كانت المعرفة الحقيقية في جميع الأوقات مبنية على إنشاء نموذج وإثبات صحته في ظروف معينة. خلال هذه الفترة الطويلة من وجود التفكير المنطقي ، تم تقديم صيغ القواعد ، وقام أرسطو حتى بتجميع قائمة "بالتفكير الصحيح". تاريخيًا ، من المعتاد تقسيم جميع الاستنتاجات إلى نوعين - من الملموس إلى الجمع (الاستقراء) والعكس صحيح (الاستنتاج). وتجدر الإشارة إلى أن أنواع الأدلة من خاص إلى عام ومن عام إلى خاص موجودة فقط في الترابط ولا يمكن تبادلها.

الاستقراء في الرياضيات

مصطلح "الاستقراء" (الاستقراء) له جذور لاتينية ويترجم حرفيا على أنه "توجيه". عند الدراسة الدقيقة ، يمكن للمرء أن يميز بنية الكلمة ، أي البادئة اللاتينية - in- (تشير إلى الفعل الموجه إلى الداخل أو الداخل) و -duction - المقدمة. تجدر الإشارة إلى أن هناك نوعين - الاستقراء الكامل وغير الكامل. يتميز الشكل الكامل باستنتاجات مستخلصة من دراسة جميع الموضوعات من فئة معينة.

غير مكتمل - استنتاجات مطبقة على جميع موضوعات الفصل ، ولكن تم إجراؤها على أساس دراسة بعض الوحدات فقط.

الاستقراء الرياضي الكامل هو استنتاج يستند إلى استنتاج عام حول الفئة الكاملة لأي كائنات مرتبطة وظيفيًا بعلاقات السلسلة الطبيعية للأرقام بناءً على معرفة هذا الاتصال الوظيفي. في هذه الحالة ، تتم عملية الإثبات على ثلاث مراحل:

• في المرحلة الأولى ، ثبت صحة بيان الاستقراء الرياضي. مثال: f = 1 ، الاستقراء ؛
• تعتمد المرحلة التالية على افتراض أن الموضع صالح لجميع الأعداد الطبيعية. وهذا يعني ، f = h ، هذا هو الافتراض الاستقرائي ؛
• في المرحلة الثالثة ، يتم إثبات صحة الموضع للرقم f = h + 1 ، بناءً على صحة موضع الفقرة السابقة - هذا انتقال استقرائي ، أو خطوة من الاستقراء الرياضي. مثال على ذلك هو ما يسمى إذا سقط أول عظم في الصف (الأساس) ، فإن كل العظام في الصف تسقط (الانتقال).

على حد سواء مازحا وجديا

لتسهيل الإدراك ، يتم استنكار أمثلة الحلول بطريقة الاستقراء الرياضي في شكل مشاكل مزحة. هذه هي مهمة قائمة الانتظار المهذبة:

• تحظر قواعد السلوك على الرجل أن يأخذ دورًا أمام امرأة (في مثل هذه الحالة ، يُسمح لها بالمقدمة). وبناءً على هذا القول ، إذا كان الأخير رجلاً ، فكل البقية رجال.

من الأمثلة الصارخة على طريقة الاستقراء الرياضي مشكلة "رحلة بلا أبعاد":

• مطلوب إثبات أن أي عدد من الأشخاص يناسب الحافلة الصغيرة. صحيح أنه يمكن لشخص واحد أن يتسع داخل وسيلة النقل دون صعوبة (أساس). ولكن بغض النظر عن مدى امتلاء الحافلة الصغيرة ، فإن راكبًا واحدًا سيكون مناسبًا لها دائمًا (خطوة الاستقراء).

دوائر مألوفة

أمثلة حل المشكلات والمعادلات عن طريق الاستقراء الرياضي شائعة جدًا. كتوضيح لهذا النهج ، يمكننا النظر في المشكلة التالية.

حالة: ح يتم وضع الدوائر على المستوى. يجب إثبات أنه ، لأي ترتيب للأشكال ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

المحلول: بالنسبة إلى h = 1 ، فإن حقيقة العبارة واضحة ، لذلك سيتم بناء الدليل لعدد الدوائر h + 1.

