'riflarning ayrim turlari

1. Matematik tushunchalar

Matematikaning boshlang’ich kursida o’rganiladigan tushunchalar odatda to’rtta guruh shaklida taqdim etiladi. Birinchisiga raqamlar va ular ustida amallar bilan bog'liq tushunchalar: son, qo'shish, had, ko'proq va boshqalar kiradi.Ikkinchiga algebraik tushunchalar: ifoda, tenglik, tenglama va boshqalar kiradi.Uchinchisiga geometrik tushunchalar: to'g'ri chiziq, segment, uchburchak va boshqalar kiradi. d. To'rtinchi guruh miqdorlar va ularni o'lchash bilan bog'liq tushunchalar orqali shakllanadi.

Turli xil tushunchalarning bunday ko'pligini qanday o'rganish mumkin?

Avvalo, mantiqiy kategoriya sifatida tushuncha va matematik tushunchalarning xususiyatlari haqida tasavvurga ega bo'lish kerak.

Mantiqda tushunchalar ob'ektlarni (ob'ektlar yoki hodisalarni) muhim va umumiy xususiyatlarida aks ettiruvchi fikrlash shakli sifatida qaraladi. Tushunchaning lingvistik shakli so‘z yoki so‘z turkumidir.

Ob'ekt haqida tushuncha hosil qilish, uni unga o'xshash boshqa ob'ektlardan ajrata bilish demakdir. Matematik tushunchalar bir qator xususiyatlarga ega. Asosiysi, kontseptsiyani shakllantirish zarur bo'lgan matematik ob'ektlar haqiqatda mavjud emas. Matematik ob'ektlar inson ongi tomonidan yaratilgan. Bu ideal ob'ektlar real ob'ektlar yoki hodisalarni aks ettiradi. Masalan, geometriyada jismlarning shakli va o'lchamlari ularning boshqa xususiyatlarini: rangi, massasi, qattiqligi va boshqalarni hisobga olmasdan o'rganiladi. Bularning barchasidan ular chalg'itadi, mavhumlashadi. Shuning uchun, geometriyada "ob'ekt" so'zi o'rniga ular " geometrik shakl».

Abstraksiya natijasi “son” va “qiymat” kabi matematik tushunchalar hamdir.

Umuman olganda, matematik ob'ektlar faqat inson tafakkurida va matematik tilni tashkil etuvchi belgi va belgilarda mavjud.

Aytilganlarga shuni qo'shimcha qilish mumkinki, moddiy olamning fazoviy shakllari va miqdoriy munosabatlarini o'rganishda matematika nafaqat abstraksiyaning turli usullarini qo'llaydi, balki abstraksiyaning o'zi ko'p bosqichli jarayon sifatida ishlaydi. Matematikada nafaqat real ob'ektlarni o'rganishda paydo bo'lgan tushunchalar, balki birinchisi asosida paydo bo'lgan tushunchalar ham ko'rib chiqiladi. Masalan, umumiy tushuncha muvofiqlik sifatida funktsiyalar - muayyan funktsiyalar tushunchalarini umumlashtirish, ya'ni. abstraksiyalardan abstraktsiya.

Matematikaning boshlang’ich kursida tushunchalarni o’rganishga umumiy yondashuvlarni o’zlashtirish uchun o’qituvchiga tushunchaning ko’lami va mazmuni, tushunchalar o’rtasidagi bog’liqlik va tushunchalarga ta’rif berish turlari haqida bilim kerak.

2. Tushunchaning qamrovi va mazmuni. Tushunchalar o'rtasidagi munosabatlar

Har bir matematik ob'ekt ma'lum xususiyatlarga ega. Masalan, kvadratning to'rt tomoni bor, to'rtta to'g'ri burchak diagonaliga teng. Siz boshqa xususiyatlarni ham belgilashingiz mumkin.

Ob'ektning xususiyatlari orasida muhim va muhim bo'lmaganlar ajratiladi. Xususiyat ob'ekt uchun muhim hisoblanadi, agar u ushbu ob'ektga xos bo'lsa va usiz mavjud bo'lolmaydi. Masalan, kvadrat uchun yuqorida aytib o'tilgan barcha xususiyatlar muhim ahamiyatga ega. ABCD kvadrati uchun "AD tomoni gorizontal" xususiyati muhim emas. Agar kvadrat aylantirilsa, u holda AD tomoni boshqacha joylashadi (26-rasm).

Shuning uchun, berilgan matematik ob'ekt nima ekanligini tushunish uchun uning muhim xususiyatlarini bilish kerak.

Matematik tushuncha haqida gapirganda, ular odatda bitta atama (so'z yoki so'zlar guruhi) bilan belgilangan ob'ektlar to'plamini anglatadi. Shunday qilib, kvadrat haqida gapirganda, ular kvadrat bo'lgan barcha geometrik shakllarni anglatadi. Barcha kvadratlar to'plami "kvadrat" tushunchasining doirasi ekanligiga ishoniladi.

Umuman tushuncha doirasi - bitta atama bilan belgilangan barcha ob'ektlar to'plami.

Har qanday tushuncha nafaqat qamrovga, balki mazmunga ham ega.

Masalan, "to'rtburchak" tushunchasini ko'rib chiqing.

Kontseptsiya doirasi turli xil to'rtburchaklar to'plami bo'lib, uning mazmuni to'rtburchaklarning "to'rtta to'g'ri burchakka ega", "qarama-qarshi tomonlari teng", "teng diagonallarga ega" va boshqalarni o'z ichiga oladi.

Tushunchaning hajmi bilan uning mazmuni o‘rtasida bog‘liqlik mavjud: agar tushunchaning hajmi oshsa, mazmuni kamayadi va aksincha. Demak, masalan, “kvadrat” tushunchasining qamrovi “to‘rtburchak” tushunchasi doirasiga kiradi va “kvadrat” tushunchasining mazmuni “to‘rtburchak” tushunchasi mazmuniga qaraganda ko‘proq xususiyatlarni o‘z ichiga oladi. ("barcha tomonlar teng", "diagonallar o'zaro perpendikulyar" va boshqalar). ).

Har qanday kontseptsiyani boshqa tushunchalar bilan aloqasini anglamay turib o'zlashtirib bo'lmaydi. Shuning uchun tushunchalar qanday munosabatlarda bo'lishi mumkinligini bilish va bu aloqalarni o'rnata olish muhimdir.

Tushunchalar o'rtasidagi munosabatlar ularning hajmlari o'rtasidagi munosabatlar bilan chambarchas bog'liq, ya'ni. to'plamlar.

Keling, tushunchalarni lotin alifbosining kichik harflari bilan belgilashga rozi bo'laylik: a, b, c, ..., z.

Ikkita a va b tushunchalari berilsin. Ularning hajmlarini mos ravishda A va B deb belgilaymiz.

Agar A B (A ≠ B), keyin ular kontseptsiyani aytishadi a - kontseptsiyaga nisbatan o'ziga xosb, va kontseptsiya b- kontseptsiyaga nisbatan umumiylik a.

Misol uchun, agar a "to'rtburchak", b "to'rtburchak" bo'lsa, ularning A va B hajmlari inklyuziyaga (A) nisbatan bo'ladi. B va A ≠ B), chunki har bir to'rtburchak to'rtburchakdir. Shunday ekan, “to‘rtburchak” tushunchasi “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan o‘ziga xos, “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan esa “to‘rtburchak” tushunchasi umumiy ekanligi haqida bahslashish mumkin.

Agar A = B bo'lsa, biz buni aytamiz tushunchalar a vabbir xildir.

Masalan, “teng yonli uchburchak” va “teng burchakli uchburchak” tushunchalari bir xil, chunki ularning hajmlari bir xil.

Agar A va B to'plamlar inklyuziya munosabati bilan bog'lanmagan bo'lsa, u holda ular a va b tushunchalari jins va turga nisbatan emas va bir xil emasligini aytadilar. Masalan, "uchburchak" va "to'rtburchak" tushunchalari bunday munosabatlar bilan bog'lanmaydi.

Keling, jins va turlarning tushunchalar o'rtasidagi munosabatini batafsil ko'rib chiqaylik. Birinchidan, jins va tur tushunchalari nisbiydir: bir tushuncha bir tushunchaga nisbatan umumiy, ikkinchisiga nisbatan tur bo‘lishi mumkin. Masalan, “to‘rtburchak” tushunchasi “kvadrat” tushunchasiga nisbatan umumiy, “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan esa o‘ziga xosdir.

Ikkinchidan, uchun bu tushuncha ko'pincha bir nechta umumiy tushunchalarni ko'rsatish mumkin. Demak, "to'rtburchak" tushunchasi uchun "to'rtburchak", "paralelogramma", "ko'pburchak" tushunchalari umumiydir. Ular orasida siz eng yaqinini belgilashingiz mumkin. "To'rtburchak" tushunchasi uchun eng yaqin "paralelogramma" tushunchasi.

Uchinchidan, xususiy tushuncha umumiy tushunchaning barcha xususiyatlariga ega. Masalan, kvadrat "to'rtburchak" tushunchasiga nisbatan tur tushunchasi bo'lib, to'rtburchakga xos bo'lgan barcha xususiyatlarga ega.

Tushunchaning doirasi to'plam bo'lganligi sababli, tushunchalar doiralari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatishda ularni Eyler doiralari yordamida tasvirlash qulaydir.

Masalan, quyidagi a va b tushunchalar juftligi o'rtasidagi munosabatni aniqlaymiz, agar:

1) a - "to'rtburchak", b - "romb";

2) a - "ko'pburchak", b - "paralelogramma";

3) a - "to'g'ri chiziq", b - "segment".

1-holatda) tushunchalar hajmlari kesishadi, lekin bir to‘plam boshqasining kichik to‘plami emas (27-rasm).

Demak, bu a va b tushunchalar turkum va turga aloqador emas, deb bahslashish mumkin.

2-holatda), bu tushunchalarning hajmlari inklyuziya bilan bog'liq, lekin bir-biriga mos kelmaydi - har bir parallelogram ko'pburchakdir, lekin aksincha emas (28-rasm). Demak, “parallelogramma” tushunchasi “ko‘pburchak” tushunchasiga nisbatan o‘ziga xos, “ko‘pburchak” tushunchasi esa “paralelogramma” tushunchasiga nisbatan umumiydir, degan fikrni aytish mumkin.

3-holatda) tushunchalar hajmlari kesishmaydi, chunki hech qanday segmentni to'g'ri chiziq deb bo'lmaydi va hech qanday to'g'ri chiziqni segment deb atash mumkin emas (29-rasm).

Shuning uchun bu tushunchalar jins va turlarga aloqador emas.

«To`g`ri chiziq» va «segment» tushunchalari haqida aytish mumkinki, ular butun va qismga nisbatan: Segment chiziqning bir turi emas, balki uning qismidir. Va agar o'ziga xos tushuncha umumiy tushunchaning barcha xususiyatlariga ega bo'lsa, u holda qism butunning barcha xususiyatlariga ega bo'lishi shart emas. Masalan, segmentning cheksizligi kabi to'g'ri chiziq xossasi yo'q.

Kichik yoshdagi o'quvchining elementar matematik tushunchalarini shakllantirish

E.Yu. Togobetskaya, “Pedagogika va o‘qitish metodikasi” kafedrasi magistranti

Tolyatti pedagogika universiteti, Togliatti (Rossiya)

Kalit so‘zlar: matematik tushunchalar, mutlaq tushunchalar, nisbiy tushunchalar, ta'riflar.