لنفترض أن العبارة صحيحة لأي خريطة ، وأن دوائر h + 1 معطاة على المستوى. من خلال إزالة إحدى الدوائر من الإجمالي ، يمكنك الحصول على خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين (أبيض وأسود).

عند استعادة دائرة محذوفة ، يتغير لون كل منطقة إلى العكس (في هذه الحالة ، داخل الدائرة). اتضح أن الخريطة ملونة بشكل صحيح بلونين ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

أمثلة مع الأعداد الطبيعية

يظهر تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي بوضوح أدناه.

أمثلة الحل:

إثبات أن المساواة ستكون صحيحة لأي ساعة:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + h 2 = h (h + 1) (2h + 1) / 6.

1. دع h = 1 ، ثم:

R 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

ويترتب على ذلك أن العبارة h = 1 صحيحة.

2. بافتراض أن h = d ، يتم الحصول على المعادلة التالية:

R 1 \ u003d د 2 \ u003d د (د + 1) (2d + 1) / 6 \ u003d 1

3. بافتراض أن h = d + 1 ، اتضح أن:

R د + 1 = (د + 1) (د + 2) (2 د + 3) / 6

R د + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + د 2 + (د + 1) 2 = د (د + 1) (2 د + 1) / 6 + (د + 1) 2 = (د ( د + 1) (2d + 1) +6 (د + 1) 2) / 6 = (د + 1) (د (2 د + 1) +6 (ك + 1)) / 6 =

(د + 1) (2d 2 + 7d + 6) / 6 = (د + 1) (2 (د + 3/2) (د + 2)) / 6 = (د + 1) (د + 2) ( 2d + 3) / 6.

وبالتالي ، تم إثبات صحة المساواة لـ h = d + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي، والذي يظهر في مثال الحل عن طريق الاستقراء الرياضي.

مهمة

حالة: مطلوب إثبات أنه لأي قيمة لـ h ، فإن التعبير 7 h -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي.

المحلول:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة:

R 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 (أي مقسومة على 6 بدون باقي)

لذلك ، بالنسبة إلى h = 1 ، تكون العبارة صحيحة ؛

2. لنفترض أن h = d و 7 d -1 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي ؛

3. الدليل على صحة بيان h = d + 1 هو الصيغة:

ص د +1 = 7 د +1 -1 = 7 7 د -7 + 6 = 7 (7 د -1) +6

في هذه الحالة ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 6 بافتراض الفقرة الأولى ، والحد الثاني يساوي 6. العبارة القائلة بأن 7 h -1 قابلة للقسمة على 6 دون الباقي لأي h طبيعي صحيحة.

مغالطة الحكم

في كثير من الأحيان ، يتم استخدام التفكير غير الصحيح في البراهين ، بسبب عدم دقة التركيبات المنطقية المستخدمة. في الأساس ، يحدث هذا عندما يتم انتهاك هيكل ومنطق الدليل. مثال على التفكير غير الصحيح هو الرسم التوضيحي التالي.

مهمة

حالة: يتطلب إثبات أن أي كومة من الحجارة ليست كومة.

المحلول:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة يوجد حجر واحد في الكومة والبيان صحيح (الأساس) ؛

2. ليكن صحيحًا بالنسبة إلى h = d أن كومة الحجارة ليست كومة (افتراض) ؛

3. لنفترض أن h = d + 1 ، والتي يتبعها أنه عند إضافة حجر آخر ، لن تكون المجموعة كومة. يقترح الاستنتاج نفسه أن الافتراض صالح لجميع h الطبيعي.

يكمن الخطأ في حقيقة أنه لا يوجد تعريف لعدد الحجارة التي تشكل كومة. يسمى هذا الإغفال التعميم المتسرع في طريقة الاستقراء الرياضي. مثال يوضح هذا بوضوح.

الاستقراء وقوانين المنطق

تاريخيًا ، هم دائمًا "يسيرون جنبًا إلى جنب". مثل التخصصات العلميةمثل المنطق ، الفلسفة تصفهم كأضداد.