Izoh: Maktab amaliyotida ko'pgina o'qituvchilar o'quvchilarni tushunchalarning ta'riflarini yodlashga majbur qiladilar va ularning asosiy xususiyatlarini isbotlash uchun bilimlarni talab qiladilar. Biroq, bunday treningning natijalari odatda ahamiyatsiz. Buning sababi shundaki, ko'pchilik o'quvchilar maktabda o'rganilgan tushunchalarni qo'llashda ahamiyatsiz belgilarga tayanadilar, o'quvchilar esa tushunchalarning muhim belgilarini faqat tushunchaning ta'rifini talab qiladigan savollarga javob berishda anglaydilar va takrorlaydilar. Ko'pincha o'quvchilar tushunchalarni to'g'ri takrorlaydilar, ya'ni ular uning muhim xususiyatlari haqidagi bilimlarni kashf etadilar, lekin ular bu bilimlarni amalda qo'llay olmaydilar, ular bevosita tajriba orqali aniqlangan tasodifiy xususiyatlarga tayanadilar. Tushunchalarni o'zlashtirish jarayonini boshqarish mumkin, ular berilgan sifatlar bilan shakllanishi mumkin.

kalit so'zlar: matematik tushunchalar, mutlaq tushunchalar, nisbiy tushunchalar, ta'riflar.

Annotatsiya: Maktab amaliyotida ko'plab o'qituvchilar o'quvchilardan tushunchalarning ta'riflarini va ularning asosiy isbotlangan xususiyatlarini bilish talablarini o'rganishga erishadilar. Biroq, bunday treningning natijalari odatda ahamiyatsiz. Buning sababi shundaki, ko'pchilik o'quvchilar maktabda o'zlashtirilgan tushunchalarni qo'llagan holda, o'quvchilar ahamiyatsiz belgilarga suyanishadi, tushunchalarning muhim belgilarini faqat tushunchani aniqlashni talab qiladigan savollarga javob berishda anglaydilar va takrorlaydilar. Ko'pincha o'quvchilar tushunchalarni aniq takrorlaydilar, ya'ni uning asosiy belgilari to'g'risidagi bilimlarni aniqlaydilar, lekin bu bilimlarni amalda qo'llay olmaydilar, birinchi qo'l tajribasi tufayli ajratilgan tasodifiy belgilarga suyanmaydilar. Tushunchalarni o'zlashtirish jarayonini boshqarish, ularni belgilangan sifatlar bilan shakllantirish mumkin.

Assimilyatsiya qilinganda ilmiy bilim Boshlang'ich maktab o'quvchilari turli xil tushunchalarga duch kelishadi. Talabaning tushunchalarni farqlay olmasligi ularning etarli darajada o'zlashtirilmasligiga olib keladi.

Tushunchalardagi mantiq hajm va mazmunni ajratib turadi. Hajm deganda ushbu tushunchaga tegishli bo'lgan, u bilan birlashtirilgan ob'ektlar sinfi tushuniladi. Shunday qilib, uchburchak tushunchasining doirasi o'ziga xos xususiyatlaridan (burchak turlari, tomonlarning o'lchami va boshqalar) qat'i nazar, uchburchaklarning butun to'plamini o'z ichiga oladi.

Tushunchalarning mazmuni deganda bu ob'ektlar yagona sinfga birlashtirilgan muhim xususiyatlar tizimi tushuniladi. Tushunchaning mazmunini ochib berish uchun uning boshqa ob'ektlar bilan aloqasini ta'kidlash uchun qanday belgilar zarur va etarli ekanligini taqqoslash orqali aniqlash kerak. Modomiki mazmuni va xususiyatlari belgilanmagan ekan, bu tushuncha aks ettiruvchi ob'ektning mohiyati aniq bo'lmaydi, bu ob'ektni yonidagilardan aniq va aniq chegaralab bo'lmaydi, fikrlashda chalkashlik yuzaga keladi.

Misol uchun, uchburchak tushunchasi, bunday xususiyatlar quyidagilarni o'z ichiga oladi: yopiq shakl, uchta chiziq segmentidan iborat. Ob'ektlarni yagona sinfga birlashtiradigan xususiyatlar to'plami zarur va etarli xususiyatlar deb ataladi. Ba'zi tushunchalarda bu xususiyatlar bir-birini to'ldiradi, tarkibni birgalikda tashkil qiladi, unga ko'ra ob'ektlar yagona sinfga birlashtiriladi. Bunday tushunchalarga misol sifatida uchburchak, burchak, bissektrisa va boshqalarni keltirish mumkin.

Ushbu kontseptsiya qo'llaniladigan ushbu ob'ektlar to'plami ob'ektlarning mantiqiy sinfini tashkil qiladi. Ob'ektlarning mantiqiy sinfi - umumiy xususiyatlarga ega bo'lgan ob'ektlar yig'indisi, buning natijasida ular umumiy tushuncha bilan ifodalanadi. Ob'ektlarning mantiqiy sinfi va unga mos keladigan tushuncha doirasi bir xil bo'ladi.Tushunchalar mazmuni va ko'lamiga ko'ra, qo'llaniladigan ob'ektlarning xarakteri va soniga qarab turlarga bo'linadi. Hajmi bo'yicha matematik tushunchalar birlik va umumiyga bo'linadi. Agar tushuncha doirasi faqat bitta ob'ektni o'z ichiga olsa, u birlik deyiladi.

Yagona tushunchalarga misollar: "eng kichik ikki xonali son", "5-raqam", "yon uzunligi 10 sm bo'lgan kvadrat", "radiusi 5 sm bo'lgan doira". Umumiy tushuncha ob'ektlarning ma'lum bir to'plamining xususiyatlarini aks ettiradi. Bunday tushunchalarning hajmi har doim bir elementning hajmidan katta bo'ladi. Umumiy tushunchalarga misollar: “ikki xonali sonlar to`plami”, “uchburchaklar”, “tenglamalar”, “tengsizliklar”, “5 ga karrali sonlar”, “boshlang`ich sinf matematika darsliklari”. Mazmuniga ko'ra konyunktiv va ayirma, mutlaq va konkret, nisbiy va nisbiy tushunchalar farqlanadi.

Tushunchalar konyunktiv deyiladi, agar ularning xususiyatlari bir-biriga bog'langan bo'lsa va ularning hech biri alohida-alohida ushbu sinf ob'ektlarini aniqlashga imkon bermasa, xususiyatlar "va" birlashmasi bilan bog'langan. Masalan, uchburchak tushunchasi bilan bog'liq ob'ektlar, albatta, uchta chiziq segmentidan iborat bo'lishi va yopiq bo'lishi kerak.

Boshqa tushunchalarda zaruriy va yetarli belgilar o‘rtasidagi munosabat har xil: ular bir-birini to‘ldirmaydi, balki o‘rnini bosadi. Bu shuni anglatadiki, bir xususiyat ikkinchisiga teng. Belgilar o'rtasidagi bunday munosabatlarga misol segmentlar, burchaklar tengligi belgilari bo'lib xizmat qilishi mumkin. Ma'lumki, teng segmentlar sinfiga shunday segmentlar kiradiki: a) yoki ustiga qo'yilganda mos tushadi; b) yoki alohida uchinchisiga teng; v) yoki teng qismlardan iborat va hokazo.

Bunda sanab o'tilgan xususiyatlar bir vaqtning o'zida hammasi kerak emas, kon'yunktiv turdagi tushunchalar kabi; bu erda sanab o'tilgan barcha xususiyatlardan biriga ega bo'lish kifoya: ularning har biri boshqalarning har qandayiga teng. Shu sababli, belgilar "yoki" birlashmasi bilan bog'langan. Atributlarning bunday bog'lanishi dis'yunksiya, tushunchalar esa mos ravishda dis'yunktiv deyiladi. Tushunchalarning mutlaq va nisbiy bo‘linishini ham hisobga olish zarur.

Mutlaq tushunchalar ob'ektlarni ushbu ob'ektlarning mohiyatini tavsiflovchi ma'lum belgilarga ko'ra sinflarga birlashtiradi. Shunday qilib, burchak tushunchasi har qanday burchakning mohiyatini tavsiflovchi xususiyatlarni aks ettiradi. Vaziyat boshqa ko'plab geometrik tushunchalar bilan o'xshash: doira, nur, romb va boshqalar.

Nisbiy tushunchalar ob'ektlarni boshqa ob'ektlar bilan munosabatlarini tavsiflovchi xususiyatlariga ko'ra sinflarga birlashtiradi. Shunday qilib, perpendikulyar chiziqlar kontseptsiyasida ikkita chiziqning bir-biriga munosabatini tavsiflovchi narsa qat'iydir: kesishish, bir vaqtning o'zida shakllanish. to'g'ri burchak. Xuddi shunday, raqam tushunchasi o'lchangan qiymat va qabul qilingan standartning nisbatini aks ettiradi. Nisbiy tushunchalar o‘quvchilarga mutlaq tushunchalarga qaraganda jiddiyroq qiyinchiliklar tug‘diradi. Qiyinchiliklarning mohiyati shundan iboratki, maktab o'quvchilari tushunchalarning nisbiyligini hisobga olmaydilar va ular bilan mutlaq tushunchalar kabi ishlaydilar. Shunday qilib, o'qituvchi o'quvchilarga perpendikulyar chizishni so'rasa, ularning ba'zilari vertikal chizadi. Raqam tushunchasiga alohida e'tibor qaratish lozim.

Raqam - bu baholash uchun ishlatiladigan standartga (uzunlik, og'irlik, hajm va boshqalar) nisbati. Shubhasiz, raqam ham o'lchangan qiymatga, ham standartga bog'liq. O'lchangan qiymat qanchalik katta bo'lsa, raqam bir xil standartga ega bo'ladi. Aksincha, standart (o'lchov) qanchalik katta bo'lsa, bir xil qiymatni baholashda raqam shunchalik kichik bo'ladi. Shu sababli, talabalar boshidanoq raqamlarni kattalikdagi taqqoslash faqat bir xil standart bilan ta'minlanganda amalga oshirilishi mumkinligini tushunishlari kerak. Darhaqiqat, agar, masalan, santimetrda uzunlikni o'lchashda beshta, metrda o'lchashda esa uchta olinsa, uchtasi beshdan kattaroq qiymatni bildiradi. Agar o'quvchilar sonning nisbiy mohiyatini o'rganmasalar, u holda ular sanoq tizimini o'rganishda jiddiy qiyinchiliklarga duch kelishadi. Nisbiy tushunchalarni o'zlashtirishdagi qiyinchiliklar maktabning o'rta va hatto yuqori sinflarida o'quvchilar orasida saqlanib qoladi. Tushunchaning mazmuni va ko‘lami o‘rtasida bog‘liqlik mavjud: tushunchaning ko‘lami qanchalik kichik bo‘lsa, mazmuni shunchalik katta bo‘ladi.

Misol uchun, "kvadrat" tushunchasi "to'rtburchak" tushunchasining doirasiga qaraganda kichikroq doiraga ega, chunki har qanday kvadrat to'rtburchakdir, lekin har bir to'rtburchak ham kvadrat emas. Shuning uchun "kvadrat" tushunchasi "to'rtburchak" tushunchasidan ko'ra kattaroq mazmunga ega: kvadrat to'rtburchakning barcha xususiyatlariga va ba'zi boshqa xususiyatlarga ega (kvadrat uchun barcha tomonlar teng, diagonallari o'zaro perpendikulyar).

Tafakkur jarayonida har bir tushuncha alohida-alohida mavjud emas, balki boshqa tushunchalar bilan muayyan aloqa va munosabatlarga kiradi. Matematikada bog'lanishning muhim shakli umumiy bog'liqlikdir.

Masalan, "kvadrat" va "to'rtburchak" tushunchalarini ko'rib chiqing. “Kvadrat” tushunchasining doirasi “to‘rtburchak” tushunchasi doirasiga kiradi. Shuning uchun birinchisi turlar, ikkinchisi esa umumiy deyiladi. Jins-tur munosabatlarida eng yaqin tur tushunchasi va keyingi umumiy bosqichlarni farqlash kerak.

Masalan, "kvadrat" ko'rinishi uchun eng yaqin tur "to'rtburchak" jinsi bo'ladi, to'rtburchak uchun eng yaqin tur "paralelogramma", "parallelogramma" uchun - "to'rtburchak", "to'rtburchak" uchun - eng yaqin jins bo'ladi. "ko'pburchak" va "ko'pburchak" uchun - "tekis shakl.

IN boshlang'ich maktab birinchi marta har bir tushuncha vizual tarzda, aniq ob'ektlarni kuzatish yoki amaliy operatsiya (masalan, ularni sanashda) orqali kiritiladi. O'qituvchi bolalarning olgan bilim va tajribasiga tayanadi maktab yoshi. Matematik tushunchalar bilan tanishish atama yoki atama va belgi yordamida belgilanadi. Matematik tushunchalar ustida ishlashning bu usuli boshlang'ich maktab Bu kursda turli xil ta'riflar ishlatilmaydi degani emas.

Kontseptsiyani aniqlash - bu kontseptsiyaga kiritilgan ob'ektlarning barcha muhim belgilarini sanab o'tishdir. Tushunchaning og'zaki ta'rifi atama deb ataladi. Masalan, “son”, “uchburchak”, “aylana”, “tenglama” atamalardir.

Ta'rif ikkita muammoni hal qiladi: u ma'lum bir kontseptsiyani boshqalardan ajratib turadi va ajratib turadi va ularsiz kontseptsiya mavjud bo'lmaydigan va boshqa barcha xususiyatlar bog'liq bo'lgan asosiy xususiyatlarni ko'rsatadi.

Ta'rif ko'proq yoki kamroq chuqur bo'lishi mumkin. Bu nazarda tutilgan tushuncha haqidagi bilim darajasiga bog'liq. Biz buni qanchalik yaxshi bilsak, unga yaxshiroq ta'rif berish imkoniyati shunchalik yuqori bo'ladi. O'qitish amaliyotida kichik maktab o'quvchilari aniq va yashirin ta'riflar qo'llaniladi. Aniq ta'riflar ikki tushunchaning tengligi yoki mos kelishi shaklida bo'ladi.

Masalan: “Propedevtika har qanday fanga kirishdir”. Bu erda ikkita tushuncha bittaga tenglashtiriladi - "propedevtika" va "har qanday fanga kirish". "Kvadrat - bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchaklar" ta'rifida biz tushunchalarning tasodifiga egamiz. Kichik yoshdagi o'quvchilarni o'rgatishda kontekstual va osttensiv ta'riflar yashirin ta'riflar orasida alohida qiziqish uyg'otadi.

Matndan olingan har qanday parcha, qanday kontekstda, bizni qiziqtiradigan tushuncha sodir bo'lishidan qat'i nazar, qaysidir ma'noda uning yashirin ta'rifidir. Kontekst tushunchani boshqa tushunchalar bilan bog‘laydi va shu orqali uning mazmunini ochib beradi.

Masalan, bolalar bilan ishlashda "ifoda qiymatlarini toping", "5 + a va (a - 3) 2 iboralar qiymatini solishtiring, agar a = 7 bo'lsa", "yig'indi bo'lgan iboralarni o'qing" kabi iboralar. ”, “ifodalarni o'qing, so'ngra tenglamalarni o'qing”, biz raqamlar yoki o'zgaruvchilar va harakatlar belgilaridan iborat yozuv sifatida "matematik ifoda" tushunchasini ochib beramiz. Biz uchrashadigan deyarli barcha ta'riflar Kundalik hayot kontekstli ta’riflardir. Noma'lum so'zni eshitib, biz aytilganlarning barchasi asosida uning ma'nosini aniqlashga harakat qilamiz. Yosh o'quvchilarni o'qitishda ham xuddi shunday. Boshlang'ich maktabda ko'plab matematik tushunchalar kontekst orqali aniqlanadi. Bular, masalan, "katta - kichik", "har qanday", "har qanday", "bir", "ko'p", "son", "arifmetik amal", "tenglama", "topshiriq" va boshqalar kabi tushunchalar.

Kontekstli ta'riflar saqlanib qolmoqda ko'p qismi uchun to'liqsiz va to'liqsiz. Ular kichik talabaning to'liq va, eng muhimi, ilmiy ta'rifni o'zlashtirishga tayyor emasligi bilan bog'liq holda qo'llaniladi.

Ostensiv ta'riflar ko'rgazmali ta'riflardir. Ular oddiy kontekstual ta'riflarga o'xshaydi, lekin bu erda kontekst ba'zi matnning bir qismi emas, balki kontseptsiya bilan belgilangan ob'ektning o'zini topadigan vaziyatidir. Misol uchun, o'qituvchi kvadratni (chizilgan yoki qog'oz modeli) ko'rsatadi va "Qarang - bu kvadrat" deydi. Bu odatiy ostensiv ta'rifdir.

Boshlang‘ich sinflarda “qizil (oq, qora va h.k.) rang”, “chapdan – o‘ngga”, “chapdan o‘ngga”, “raqam”, “oldingi va keyingi son” kabi tushunchalarni ko‘rib chiqishda ostensiv ta’riflar qo‘llaniladi. belgilar arifmetik amallar, "taqqoslash belgilari", "uchburchak", "to'rtburchak", "kub" va boshqalar.

So'zlarning ma'nolarini osttensiv tarzda o'zlashtirishga asoslanib, bolaning lug'atiga yangi so'zlar va iboralarning allaqachon og'zaki ma'nosini kiritish mumkin. Ostensiv ta'riflar - va faqat ular - so'zni narsalar bilan bog'laydi. Ularsiz til shunchaki ob'ektiv, mazmunli mazmunga ega bo'lmagan og'zaki danteldir. E'tibor bering, boshlang'ich sinflarda qabul qilinishi mumkin bo'lgan ta'riflar "beshburchak" so'zini biz besh tomoni bo'lgan ko'pburchak deb ataymiz". Bu "nominal ta'rif" deb ataladi. Matematikada turli xil aniq ta'riflar qo'llaniladi. Ulardan eng keng tarqalgani eng yaqin tur va tur xarakteri orqali ta'rifdir. Umumiy ta'rif klassik deb ham ataladi.

Tur va o'ziga xos xususiyat orqali ta'riflarga misollar: "Parallelogramma - qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchak", "Romb - tomonlari teng bo'lgan parallelogramm", "To'rtburchak - burchaklari to'g'ri bo'lgan parallelogramm", "A. kvadrat - tomonlari teng bo'lgan to'rtburchaklar, "Kvadrat - to'g'ri burchakli romb".

Kvadratning ta'riflarini ko'rib chiqing. Birinchi ta'rifda eng yaqin tur "to'rtburchak" bo'ladi va tur xususiyati "barcha tomonlar teng" bo'ladi. Ikkinchi ta'rifda eng yaqin jins "rombus", o'ziga xos xususiyat esa "to'g'ri burchaklar" dir. Agar biz eng yaqin jinsni ("paralelogramma") olmasak, unda kvadratning ikkita o'ziga xos belgisi bo'ladi "Parallelogramma barcha tomonlari teng va barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan kvadrat deyiladi."

Umumiy munosabatda “qoʻshish (ayirish, koʻpaytirish, boʻlish)” va “arifmetik amal” tushunchalari, “oʻtkir (toʻgʻri, doʻlma) burchak” va “burchak” tushunchalari mavjud. Boshlang'ich sinflarda ko'rib chiqiladigan ko'plab matematik tushunchalar orasida aniq umumiy munosabatlarga misollar unchalik ko'p emas. Ammo keyingi ta'limda jins va tur belgilari orqali aniqlashning ahamiyatini hisobga olgan holda, boshlang'ich sinflarda o'quvchilarning ushbu turning ta'rifining mohiyatini tushunishlariga erishish maqsadga muvofiqdir.

Alohida ta'riflar kontseptsiya va uning shakllanishi yoki paydo bo'lish usulini ko'rib chiqishi mumkin. Ushbu turdagi ta'rif genetik deb ataladi. Genetik ta'riflarga misollar: "Burchak - bu bir nuqtadan chiqadigan nurlar", "To'rtburchakning diagonali - to'rtburchakning qarama-qarshi uchlarini bog'laydigan segment". Boshlang'ich sinflarda "segment", "siniq chiziq", "to'g'ri burchak", "aylana" kabi tushunchalar uchun genetik ta'riflar qo'llaniladi. Ro'yxat orqali ta'rif genetik tushunchalarga ham tegishli bo'lishi mumkin.

Masalan, “Sonlarning natural qatori 1, 2, 3, 4 va hokazo sonlardir”. Boshlang’ich sinflarda ba’zi tushunchalar atama orqaligina kiritiladi. Masalan, vaqt birliklari yil, oy, soat, daqiqa. Boshlang'ich sinflarda tenglik ko'rinishida ramziy tilda berilgan tushunchalar mavjud, masalan, a 1 = a va 0 = 0.

Yuqoridagilardan xulosa qilishimiz mumkinki, boshlang’ich sinflarda ko’pgina matematik tushunchalar dastlab yuzaki, noaniq tarzda o’zlashtiriladi. Birinchi tanishuvda maktab o'quvchilari tushunchalarning faqat ba'zi xususiyatlari haqida bilib olishadi, ular o'zlarining qamrovi haqida juda tor tasavvurga ega. Va bu tabiiy. Hamma tushunchalarni tushunish oson emas. Lekin o`qituvchining matematik tushunchalarning ayrim turdagi ta`riflarini tushunib, o`z vaqtida qo`llashi o`quvchilarda bu tushunchalar haqida mustahkam bilimlarni shakllantirish shartlaridan biri ekanligi shubhasizdir.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. Bogdanovich M.V. Matematik tushunchalarning ta'rifi // Boshlang'ich maktab 2001. - 4-son.

2. Gluzman N. A. Kichik maktab o'quvchilarida aqliy faoliyatning umumlashtirilgan usullarini shakllantirish. - Yalta: KSGI, 2001. - 34 p.

3. Drozd V.L. Shahar M.A. Kichik muammolardan tortib katta kashfiyotlargacha. //Boshlang'ich maktab. - 2000. - 5-son.

Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi

"Gomel Davlat universiteti ular. F. Skaryna"

Matematika fakulteti

MPM bo'limi

Insho

Matematik tushunchalar

Ijrochi:

M-32 guruh talabasi

Molodtsova A.Yu.

Ilmiy maslahatchi:

Cand. fizika va matematika fanlari, dotsent

Lebedeva M.T.

Gomel 2007 yil

Kirish

Ko'pgina ta'riflarning (teorema, aksioma) formulalari o'quvchilar uchun tushunarli, oz sonli takrorlashlardan keyin eslab qolish oson, shuning uchun avval ularni yodlashni taklif qilish, keyin esa ularni masalalar yechishda qo'llashni o'rgatish tavsiya etiladi.

alohida.