من وجهة نظر قانون المنطق ، تستند التعريفات الاستقرائية إلى الحقائق ، ولا تحدد صحة المقدمات صحة البيان الناتج. غالبًا ما يتم الحصول على الاستنتاجات بدرجة معينة من الاحتمال والمعقولية ، والتي ، بالطبع ، يجب التحقق منها وتأكيدها من خلال بحث إضافي. مثال على الاستقراء في المنطق سيكون البيان:

جفاف في إستونيا ، جفاف في لاتفيا ، جفاف في ليتوانيا.

إستونيا ولاتفيا وليتوانيا هي دول البلطيق. الجفاف في جميع دول البلطيق.

من المثال ، يمكننا أن نستنتج أنه لا يمكن الحصول على معلومات أو حقيقة جديدة باستخدام طريقة الاستقراء. كل ما يمكن الاعتماد عليه هو بعض صحة الاستنتاجات الممكنة. علاوة على ذلك ، فإن حقيقة المبنى لا تضمن نفس الاستنتاجات. ومع ذلك ، فإن هذه الحقيقة لا تعني أن نباتات الاستقراء في الفناء الخلفي للاستنباط: تم إثبات عدد كبير من الأحكام والقوانين العلمية باستخدام طريقة الاستقراء. يمكن أن تكون الرياضيات وعلم الأحياء والعلوم الأخرى بمثابة مثال. هذا يرجع بشكل أساسي إلى طريقة الحث الكامل ، ولكن في بعض الحالات يكون الجزئي قابلاً للتطبيق أيضًا.

سمح عصر الاستقراء الموقر له بالتغلغل في جميع مجالات النشاط البشري تقريبًا - وهذا هو العلم والاقتصاد والاستنتاجات اليومية.

الاستقراء في البيئة العلمية

تتطلب طريقة الاستقراء موقفًا صارمًا ، لأن الكثير يعتمد على عدد تفاصيل الكل المدروس: ماذا أكثرتمت دراستها ، كلما كانت النتيجة أكثر موثوقية. بناءً على هذه الميزة ، يتم اختبار القوانين العلمية التي تم الحصول عليها بطريقة الاستقراء لفترة طويلة بما فيه الكفاية على مستوى الافتراضات الاحتمالية من أجل عزل ودراسة جميع العناصر الهيكلية والوصلات والتأثيرات الممكنة.

في العلم ، يعتمد الاستنتاج الاستقرائي على ميزات مهمة، باستثناء المناصب العشوائية. هذه الحقيقةمهم بسبب الطبيعة معرفة علمية. يظهر هذا بوضوح في أمثلة الاستقراء في العلم.

هناك نوعان من الاستقراء في العالم العلمي (فيما يتعلق بطريقة الدراسة):

1. اختيار الحث (أو الاختيار) ؛
2. الاستقراء - الاستبعاد (الإقصاء).

النوع الأول يتميز بأخذ عينات منهجي (دقيق) لفئة (فئات فرعية) من مناطقها المختلفة.

مثال على هذا النوع من الحث كما يلي: الفضة (أو أملاح الفضة) تنقي الماء. يستند الاستنتاج إلى ملاحظات طويلة المدى (نوع من اختيار التأكيدات والتفنيد - الاختيار).

النوع الثاني من الاستقراء يعتمد على استنتاجات السببيةواستبعاد الظروف التي لا تتفق مع خصائصها وهي الشمولية ومراعاة التسلسل الزمني والضرورة وعدم الغموض.

الاستقراء والاستنباط من وجهة نظر الفلسفة

إذا نظرت إلى الماضي بأثر رجعي ، فإن مصطلح "الاستقراء" كان أول من ذكره سقراط. وصف أرسطو أمثلة الاستقراء في الفلسفة في قاموس مصطلحات أكثر تقريبية ، لكن مسألة الاستقراء غير الكامل تظل مفتوحة. بعد اضطهاد القياس المنطقي الأرسطي ، بدأ الاعتراف بالطريقة الاستقرائية على أنها مثمرة والأسلوب الوحيد الممكن في العلوم الطبيعية. يعتبر بيكون أب الاستقراء كطريقة خاصة مستقلة ، لكنه فشل ، كما طالب معاصروه ، في الفصل بين الاستقراء والطريقة الاستنتاجية.

تم إجراء مزيد من التطوير للحث بواسطة J. Mill ، الذي نظر في نظرية الحث من وجهة نظر أربع طرق رئيسية: الاتفاق ، والاختلاف ، والمخلفات والتغييرات المقابلة. ليس من المستغرب أن تكون الأساليب المدرجة اليوم ، عند النظر فيها بالتفصيل ، استنتاجية.