1. Tushunchaning qamrovi va mazmuni. Kontseptsiyaning tasnifi

Haqiqat ob'ektlari quyidagilarga ega: a) uning o'ziga xos xususiyatlarini ifodalovchi umumiy xususiyatlar (masalan, bitta o'zgaruvchiga ega uchinchi darajali tenglama - kub tenglama); b) ob'ektni boshqa ko'plab ob'ektlardan ajratib turadigan muhim xususiyatlarini (uning xususiyatlarini) ifodalasa, farqlanishi mumkin bo'lgan umumiy xususiyatlar.

"Tushuncha" atamasi ob'ektlarning, jarayonlarning ma'lum bir sinfining aqliy qiyofasini bildirish uchun ishlatiladi. Psixologlar fikrlashning uchta shaklini ajratib ko'rsatishadi:

1) tushunchalar (masalan, mediana - uchburchakning qarama-qarshi tomoniga cho'qqisini bog'laydigan segment);

2) hukmlar (masalan, ixtiyoriy uchburchakning burchaklari uchun bu to'g'ri:);

3) xulosalar (masalan, a>b va b>c bo'lsa, a>c).

uchun xarakterlidir tushunchalardagi fikrlash shakllari quyidagilardir: a) yuqori darajada tashkil etilgan materiyaning mahsuli; b) moddiy olamni aks ettiradi; v) bilishda umumlashtirish vositasi sifatida namoyon bo`ladi; d) aniq inson faoliyatini anglatadi; e) uning ongida shakllanishi nutq, yozuv yoki belgi orqali ifodalanishidan ajralmas.

Matematik tushuncha bizning tafakkurimizda real vaziyatlardan mavhumlashtirilgan voqelikning muayyan shakllari va munosabatlarini aks ettiradi. Ularning shakllanishi sxema bo'yicha sodir bo'ladi:

Har bir tushuncha ob'ektlar yoki munosabatlar to'plamini birlashtiradi, deb ataladi kontseptsiya doirasi, va bu to'plamning barcha elementlariga xos bo'lgan xarakterli xususiyatlar va faqat ularni ifodalaydi kontseptsiyaning mazmuni.

Masalan, matematik tushuncha to'rtburchakdir. Uning hajmi: kvadrat, to'rtburchak, parallelogram, romb, trapetsiya va boshqalar. Tarkib: 4 tomon, 4 burchak, 4 tepalik (xarakterli xususiyatlar).

Tushunchaning mazmuni uning qamrovini qat’iy belgilaydi va aksincha, tushuncha doirasi uning mazmunini to‘liq belgilaydi. Sensordan mantiqiy darajaga o'tish orqali sodir bo'ladi umumlashtirishlar: yoki ob'ektning umumiy belgilarini tanlash orqali (paralelogramma - to'rtburchak - ko'pburchak); yoki maxsus yoki birlik bilan birgalikda umumiy belgilar orqali aniq tushunchaga olib keladi.

Umumlashtirish jarayonida hajm kengayib, mazmuni torayib boradi. Tushunchaning ixtisoslashuvi jarayonida hajmi torayib, mazmuni kengayadi.

Masalan:

ko'pburchaklar - parallelogrammalar;

uchburchaklar teng yonli uchburchaklardir.

Agar bir tushunchaning qamrovi boshqa tushuncha doirasida bo'lsa, ikkinchi tushuncha deyiladi umumiy, birinchisiga nisbatan; va birinchisi deyiladi xos ikkinchisiga nisbatan. Masalan: parallelogramma - romb (jins) (ko'rinish).

Kontseptsiya doirasini aniqlashtirish jarayoni deyiladi tasnifi, uning sxemasi quyidagicha ko'rinadi:

to'plam va ba'zi xossalar berilsin va bu xususiyatga ega bo'lishda ham, yo'qligida ham elementlar mavjud bo'lsin. Bo'lsin:

Yangi xususiyatga tanlang va ushbu xususiyatga bo'ling:

Masalan: 1) tasniflash raqamlar to'plami son tushunchasining rivojlanishini aks ettiruvchi; 2) uchburchaklarning tasnifi: a) tomonlari bo'yicha; b) burchaklar.

Vazifa raqami 1. Kvadrat nuqtalari yordamida uchburchaklar to'plamini ifodalaymiz.

Isosceles xususiyati;

To'rtburchaklar xususiyati;

Bir vaqtning o'zida bu xususiyatlarga ega bo'lgan uchburchaklar bormi?

2. Matematik ta’riflar. Tushunchalarni belgilashdagi xatolar turlari

Kontseptsiyani shakllantirishning yakuniy bosqichi uning ta'rifi, ya'ni. shartli kelishuvni qabul qilish. Ta'rif deganda tushunchaning zarur va yetarli belgilarini sanab, izchil jumlaga (og'zaki yoki ramziy) qisqartirish tushuniladi.

2.1 Tushunchalarni aniqlash usullari

Dastlab, aniqlanmagan tushunchalar ajratiladi, ular asosida matematik tushunchalar quyidagi yo'llar bilan aniqlanadi:

1) eng yaqin jins va tur farqi orqali: A) tavsiflovchi(ta'rifni qurish jarayonini tushuntirish yoki ichki tuzilmani tavsiflash, qaysi operatsiyalarga qarab bu ta'rif aniqlanmagan tushunchalardan qurilgan); b) konstruktiv(yoki genetik) tushunchaning kelib chiqishini ko'rsatadi.

Masalan: a) to'rtburchak - barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan parallelogramm; b) aylana - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalaridan tashkil topgan figura. Bu nuqta aylananing markazi deb ataladi.

2) induktiv tarzda. Masalan, arifmetik progressiyaning ta'rifi:

3) abstraksiya orqali. Masalan, natural son ekvivalent chekli to'plamlar sinflarining xarakteristikasi;

4) aksiomatik (bilvosita ta'rif). Masalan, geometriyada figuraning maydonini aniqlash: oddiy raqamlar uchun maydon ijobiy qiymatdir, raqamli qiymat quyidagi xossalarga ega: a) teng figuralar teng maydonlarga ega; b) agar figura oddiy figuralar bo'lgan qismlarga bo'lingan bo'lsa, unda bu raqamning maydoni uning qismlari maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi; c) tomoni o'lchov birligiga teng bo'lgan kvadratning maydoni birga teng.

2.2 Aniq va yashirin ta'riflar

Ta'riflar quyidagilarga bo'linadi:

A) aniq, unda aniqlangan va aniqlovchi tushunchalar aniq ajratilgan (masalan, eng yaqin tur va o'ziga xos farq orqali aniqlash);

b) yashirin, ular bir kontseptsiyani kengroq ko'lamli boshqasi bilan almashtirish printsipi asosida qurilgan va zanjirning oxiri aniqlanmagan tushunchadir, ya'ni. rasmiy mantiqiy ta'rif (masalan, kvadrat - to'g'ri burchakli romb; romb - teng qo'shni tomonlarga ega bo'lgan parallelogram; parallelogramm - juft parallel tomonlarga ega bo'lgan to'rtburchak; to'rtburchak - 4 burchak, 4 cho'qqi, 4 tomon). IN maktab ta'riflari ko'pincha birinchi usul qo'llaniladi, uning sxemasi quyidagicha: bizda to'plamlar va ba'zi xususiyatlar mavjud.

Ta'riflarni qurishning asosiy talabi shundaki, aniqlanayotgan to'plam minimal to'plamning kichik to'plami bo'lishi kerak. Masalan, ikkita ta'rifni solishtiramiz: (1) Kvadrat - to'g'ri burchakli romb; (2) Kvadrat - tomonlari teng va to'g'ri burchakli (ortiqcha) parallelogramma.

Har qanday ta'rif "mavjudlikni isbotlash" muammosiga yechimdir. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir; uning mavjudligi qurilishdir.

2.3 Xatolarning asosiy turlarining xarakteristikalari

Eslatma tipik xatolar Talabalar tushunchalarni aniqlashda duch keladigan narsalar:

1) aniqlovchi sifatida minimal bo'lmagan to'plamdan foydalanish, mantiqiy jihatdan bog'liq xususiyatlarni kiritish (materialni takrorlashda odatiy).

Masalan: a) qarama-qarshi tomonlari teng va parallel bo'lgan to'rtburchak parallelogramm; b) to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar deyiladi, agar shu tekislik bilan kesishib, kesishish nuqtasi orqali tekislikka o'tkazilgan har bir chiziq bilan to'g'ri burchak hosil qilsa, buning o'rniga: "chiziq tekislikka perpendikulyar deyiladi, agar u perpendikulyar bo'lsa. ushbu samolyotning barcha chiziqlariga";

2) belgilangan tushunchadan foydalanish va belgilovchi sifatida.

Masalan, to'g'ri burchak teng qo'shni burchaklardan biri sifatida emas, balki tomonlari o'zaro perpendikulyar bo'lgan burchaklar sifatida aniqlanadi;

3) tavtologiya - tushuncha tushunchaning o'zi orqali aniqlanadi.

Masalan, ikkita figura bir-biriga o'xshashlik o'zgarishi bilan tarjima qilinsa, o'xshash deyiladi;

4) ba'zan ta'rif belgilangan kichik to'plam ajratilgan aniqlovchi to'plamni ko'rsatmaydi.

Masalan, "mediana - bu to'g'ri chiziq ..." o'rniga "mediana - bog'lovchi segment ...";

5)talabalar tomonidan berilgan ta'riflarda ba'zida ta'riflanayotgan tushuncha umuman yo'q; bu faqat o'quvchilar to'liq javob berishga odatlanmaganlarida mumkin.

Ta'riflardagi xatolarni tuzatish metodologiyasi, birinchi navbatda, yo'l qo'yilgan xatolarning mohiyatini aniqlashni, keyin esa ularning takrorlanishining oldini olishni o'z ichiga oladi.

3. Ta'rifning tuzilishi

1) Konyunktiv tuzilish: ikkita nuqta va p( chiziqqa nisbatan simmetrik deyiladi. A(x)) agar bu p chiziq segmentga perpendikulyar bo'lsa va uning o'rta nuqtasidan o'tsa. Shuningdek, p chiziqning har bir nuqtasi p chiziqqa nisbatan o'ziga simmetrikdir ("va" birlashmasining mavjudligi) (* - "Burchakning bissektrisasi - bu uning cho'qqisidan keladigan nurdir, o'tadi. uning tomonlari o'rtasida va burchakni yarmiga bo'ladi").

2)Strukturaviy tuzilma: “ Berilgan figura va p qo‘zg‘almas chiziq bo‘lsin. Shaklning ixtiyoriy nuqtasini oling va p chiziqqa perpendikulyar tushiring. Perpendikulyar nuqtadan tashqarida davom etayotganda, segmentga teng segmentni ajratib qo'ying. Shaklning figuraga aylanishi, bunda har bir nuqta ma'lum bir tarzda qurilgan nuqtaga boradi, p to'g'riga nisbatan simmetriya deyiladi.

3) Disjunktiv tuzilma: belgilash Z shakldagi xossalar tilida butun sonlar yozilishi mumkin ZN yoki N yoki =0, bu erda N- natural sonlarga qarama-qarshi bo'lgan sonlar to'plami.

4. Matematik tushunchalarni o`rganishning asosiy bosqichlarining xarakteristikasi

Ta'rif ustida ishlash metodologiyasi quyidagilarni o'z ichiga oladi: 1) ta'rifni bilish; 2) berilgan ta'rifga mos keladigan ob'ektni tan olishni o'rganish; 3) turli qarama-qarshi misollar qurish. Masalan, "to'g'ri burchakli uchburchak" tushunchasi va uning tarkibiy elementlarini tanib olish ustida ishlash:

Matematik ta'riflarni o'rganishni uch bosqichga bo'lish mumkin:

1-bosqich - kirish - darsda talabalar yangi narsalarni o'zlari "kashf qiladigan", mustaqil ravishda ular uchun ta'riflar tuzadigan yoki shunchaki ularni tushunishga tayyorgarlik ko'rgan vaziyatni yaratish.

2-bosqich - assimilyatsiyani ta'minlash - talabalar quyidagilarni ta'minlashga qaratilgan:

a) ta'rifni qo'llashni o'rgandi;

b) ularni tez va aniq yodlash;

v) o'z formulalarida har bir so'zni tushundi.

3-bosqich - konsolidatsiya - keyingi darslarda amalga oshiriladi va ularning formulalarini takrorlash va muammolarni hal qilishda qo'llash ko'nikmalarini qayta ishlashga to'g'ri keladi.

Yangi tushunchalar bilan tanishish amalga oshiriladi:

1-usul: talabalar ta'rifni mustaqil shakllantirishga tayyorgarlik ko'rish.

2-usul: talabalar ongli ravishda idrok etishga, yangi matematik jumlani tushunishga tayyorgarlik ko'rishadi, so'ngra tuzilgan shaklda ularga xabar beriladi.

3-usul: o'qituvchining o'zi hech qanday tayyorgarliksiz yangi ta'rifni shakllantiradi, so'ngra o'quvchilarning sa'y-harakatlarini ularni o'zlashtirish va mustahkamlashga qaratadi.

1 va 2-usullar evristik usulni, 3-usul - dogmatikni ifodalaydi. Har qanday usullardan foydalanish sinfning tayyorgarlik darajasi va o'qituvchining tajribasiga mos kelishi kerak.

5. Tushunchalarni kiritish usullarining xususiyatlari

Kontseptsiyalarni kiritishda quyidagi usullardan foydalanish mumkin:

1) o'quvchilarga yangi tushunchaning ta'rifini tezda shakllantirish imkonini beradigan bunday mashqlarni yaratishingiz mumkin.

Masalan: a) =2, ga ega bo'lgan () qatorining birinchi a'zolarini yozing. Bu ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi. Uning ta'rifini shakllantirishga harakat qiling. Siz o'zingizni yangi kontseptsiyani idrok etishga tayyorgarlik ko'rish bilan cheklashingiz mumkin.

b) Ketma-ketlikning birinchi bir necha a'zolarini yozing (), = 4 ga teng, Keyin o'qituvchi bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deb ataladi va uning ta'rifini o'zi beradi.

2) geometrik tushunchalarni o'rganishda mashqlar shunday shakllantiriladiki, talabalar o'zlari kerakli figurani quradilar va ta'rifni shakllantirish uchun zarur bo'lgan yangi tushunchaning belgilarini ajratib ko'rsatishlari mumkin.

Masalan: ixtiyoriy uchburchak yasang, uning uchini segment bilan qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtasiga ulang. Ushbu segment median deb ataladi. Medianning ta'rifini tuzing.

Ba'zan modelni tuzish yoki tayyor modellar va chizmalarni hisobga olgan holda yangi kontseptsiyaning xususiyatlarini ajratib ko'rsatish va uning ta'rifini shakllantirish taklif etiladi.

Masalan: parallelepiped ta'rifi 10-sinfda kiritilgan. Qiyma, to'g'ri va to'rtburchaklar parallelepipedlarning tavsiya etilgan modellariga ko'ra, ushbu tushunchalar bir-biridan farq qiladigan xususiyatlarni aniqlang. To'g'ri va to'rtburchak parallelepipedlarning tegishli ta'riflarini tuzing.

3) Ko'pgina algebraik tushunchalar alohida misollar asosida kiritiladi.

Masalan: grafik chiziqli funksiya to'g'ri chiziqdir.

4)Maqsadli vazifalar usuli,(S.I. Shoxor-Trotskiy tomonidan ishlab chiqilgan) Talabalar maxsus tanlangan topshiriq yordamida yangi tushunchani kiritish zarurligi va unga matematikada mavjud bo‘lgan aynan bir xil ma’no berishning maqsadga muvofiqligi to‘g‘risida xulosaga keladilar.

5-6-sinflarda bu usul bilan tushunchalar kiritiladi: tenglama, tenglama ildizi, tengsizliklarni yechish, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish tushunchalari. natural sonlar, o'nlik va oddiy kasrlar va boshqalar.

Beton induktiv usul

Mohiyat:

a) aniq misollar ko'rib chiqiladi;

b) muhim xususiyatlar ajratib ko'rsatiladi;

v) ta'rif tuzilgan;

d) mashqlar bajariladi: tanib olish uchun; dizayn uchun;

e) ta'rifga kiritilmagan xususiyatlar ustida ishlash;

e) xossalarni qo'llash.

Masalan: mavzu - parallelogrammalar:

1, 3, 5 - parallelogrammalar.

b) muhim belgilari: to'rtburchak, tomonlarning juft parallelligi.

c) tan olish, qurish:

d) parallelogrammaning to‘rtinchi cho‘qqisini toping (quring) (* - 3-topshiriq, 96-modda, Geometriya 7-11-sinf: Uchta cho‘qqi bilan nechta parallelogramm qurish mumkin. berilgan ballar bir xil to'g'ri chiziqda yotmaysizmi? Ularni yarating.).

e) boshqa xususiyatlar:

AC va BD O nuqtada kesishadi va AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

e) A=C, B=D.

Mustahkamlash: 4-23-sonli masalalarni yechish, 96-97-bet, Geometriya 7-11, Pogorelov.

Perspektiv qiymat:

a) to‘rtburchak va rombni o‘rganish va aniqlashda qo‘llaniladi;

b) Fales teoremasida parallellik va parallel chiziqlar orasiga olingan segmentlarning tengligi printsipi;

v) parallel tarjima tushunchasi (vektor);

d) uchburchakning maydonini chiqarishda parallelogramma xossasidan foydalaniladi;

e) fazoda parallellik va perpendikulyarlik; parallelepiped; prizma.

Abstrakt-deduktiv usul

Mohiyat:

a) tushunchaga ta'rif: - kvadrat tenglama;

b) muhim xususiyatlarni tanlash: x - o'zgaruvchan; a, b, c - raqamlar; a?0 da

v) kontseptsiyani konkretlashtirish: - qisqartirilgan; tenglamalarga misollar

d) mashqlar: tanib olish, qurish uchun;

e) ta'rifga kiritilmagan xususiyatlarni o'rganish: tenglamaning ildizlari va ularning xossalari;

e) muammolarni hal qilish.

Maktabda abstrakt-deduktiv usul yangi tushuncha oldingi tushunchalarni o‘rganish, jumladan, eng yaqin umumiy tushunchani o‘rganish yo‘li bilan to‘liq tayyorlangan va yangi tushunchaning o‘ziga xos farqi juda sodda va o‘quvchilarga tushunarli bo‘lganda qo‘llaniladi.

Masalan: parallelogrammani o'rganib chiqqandan keyin romb ta'rifi.

Bundan tashqari, yuqoridagi usul qo'llaniladi:

1) kontseptsiya ta'rifining "nasabnomasi" ni tuzishda:

Kvadrat - bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak.

To'rtburchak - barcha to'g'ri burchakli parallelogramm.

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

To'rtburchak - bu to'rtta nuqta va ularni ketma-ket bog'laydigan to'rtta segmentdan iborat figura.

Boshqacha qilib aytganda, nasl-nasab oldingi tushunchani umumlashtirish orqali qurilgan tushunchalar zanjiri bo'lib, uning yakuniy qismi aniqlab bo'lmaydigan tushunchadir (esda tutingki, maktab geometriyasi kursida bularga nuqta, raqam, tekislik, masofa kiradi (). o'rtasida yotish));

2) tasniflash;

3) teoremalarni isbotlash va masalalar yechishda qo‘llaniladi;

4) bilimlarni yangilash jarayonida keng qo'llaniladi.

Vazifa tizimi bilan ifodalangan ushbu jarayonni ko'rib chiqing:

a) Tomonlari 3 sm va 4 sm boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak berilgan. Gipotenuzaga chizilgan mediana uzunligini toping.

b) Uchburchakning to‘g‘ri burchak cho‘qqisidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng ekanligini isbotlang.

c) To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning bissektrisasi mediana bilan gipotenuzaga chizilgan balandlik orasidagi burchakni ikkiga bo'lishini isbotlang.

d) ABC uchburchakning eng uzun AC tomonining davomida BC tomoniga teng CM segmenti chiziladi. AVM ning noaniq ekanligini isbotlang.

Ko'pgina hollarda maktab o'qitishda konkret-induktiv usul qo'llaniladi. Xususan, bu usulda 1-6-sinflarda algebra va geometriyaning boshlang‘ich bosqichlari propedevtik sikllarida tushunchalar kiritiladi va ko‘plab aniqlovchi tushunchalar qat’iy formulalarsiz tavsifiy kiritiladi.

O'qituvchining ta'riflarni kiritishning turli usullarini bilmasligi rasmiyatchilikka olib keladi, bu o'zini quyidagicha namoyon qiladi:

a) o'quvchilar ta'riflarni g'ayrioddiy vaziyatda qo'llashda qiynaladilar, garchi ular uning so'zlarini eslab qolishsa ham.

Masalan: 1) ular funksiyani juft deb hisoblaydilar, chunki "cos" - hatto;

2) - funksiyaning monotonligi va tengsizlikning yechimi o'rtasidagi munosabatni tushunmaslik, ya'ni. tadqiqotning asosiy usuli funktsiya qiymatlari orasidagi farq belgisini baholash bo'lgan tegishli ta'riflarni qo'llamaydi, ya'ni. tengsizliklarni yechishda.

b) talabalar har qanday turdagi masalalarni yechish malakalariga ega, lekin qanday ta’riflar, aksiomalar, teoremalar asosida ma’lum transformatsiyalarni amalga oshirishlarini tushuntira olmaydilar.

Masalan: 1) - bu formula bo'yicha aylantiring va 2) stolda to'rtburchak piramidaning modeli borligini tasavvur qiling. Agar model yon yuzi bilan stolga qo'yilsa, bu piramidaning asosi qanday ko'pburchak bo'ladi? (to'rtburchak).

Bilim, ko'nikma va malakalarni shakllantirish jarayoni yangi bilimlarni muloqot qilish bilan cheklanmaydi.

Bu bilimlarni egallash va mustahkamlash kerak.

6. Matematik tushunchalarni (gaplarni) o'zlashtirishni ta'minlash metodikasi.

1. Ko'pgina ta'riflarning (teorema, aksioma) formulalari o'quvchilar uchun tushunarli, oz sonli takrorlardan keyin eslab qolish oson, shuning uchun boshida ularni yodlashni taklif qilish, keyin esa ularni masalalar yechishda qo'llashni o'rgatish tavsiya etiladi.

Ta'riflarni eslab qolish va ularni qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish jarayonlari talabalarda bir vaqtning o'zida (alohida) sodir bo'ladigan usul deyiladi. alohida.

Alohida metod akkord, trapetsiya, juft va toq funksiyalarning ta’riflarini, Pifagor teoremalarini, parallel chiziqlar belgilarini, Vyeta teoremasini, sonli tengsizliklar xossalarini, oddiy kasrlarni ko‘paytirish qoidalarini, bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va hokazolarni o‘rganishda qo‘llaniladi. .