أدى الوعي بعدم اتساق نظريات بيكون وميل إلى قيام العلماء بالتحقيق في الأساس الاحتمالي للاستقراء. ومع ذلك ، حتى هنا كانت هناك بعض التطرف: بذلت محاولات لتقليل الاستقراء لنظرية الاحتمال ، مع كل النتائج المترتبة على ذلك.

يستقبل الاستقراء تصويتًا بالثقة عندما تطبيق عمليفي بعض المناطق الخاضعةوبفضل الدقة المترية للقاعدة الاستقرائية. يمكن اعتبار مثال الاستقراء والاستنباط في الفلسفة قانون الجاذبية الكونية. في تاريخ اكتشاف القانون ، تمكن نيوتن من التحقق منه بدقة تبلغ 4 في المائة. وعند التدقيق بعد أكثر من مائتي عام تأكدت صحته بدقة قدرها 0.0001٪ ، على الرغم من أن الفحص تم بنفس التعميمات الاستقرائية.

تولي الفلسفة الحديثة مزيدًا من الاهتمام للاستنتاج ، الذي تمليه رغبة منطقية لاشتقاق معرفة جديدة (أو حقيقة) مما هو معروف بالفعل ، دون اللجوء إلى الخبرة ، والحدس ، ولكن باستخدام التفكير "الخالص". عند الإشارة إلى المقدمات الصحيحة في الطريقة الاستنتاجية ، في جميع الحالات ، يكون الناتج عبارة صحيحة.

هذه الخاصية الهامة جدا لا ينبغي أن تلقي بظلالها على قيمة الطريقة الاستقرائية. منذ الاستقراء ، بناءً على إنجازات الخبرة ، يصبح أيضًا وسيلة لمعالجتها (بما في ذلك التعميم والتنظيم).

تطبيق الاستقراء في الاقتصاد

لطالما استخدم الاستقراء والاستقراء كوسائل لدراسة الاقتصاد والتنبؤ بتطوره.

نطاق استخدام طريقة الاستقراء واسع جدًا: دراسة استيفاء مؤشرات التنبؤ (الربح ، الاستهلاك ، إلخ) و المجموع النهائيحالة المشروع تشكيل سياسة ترويج فعالة للمؤسسة على أساس الحقائق وعلاقاتهم.

يتم استخدام نفس طريقة الاستقراء في مخططات Shewhart ، حيث ، في ظل افتراض أن العمليات مقسمة إلى خاضعة للرقابة وغير مُدارة ، يُذكر أن إطار العملية الخاضعة للرقابة غير نشط.

وتجدر الإشارة إلى أن القوانين العلمية مبررة ومثبتة بطريقة الاستقراء ، وبما أن الاقتصاد علم يستخدم غالبًا التحليل الرياضي ونظرية المخاطر والبيانات الإحصائية ، فليس من المستغرب أن يتم تضمين الاستقراء في قائمة الأساليب الرئيسية.

يمكن أن تكون الحالة التالية بمثابة مثال على الاستقراء والخصم في الاقتصاد. تدفع الزيادة في أسعار المواد الغذائية (من سلة المستهلك) والسلع الأساسية المستهلك إلى التفكير في التكلفة المرتفعة الناشئة في الدولة (الاستقراء). في الوقت نفسه ، من حقيقة التكلفة العالية بمساعدة الطرق الرياضيةمن الممكن اشتقاق مؤشرات نمو الأسعار للسلع الفردية أو فئات السلع (الخصم).

في أغلب الأحيان ، يلجأ موظفو الإدارة والمديرون والاقتصاديون إلى طريقة الاستقراء. من أجل التمكن من التنبؤ بتطور المؤسسة وسلوك السوق وعواقب المنافسة بصدق كافٍ ، من الضروري اتباع نهج استقرائي استنتاجي لتحليل المعلومات ومعالجتها.