Metodologiya:

a) o'qituvchi yangi ta'rifni shakllantiradi;

b) sinf o'quvchilari uni yodlash uchun 1-3 marta takrorlaydilar;

v) mashqlarda mashq qilinadi.

2. Yilni usuli talabalarning matematik ta'rifni yoki jumlani qismlarga bo'lib o'qishi va o'qish jarayonida bir vaqtning o'zida mashq bajarishidan iborat.

So'zlarni bir necha marta o'qib, ular yo'lda yodlashadi.

Metodologiya:

a) qo'llash uchun matematik taklifni tayyorlash. Ta'rif belgilariga ko'ra qismlarga, teorema - shart va xulosaga bo'linadi;

b) tayyorlangan matn bilan ishlashni ko'rsatadigan o'qituvchi tomonidan taklif qilingan harakatlar namunasi: biz uni qismlarga bo'lib o'qiymiz va mashqlarni bir vaqtning o'zida bajaramiz;

v) o'quvchilar ta'rifni qismlarga bo'lib o'qiydilar va bir vaqtning o'zida tayyorlangan matn va o'qituvchi modelidan kelib chiqqan holda mashqlarni bajaradilar;

Masalan: beshinchi sinfda bissektrisaning ta'rifi:

1) kontseptsiyani kiritish burchak modeli bo'yicha maqsadga muvofiq masalalar usuli bilan amalga oshiriladi;

2) taʼrif yoziladi: “Burchak choʻqqisidan chiqib, uni ikkita teng qismga boʻluvchi nurga burchakning bissektrisasi deyiladi”;

3) topshiriq bajariladi: chizmalardagi qaysi chiziqlar burchak bissektrisalari ekanligini ko'rsating ( teng burchaklar bir xil sonli yoylar bilan belgilanadi).

Chizmalardan birida o'qituvchi ta'rifning qo'llanilishini ko'rsatadi (pastga qarang);

4) ish talabalar tomonidan davom ettiriladi.

3. Alohida va ixcham usulning kombinatsiyasi : yangi qoida tuzilgandan keyin u 2-3 marta takrorlanadi, so'ngra o'qituvchi mashqlarni bajarish jarayonida qoidani qismlarga bo'lib shakllantirishni talab qiladi.

4. Algoritmik usul matematik gaplarni qo‘llash malakalarini shakllantirish uchun foydalaniladi.

Metodologiya: Matematik jumlalar algoritm bilan almashtiriladi. Algoritm ko'rsatmalarini navbatma-navbat o'qib, talaba masalani hal qiladi. Shunday qilib, u ta'riflar, aksiomalar va teoremalarni qo'llash qobiliyatini rivojlantiradi. Bunday holda, ta'rifni keyinchalik yodlashga yoki ta'rifning o'zini algoritm bilan birga o'qishga ruxsat beriladi.

Usulning asosiy bosqichlari:

a) ko'rsatmalar ro'yxatini ishlashga tayyorlash, u tayyor shaklda beriladi, keyin tushuntirish beriladi yoki talabalar uni mustaqil ravishda tuzishga olib keladi;

b) o'qituvchining javobi namunasi;

v) o'quvchilar xuddi shunday ishlaydi.

Ta'riflarni o'rganishda alohida va ixcham usullar qo'llaniladi. Algoritmik faqat o'zlashtirish qiyin bo'lgan ta'riflarni o'rganishda qo'llanilishi mumkin (masalan, zarur va etarli shartlar). Masala yechish malakalarini shakllantirishda algoritmik usul eng keng tarqalgan.

7. Matematik tushunchalar va gaplarni belgilash usullari

1-qabul:

o'qituvchi muammolarni hal qilish jarayonida uchraydigan ma'lum ta'riflar, aksiomalar, teoremalarni shakllantirish va qo'llashni taklif qiladi.

Masalan: funksiya grafigini tuzish; juft (toq) funksiyaning ta’rifi; mavjudligi uchun zarur va yetarli shart.

2-qabul:

o'qituvchi frontal so'rov davomida bir qator ta'riflar, teoremalar, aksiomalarni shakllantirishni taklif qiladi, ularni takrorlash va shu bilan birga o'quvchilar ularni eslab qolishlarini tekshirish. Ushbu usul muammolarni hal qilishdan tashqari samarali emas. Frontal so'rovni talabalardan ta'riflar, teoremalar, aksiomalarni qo'llash qobiliyatini talab qiladigan maxsus mashqlar bilan birlashtirish mumkin. turli vaziyatlar, muammoning shartlarini tezda boshqarish qobiliyati.

Xulosa

Ta'rifni bilish kontseptsiyani assimilyatsiya qilishni kafolatlamaydi. Metodik ish tushunchalar bilan formalizmni yengib o'tishga qaratilgan bo'lishi kerak, bu o'quvchilar aniqlanayotgan ob'ektni yuzaga kelgan turli vaziyatlarda taniy olmasligida namoyon bo'ladi.

Berilgan ta'rifga mos keladigan ob'ektni tanib olish va qarama-qarshi misollarni qurish faqat ko'rib chiqilayotgan ta'rifning tuzilmalarini aniq tushunish bilan mumkin, bu ta'rif sxemasida () o'ng tomonning tuzilishini anglatadi.

Adabiyot

1. K.O. Ananchenko " Umumiy metodologiya maktabda matematikani o'rgatish", Mn., "Universitetskaya", 1997 yil

2. N.M. Roganovskiy "O'qitish metodikasi o'rta maktab", Mn.," magistratura", 1990 yil

3. G. Freydental “Matematika sifatida pedagogik vazifa”, M., “Ma’rifat”, 1998 yil

4. N.N. «Matematik laboratoriya», M., «Ma’rifat», 1997 y

5. Yu.M. Kolyagin "O'rta maktabda matematika o'qitish metodikasi", M., "Prosveshchenie", 1999 y.

6. A.A. Stolyar "Matematikani o'qitishning mantiqiy muammolari", Mn., "Oliy maktab", 2000 y.

Shunga o'xshash hujjatlar

Matematik tushunchalarni o'rganish metodologiyasining asoslari. Matematik tushunchalar, ularning mazmuni va qamrovi, tushunchalarning tasnifi. 5-6-sinflarda matematika o`qitishning psixologik-pedagogik xususiyatlari. Kontseptsiyani shakllantirishning psixologik jihatlari.

dissertatsiya, 08/08/2007 qo'shilgan


Tushunchalarni shakllantirishning mohiyati, uning umumiy sxemasi va xususiyatlari, amalga oshirish bosqichlari va mumkin bo'lgan yo'llari. Matematik fanlar uchun tushunchalar tasnifi va uning metodologiyasi. Ta'rif tushunchani shakllantirishning yakuniy bosqichi sifatida, uning turlari va xususiyatlari.

referat, 24.04.2009 qo'shilgan


"Tushuncha" psixologik, pedagogik, falsafiy, o'quv adabiyoti. Elementar matematikada matematik tushunchalarning turlari va ta’riflari. Tushunchalarni shakllantirishda tasniflashning roli, vazifalari. Matematik tushunchalarni shakllantirish tizimi.

dissertatsiya, 2008 yil 11/23 qo'shilgan


Ilmiy tushunchalarni shakllantirishning psixologik-pedagogik asoslari. Vitagenik tarbiyaning mohiyati va manbalari. Talabalarning hayotiy tajribasini aniqlash va yangilash usullari va usullari. Sifatida ilmiy tushunchalarni shakllantirish pedagogik muammo. Ilmiy tushunchalarning turlari.

dissertatsiya, 12/13/2009 qo'shilgan


Asosiy matematik tushunchalarni tahlil qilish. Ko'paytirish va bo'lishning jadval hollarini o'rganish usullari. uchun vazifalar mustaqil ish talabalar. Ta'limga individual yondashuvni amalga oshirish. Ko'paytirish jadvalini o'zlashtirish uchun mashqlar, bilimlarni tekshirish usullari.

dissertatsiya, 12/13/2013 qo'shilgan


maqola, 09.15.2009 qo'shilgan


Vizualizatsiya grammatik tushunchalarni o'zlashtirish vositasi sifatida. Vizualizatsiya yordamida rus tili darslarida grammatik tushunchalarni o'rganish tizimi. Kichik yoshdagi o'quvchilarning grammatik tushunchalarni o'rganish darajasini aniqlash uchun eksperiment natijalari.

dissertatsiya, 05/03/2015 qo'shilgan


Matematik qobiliyatlarning tarkibiy qismlari, ularning boshlang'ich maktab yoshida namoyon bo'lish darajasi, tabiiy shartlar va shakllanish shartlari. Asosiy shakllar va metodologiya darsdan tashqari mashg'ulotlar: to'garak mashg'ulotlari, matematik kechalar, olimpiadalar, o'yinlar.

dissertatsiya, 11/06/2010 qo'shilgan


Maktab geometriya kursida o`quvchilarni aksiomalar bilan tanishtirish usullari, an'anaviy sintetik koordinatalar vektor usullari, maktab kursini qurishda aksiomalarning roli. Tushunchalar va teoremalarni kiritish usullari, uchburchaklar tenglik belgilarini o'rganish sxemasi.

referat, 03/07/2010 qo'shilgan


Boshlang'ich sinf uchun Federal Davlat Ta'lim Standartiga muvofiq boshlang'ich maktabda matematikani o'rganish xususiyatlari umumiy ta'lim. Kurs mazmuni. Asosiy matematik tushunchalarni tahlil qilish. Didaktikada individual yondashuvning mohiyati.

Ma’ruza 5. Matematik tushunchalar

1. Tushunchaning qamrovi va mazmuni. Tushunchalar o'rtasidagi munosabatlar

2. Tushunchalarning ta’rifi. Belgilangan va aniqlanmagan tushunchalar.

3. Tushunchalarni aniqlash usullari.

4. Asosiy xulosalar

Matematikaning boshlang'ich kursida o'rganiladigan tushunchalar odatda to'rtta guruh shaklida taqdim etiladi. Birinchisiga sonlar va ular ustida amallar bilan bog'liq tushunchalar: son, qo'shish, had, ko'proq va boshqalar kiradi.Ikkinchiga algebraik tushunchalar: ifoda, tenglik, tenglamalar va boshqalar kiradi.Uchinchi guruhga geometrik tushunchalar: to'g'ri chiziq, segment, uchburchak kiradi. va boshqalar .d. To'rtinchi guruh miqdorlar va ularni o'lchash bilan bog'liq tushunchalar orqali shakllanadi.

Tushunchalarning xilma-xilligini o'rganish uchun kontseptsiyani mantiqiy kategoriya va matematik tushunchalarning xususiyatlari haqida tasavvurga ega bo'lish kerak.

Mantiqda tushunchalar sifatida qaraladi fikrlash shakli ob'ektlarni (ob'ektlar va hodisalarni) ularning muhim va umumiy xususiyatlar Oh. Kontseptsiyaning lingvistik shakli so'z (termin) yoki so'zlar guruhi.

Ob'ekt haqida tushuncha tuzish - sᴛᴏ uni unga o'xshash boshqa ob'ektlardan ajrata bilishni anglatadi. Matematik tushunchalar bir qator xususiyatlarga ega. Asosiysi, mohiyatiga ko'ra, kontseptsiyani shakllantirish juda muhim bo'lgan matematik ob'ektlar haqiqatda mavjud emas. Matematik ob'ektlar inson ongi tomonidan yaratilgan. Bular haqiqiy ob'ektlar yoki hodisalarni aks ettiruvchi ideal ob'ektlardir. Masalan, geometriyada jismlarning shakli va o'lchamlari boshqa xususiyatlarni: rangi, massasi, qattiqligi va boshqalarni hisobga olmasdan o'rganiladi. Bularning barchasi mavhum. Shuning uchun geometriyada "ob'ekt" so'zi o'rniga "geometrik shakl" deyiladi.

Abstraksiya natijasi “son” va “qiymat” kabi matematik tushunchalar hamdir.

Umuman olganda, matematik ob'ektlar faqat inson tafakkurida va matematik tilni tashkil etuvchi belgi va belgilarda mavjud.

Buni aytilganlarga o'rganish orqali qo'shish mumkin moddiy olamning fazoviy shakllari va miqdoriy munosabatlari, matematika nafaqat abstraktsiyaning turli usullarini qo'llaydi, balki abstraktsiyaning o'zi ko'p bosqichli jarayon sifatida ishlaydi. Matematikada nafaqat real ob'ektlarni o'rganishda paydo bo'lgan tushunchalar, balki birinchisi asosida paydo bo'lgan tushunchalar ham ko'rib chiqiladi. Masalan, muvofiqlik sifatidagi funksiyaning umumiy tushunchasi aniq funksiyalar tushunchalarini umumlashtirish, ᴛ.ᴇ. abstraksiyalardan abstraktsiya.

1. Kontseptsiya doirasi va mazmuni. Tushunchalar o'rtasidagi munosabatlar

Har bir matematik ob'ekt ma'lum xususiyatlarga ega. Masalan, kvadratning to'rt tomoni bor, to'rtta to'g'ri burchak diagonaliga teng. Siz boshqa xususiyatlarni ham belgilashingiz mumkin.

Ob'ektning xususiyatlari orasida bor muhim va zaruriy emas. Mulk hissi ob'ekt uchun muhim͵ agar u ushbu ob'ektga xos bo'lsa va usiz u mavjud bo'lolmaydi. Masalan, kvadrat uchun yuqorida aytib o'tilgan barcha xususiyatlar muhim ahamiyatga ega. ABCD kvadrati uchun “AB tomoni gorizontal” xususiyati muhim emas.

Matematik tushuncha haqida gapirganda, ular odatda bitta bilan belgilangan ob'ektlar to'plamini anglatadi muddat(so'z yoki so'zlar guruhi). Shunday qilib, kvadrat haqida gapirganda, ular kvadrat bo'lgan barcha geometrik raqamlarni anglatadi. Barcha kvadratlar to'plami "kvadrat" tushunchasining doirasi ekanligiga ishoniladi.

Umuman, tushuncha doirasi sᴛᴏ bir atama bilan belgilangan barcha ob'ektlar to'plamidir.

Har qanday tushuncha nafaqat qamrovga, balki mazmunga ham ega.

Misol uchun, to'rtburchaklar tushunchasini ko'rib chiqing.

Kontseptsiya doirasi sᴛᴏ turli xil to'rtburchaklar to'plami bo'lib, uning mazmuni to'rtburchaklarning "to'rtta to'g'ri burchakka ega", "qarama-qarshi tomonlari teng", "teng diagonallarga ega" va boshqalarni o'z ichiga oladi.

Kontseptsiya doirasi va uning mazmuni o'rtasida mavjud munosabat: agar tushunchaning hajmi oshsa, uning mazmuni kamayadi va aksincha. Так, к примеру, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («всœе стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» va boshq.).

Har qanday kontseptsiyani boshqa tushunchalar bilan aloqasini anglamay turib o'zlashtirib bo'lmaydi. Shu sababli, tushunchalar qanday munosabatlarda bo'lishi mumkinligini bilish va bu aloqalarni o'rnata olish muhimdir.

Tushunchalar o'rtasidagi munosabatlar ularning hajmlari o'rtasidagi munosabatlar bilan chambarchas bog'liq, ᴛ.ᴇ. to'plamlar.

Keling, tushunchalarni lotin alifbosining kichik harflari bilan belgilashga rozi bo'laylik: a, b, c, d, ..., z.

Ikkita a va b tushunchalari berilsin. Ularning hajmlarini mos ravishda A va B deb belgilaymiz.

Agar A ⊂ B (A ≠ B) bo'lsa, ular a tushunchasi b tushunchasiga nisbatan o'ziga xos, b tushunchasi esa a tushunchasiga nisbatan umumiydir, deyishadi.

Misol uchun, agar a "to'rtburchak", b "to'rtburchak" bo'lsa, ularning A va B hajmlari inklyuziyaga nisbatan (A ⊂ B va A ≠ B), shu bilan bog'liq holda har qanday to'rtburchaklar to'rtburchakdir. Shu sababdan “to‘rtburchak” tushunchasi “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan o‘ziga xos, “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan esa “to‘rtburchak” tushunchasi umumiy ekanligini ta’kidlash mumkin.

Agar A = B bo'lsa, A va B tushunchalari bir xil deyiladi.

Masalan, "teng yonli uchburchak" va "ikki tomonli uchburchak" tushunchalari bir xil, chunki ularning hajmlari bir xil.

Keling, jins va turlarning tushunchalar o'rtasidagi munosabatini batafsil ko'rib chiqaylik.

1. Avvalo, turkum va tur tushunchalari nisbiydir: bir tushuncha bir tushunchaga nisbatan umumiy, ikkinchisiga nisbatan tur bo‘lishi mumkin. Masalan, “to‘rtburchak” tushunchasi “kvadrat” tushunchasiga nisbatan umumiy, “to‘rtburchak” tushunchasiga nisbatan esa o‘ziga xosdir.

2. Ikkinchidan, berilgan tushuncha uchun ko'pincha bir nechta umumiy tushunchalarni ko'rsatish mumkin. Demak, "to'rtburchak" tushunchasi uchun "to'rtburchak", "paralelogramma", "ko'pburchak" tushunchalari umumiydir. Ular orasida siz eng yaqinini belgilashingiz mumkin. "To'rtburchak" tushunchasi uchun eng yaqin "paralelogramma" tushunchasi.

3. Uchinchidan, xususiy tushuncha umumiy tushunchaning barcha xususiyatlariga ega. Masalan, kvadrat "to'rtburchak" tushunchasiga nisbatan o'ziga xos tushuncha bo'lib, to'rtburchakga xos bo'lgan barcha xususiyatlarga ega.

Tushunchaning doirasi to'plam bo'lganligi sababli, tushunchalar doiralari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatishda ularni Eyler doiralari yordamida tasvirlash qulaydir.

Masalan, quyidagi a va b tushunchalar juftligi o'rtasidagi munosabatni aniqlaymiz, agar:

1) a - "to'rtburchak", b - "romb";

2) a - "ko'pburchak", b - "paralelogramma";

3) a - "to'g'ri", b - "segment".

To'plamlar orasidagi munosabatlar mos ravishda rasmda ko'rsatilgan.

2. Tushunchalarning ta’rifi. Belgilangan va aniqlanmagan tushunchalar.

Matematikada yangi tushunchalarning, demak, bu tushunchalarni bildiruvchi yangi atamalarning paydo bo'lishi ularning ta'rifini nazarda tutadi.

Ta'rif odatda yangi atama (yoki belgi) mohiyatini tushuntiruvchi jumla deb ataladi. Qoida tariqasida, bu ilgari kiritilgan tushunchalar asosida amalga oshiriladi. Masalan, to'rtburchakni quyidagicha ta'riflash mumkin: "To'rtburchak to'rtburchak deb ataladi, uning barcha burchaklari to'g'ri bo'ladi." Bu ta'rif ikki qismdan iborat - aniqlangan tushuncha (to'rtburchak) va aniqlovchi tushuncha (barcha to'g'ri burchakli to'rtburchak). Agar birinchi tushunchani a, ikkinchisini esa b bilan belgilasak, bu ta’rifni quyidagicha ifodalash mumkin:

a (ta'rifi bo'yicha) b.

"(ta'rif bo'yicha)" so'zlari odatda ⇔ belgisi bilan almashtiriladi va keyin ta'rif quyidagicha ko'rinadi:

Ular o'qiydilar: "a ta'rifi bo'yicha b ga teng". Siz ushbu yozuvni quyidagicha o'qishingiz mumkin: "va agar va faqat b.

Bunday tuzilishga ega bo'lgan ta'riflar deyiladi aniq. Keling, ularni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, "to'rtburchak" ta'rifining ikkinchi qismiga murojaat qilaylik.

Buni ajratish mumkin:

1) "to'rtburchak" tushunchasi, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ "to'rtburchak" tushunchasiga nisbatan umumiydir.

2) "barcha to'g'ri burchakka ega bo'lish" xususiyati, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ barcha mumkin bo'lgan to'rtburchaklardan bitta turni tanlash imkonini beradi - to'rtburchaklar; shu munosabat bilan turlar farqi deyiladi.

Umuman olganda, o'ziga xos farq - bu aniqlangan ob'ektlarni umumiy tushuncha doirasidan ajratish imkonini beruvchi sᴛᴏ xususiyatlari (bir yoki bir nechta).

Bizning tahlilimiz natijalari diagramma shaklida taqdim etilishi mumkin:

"+" belgisi "va" zarrachasini almashtirish sifatida ishlatiladi.

Biz bilamizki, har qanday kontseptsiyaning ko'lami bor. Agar a tushunchasi jins va xususiy farq orqali aniqlansa, u holda uning hajmi - A to'plamda C to'plamga (umumiy tushunchaning hajmi c) tegishli bo'lgan va P xossaga ega bo'lgan ob'ektlar mavjud, deyish mumkin:

A = (x/ x ∈ C va P(x)).

Tushunchaning jins va xususiy tafovut nuqtai nazaridan ta’rifi mohiyatan ma’lum bo‘lgan har qanday atamalar to‘plami o‘rniga yangi atama kiritish to‘g‘risidagi shartli kelishuv bo‘lganligi sababli, ta’rif haqida uning to‘g‘ri yoki noto‘g‘ri ekanligini aytish mumkin emas; u isbotlangan ham, inkor ham emas. Ammo ta'riflarni shakllantirishda ular bir qator qoidalarga rioya qilishadi. Keling, ularni chaqiraylik.

1. Ta'rif bo'lishi kerak mutanosib. Demak, belgilangan va belgilovchi tushunchalar doirasi mos kelishi kerak.

2. Ta'rifda (yoki ularning tizimida) hech qanday shafqatsiz doira bo'lmasligi kerak. Bu shuni anglatadiki, kontseptsiyani o'z-o'zidan aniqlab bo'lmaydi.

3. Ta'rif bo'lishi kerak aniq. Masalan, aniqlovchi tushunchaga kiritilgan atamalarning ma'nolari yangi tushunchaning ta'rifi kiritilgunga qadar ma'lum bo'lishi talab qilinadi.

4. Yuqorida keltirilgan qoidalarga rioya qilgan holda, jins va o'ziga xos farq orqali bir xil tushunchani aniqlang; turli yo'llar bilan bo'lishi mumkin. Shunday qilib, kvadratni quyidagicha aniqlash mumkin:

a) qo'shni tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak;

b) diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lgan to'rtburchak;

v) to'g'ri burchakka ega bo'lgan romb;

d) barcha tomonlari teng va burchaklari to'g'ri bo'lgan parallelogramm.

Xuddi shu tushunchaning turli xil ta'riflari tushuncha mazmuniga kiritilgan xususiyatlarning ko'pligi tufayli mumkin, faqat bir nechtasi ta'rifga kiritilgan. Va keyin mumkin bo'lgan ta'riflardan biri tanlanadi, ulardan qaysi biri nazariyani keyingi qurish uchun soddaroq va maqsadga muvofiqdir.

Agar biz tanish tushunchaning ta'rifini takrorlamoqchi bo'lsak yoki yangisining ta'rifini yaratmoqchi bo'lsak, amal qilishimiz kerak bo'lgan harakatlar ketma-ketligini nomlaylik:

1. Ta'riflanayotgan tushuncha (termin)ni ayting.

2. Eng yaqin umumiy tushunchani (belgilanganiga nisbatan) ko'rsating.

3. Aniqlanadigan ob'ektlarni umumiy hajmdan ajratib turadigan xususiyatlarni sanab o'ting, ya'ni o'ziga xos farqni formulalang.

4. Tushunchani aniqlash qoidalariga rioya qilinganligini tekshiring (u mutanosibmi, ayiq doira bormi va hokazo).

Matematika o'rgatgan va barchangiz o'rganishingiz kerak bo'lgan ko'nikmalar orasida, katta ahamiyatga ega mahoratga ega tasniflash tushunchalar.

Gap shundaki, matematika, boshqa ko'plab fanlar singari, alohida ob'ektlar yoki hodisalarni emas, balki o'rganadi katta. Shunday qilib, siz uchburchaklarni o'rganayotganda, har qanday uchburchaklarning xususiyatlarini o'rganasiz va ularning cheksiz soni mavjud. Umuman olganda, har qanday matematik tushunchaning hajmi, qoida tariqasida, cheksizdir.

Matematik tushunchalar ob'ektlarini farqlash, ularning xususiyatlarini o'rganish uchun bu tushunchalar odatda turlarga, sinflarga bo'linadi. Axir, umumiy xususiyatlardan tashqari, har qanday matematik tushunchada yana ko'p narsalar mavjud muhim xususiyatlar, bu kontseptsiyaning barcha ob'ektlariga emas, balki faqat ma'lum turdagi ob'ektlarga xosdir. Shunday qilib, to'g'ri uchburchaklar, har qanday uchburchakning umumiy xususiyatlariga qo'shimcha ravishda, masalan, amaliyot uchun juda muhim bo'lgan ko'plab xususiyatlarga ega Pifagor teoremasi, burchaklar va tomonlar o'rtasidagi munosabatlar va boshqalar.

Matematik tushunchalarni ko'p asrlik o'rganish jarayonida, ularning hayotda, boshqa fanlarda ko'plab qo'llanilishi jarayonida ba'zi maxsus turlari eng ko'p ega qiziqarli xususiyatlar ko'p uchraydi va amaliyotda qo'llaniladi. Shunday qilib, cheksiz ko'p turli xil to'rtburchaklar mavjud, ammo amalda, texnologiyada ularning faqat ma'lum turlari eng ko'p qo'llaniladi: kvadratlar, to'rtburchaklar, parallelogramlar, romblar, trapezoidlar.

Tushunchaning qamrov doirasini qismlarga bo'lish bu tushunchaning tasnifidir. Aniqroq aytganda, tasniflash deganda tushuncha ob'ektlarini eng ko'p bo'lgan shartlarga ko'ra o'zaro bog'liq bo'lgan sinflarga (turlarga, turlarga) taqsimlash tushuniladi. muhim xususiyatlar(xususiyatlari). Tushunchaning turlarga (sinflarga) tasnifi (bo'linishi) amalga oshiriladigan belgi (mulk) deyiladi. asos tasnifi.

Tushunchaning to'g'ri tuzilgan tasnifi kontseptsiya ob'ektlari o'rtasidagi eng muhim xususiyatlar va aloqalarni aks ettiradi, ushbu ob'ektlarning ko'pchiligini yaxshiroq boshqarishga yordam beradi, ushbu ob'ektlarning ushbu qo'llanilishi uchun eng muhim bo'lgan xususiyatlarini aniqlashga imkon beradi. boshqa fanlarda va kundalik amaliyotda tushuncha.

Kontseptsiya bir yoki bir nechta muhim asoslarga ko'ra tasniflanadi.

Shunday qilib, uchburchaklarni burchaklarning o'lchamiga ko'ra tasniflash mumkin. Biz quyidagi turlarni olamiz: o'tkir burchakli (barcha burchaklar o'tkir), to'rtburchaklar (bir burchak to'g'ri, qolganlari o'tkir), o'tkir burchakli (bir burchak o'tkir, qolganlari o'tkir). Agar tomonlar orasidagi nisbatlarni uchburchaklarni bo'lish uchun asos sifatida olsak, biz quyidagi turlarni olamiz: ko'p qirrali, teng yonli va muntazam (teng tomonli).

Agar kontseptsiyani bir nechta asoslar bo'yicha tasniflash kerak bo'lsa, bu qiyinroq. Demak, agar qavariq to'rtburchaklar tomonlarning parallelligi bo'yicha tasniflansa, u holda mohiyatan barcha qavariq to'rtburchaklarni bir vaqtning o'zida ikkita mezonga ko'ra ajratishimiz kerak: 1) qarama-qarshi tomonlarning bir jufti parallel yoki parallel emas; 2) qarama-qarshi tomonlarning ikkinchi juftligi parallel yoki parallel emas. Natijada, uch xil qavariq to'rtburchaklar hosil bo'ladi: 1) tomonlari parallel bo'lmagan to'rtburchaklar; 2) bir juft parallel tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar - trapetsiya; 3) ikki juft parallel tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar - parallelogrammalar.

Ko'pincha kontseptsiya bosqichma-bosqich tasniflanadi: birinchi navbatda, bir asosda, so'ngra ba'zi turlar boshqa asosda kichik turlarga bo'linadi va hokazo. To'rtburchaklar tasnifi bunga misoldir. Birinchi bosqichda ular konvekslik asosida bo'linadi. Keyin konveks to'rtburchaklar qarama-qarshi tomonlarning parallelizmiga ko'ra bo'linadi. O'z navbatida, parallelogrammalar to'g'ri burchaklar mavjudligiga qarab bo'linadi va hokazo.

Tasniflashda ma'lum qoidalarga rioya qilish kerak. Keling, asosiylarini ta'kidlaymiz.

1. Tasniflash uchun asos sifatida faqat olish mumkin umumiy xususiyat ushbu kontseptsiyaning barcha ob'ektlari. Demak, masalan, algebraik ifodalarni tasniflashda atamalarning qandaydir o‘zgaruvchining darajalarida joylashish belgisini asos qilib olish mumkin emas. Bu xususiyat barcha algebraik ifodalar uchun umumiy emas, masalan, kasrli ifodalar yoki monomiallar uchun mantiqiy emas. Bunday xususiyatga faqat polinomlar ega, shuning uchun polinomlarni asosiy o'zgaruvchining eng yuqori darajasiga ko'ra tasniflash mumkin.
2. Tasniflash uchun tushunchalarning muhim xossalari (xususiyatlari) asos sifatida olinishi kerak. Algebraik ifoda tushunchasini yana bir bor ko'rib chiqing. Bu tushunchaning xususiyatlaridan biri shundaki, algebraik ifodaga kiritilgan o‘zgaruvchilar ba’zi harflar bilan belgilanadi. Bu xususiyat umumiydir, lekin muhim emas, chunki ifodaning tabiati u yoki bu o'zgaruvchining qaysi harf bilan belgilanishiga bog'liq emas. Demak, algebraik ifodalar x+y Va a+b mohiyatan bir xil ifodadir. Shuning uchun iboralarni o'zgaruvchilarni harflar bilan belgilash asosida tasniflash shart emas. Yana bir narsa, algebraik ifodalarni tasniflashda asos qilib o‘zgaruvchilar bog‘langan amallar turi belgisini, ya’ni o‘zgaruvchilar ustida bajariladigan amallarni olsak. Bu umumiy xususiyat juda muhim va bu xususiyatga ko'ra tasniflash to'g'ri va foydali bo'ladi.
3. Tasniflashning har bir bosqichida faqat bitta asos qo'llanilishi mumkin. Bir vaqtning o'zida kontseptsiyani ikki xil mezon bo'yicha tasniflash mumkin emas. Masalan, uchburchaklarni o'lchamiga ko'ra ham, tomonlari orasidagi nisbatga ko'ra ham tasniflash mumkin emas, chunki natijada biz umumiy elementlarga ega bo'lgan uchburchaklar sinflarini olamiz (masalan, o'tkir va teng yon tomonli yoki do'lma va teng yon tomonli va boshqalar). Bu erda quyidagi tasniflash talabi buziladi: har bir bosqichda tasniflash natijasida hosil bo'lgan sinflar (turlar) kesishmasligi kerak.
4. Shu bilan birga negadir tasnif to'liq bo'lishi kerak va kontseptsiyaning har bir ob'ekti tasniflash natijasida bitta va faqat bitta sinfga tushishi kerak.

Shuning uchun barcha butun sonlarni musbat va manfiyga bo'lish noto'g'ri, chunki butun nol sinflarning hech biriga kirmagan. Buni aytishimiz kerak: butun sonlar uchta sinfga bo'linadi - musbat, salbiy va nol soni.

Ko'pincha, tushunchalarni tasniflashda faqat ba'zi sinflar aniq ajratiladi, qolganlari esa faqat nazarda tutiladi. Shunday qilib, masalan, algebraik ifodalarni o'rganayotganda, odatda, faqat shunday turdagi ifodalar ajratiladi: monomlar, ko'phadlar, kasrli ifodalar, irratsional. Ammo bu turlar algebraik ifodalarning barcha turlarini tugatmaydi, shuning uchun bunday tasnif to'liqsiz.

Algebraik ifodalarning to'liq to'g'ri tasnifini quyidagicha amalga oshirish mumkin.

Algebraik ifodalarni tasniflashning birinchi bosqichida ular ikki sinfga bo'linadi: ratsional va noratsional. Ikkinchi bosqichda ratsional ifodalar butun va kasrga bo'linadi. Uchinchi bosqichda butun sonli ifodalar monomiy, ko‘p nomli va murakkab butun sonli ifodalarga bo‘linadi.

Bu tasnifni quyidagicha ifodalash mumkin

Vazifa 7

7.1. Nima uchun ratsional sonlarni paritetiga qarab tasniflash mumkin emas?

7.2. Kontseptsiyaning bo'linishi to'g'ri yoki yo'qligini aniqlang:

a) qiymatlar teng yoki teng bo'lmagan bo'lishi mumkin.

b) Funksiyalar ortib boradi yoki kamayadi.

c) Teng yon tomonli uchburchaklar o‘tkir, to‘g‘ri yoki to‘q burchakli bo‘lishi mumkin.

d) To'rtburchaklar kvadrat va rombdir.

7.3. "Geometrik figura" tushunchasini tekislikning bir qismini egallash xususiyatiga ko'ra taqsimlang va har bir turga misollar keltiring.

7.4. Ratsional sonlar uchun mumkin bo'lgan tasnif sxemalarini tuzing.

7.5. Quyidagi tushunchalar uchun tasniflash sxemasini tuzing:

a) to'rtburchak;

b) ikkita burchak.

7.6. Quyidagi tushunchalarni tasniflang:

a) uchburchak va aylana;

b) aylanadagi burchaklar;

c) ikkita doira;

d) to'g'ri chiziq va aylana;

e) kvadrat tenglamalar;

f) ikkita noma'lumli birinchi darajali ikkita tenglamalar sistemasi.