مثال توضيحي للاستقراء في الاقتصاد ، بالإشارة إلى الأحكام الخاطئة:

• انخفض ربح الشركة بنسبة 30٪ ؛
  قام أحد المنافسين بتوسيع خط إنتاجه ؛
  لم يتغير شيء آخر.
• تسببت سياسة الإنتاج لشركة منافسة في خفض الأرباح بنسبة 30٪ ؛
• لذلك ، يجب تنفيذ نفس سياسة الإنتاج.

هذا المثال هو توضيح ملون لكيفية مساهمة الاستخدام غير الكفؤ لطريقة الاستقراء في خراب المؤسسة.

الاستنباط والاستقراء في علم النفس

نظرًا لوجود طريقة ، فمن المنطقي أن يكون هناك أيضًا تفكير منظم بشكل صحيح (لاستخدام الطريقة). علم النفس كعلم يدرس العمليات العقلية، وتكوينها ، وتطورها ، وعلاقاتها ، وتفاعلاتها ، تولي اهتماما للتفكير "الاستنتاجي" ، كأحد أشكال مظاهر الاستنتاج والاستقراء. لسوء الحظ ، على صفحات علم النفس على الإنترنت ، لا يوجد عمليًا أي مبرر لسلامة الأسلوب الاستنتاجي الاستقرائي. على الرغم من أنه من المرجح أن يواجه علماء النفس المحترفون مظاهر الاستقراء ، أو بالأحرى ، استنتاجات خاطئة.

مثال على الاستقراء في علم النفس ، كتوضيح للأحكام الخاطئة ، هو البيان: أمي مخادعة ، وبالتالي ، فإن جميع النساء مخادعات. هناك المزيد من الأمثلة "الخاطئة" للاستقراء من الحياة:

• لا يكون الطالب قادرًا على أي شيء إذا حصل على شيطان في الرياضيات ؛
• إنه أحمق.
• إنه ذكي؛
• انا استطيع عمل كل شىء؛

والعديد من الأحكام القيمية الأخرى المستندة إلى رسائل عشوائية تمامًا وأحيانًا غير مهمة.

وتجدر الإشارة إلى: عندما تصل مغالطة أحكام الشخص إلى حد السخافة ، تظهر أمام المعالج النفسي واجهة عمل. مثال واحد للتحريض في موعد متخصص:

"المريض على يقين تام من أن اللون الأحمر يحمل خطرا عليه فقط في أي مظهر من مظاهره. نتيجة لذلك ، استبعد الشخص مخطط الألوان هذا من حياته - قدر الإمكان. في بيئة المنزل ، هناك العديد من الفرص لحياة مريحة. يمكنك رفض جميع العناصر الحمراء أو استبدالها بنظائرها المصنوعة في نظام ألوان مختلف. ولكن في في الأماكن العامة، في العمل ، في المتجر - هذا مستحيل. عند الدخول في حالة من التوتر ، يعاني المريض في كل مرة من "موجة" مختلفة تمامًا حالات عاطفيةمما قد يشكل خطرا على الآخرين ".

هذا المثال من الاستقراء ، وبغير وعي ، يسمى "الأفكار الثابتة". إذا حدث هذا لشخص يتمتع بصحة نفسية ، فيمكننا التحدث عن نقص التنظيم نشاط عقلى. طريقة التخلص من الدول المهووسةيمكن أن يصبح تطويرًا أوليًا للتفكير الاستنتاجي. في حالات أخرى ، يعمل الأطباء النفسيون مع هؤلاء المرضى.

تشير أمثلة الاستقراء المذكورة أعلاه إلى أن "الجهل بالقانون لا يعفي من العواقب (الأحكام الخاطئة)".

قام علماء النفس ، الذين يعملون في موضوع التفكير الاستنتاجي ، بتجميع قائمة من التوصيات المصممة لمساعدة الناس على إتقان هذه الطريقة.

الخطوة الأولى هي حل المشكلة. كما يتضح ، يمكن اعتبار شكل الاستقراء المستخدم في الرياضيات "كلاسيكيًا" ، واستخدام هذه الطريقة يساهم في "انضباط" العقل.

الشرط التالي لتطور التفكير الاستنتاجي هو توسيع الآفاق (أولئك الذين يفكرون بوضوح ويذكرون بوضوح). توجه هذه التوصية "المعاناة" إلى خزائن العلم والمعلومات (المكتبات ، المواقع الإلكترونية ، المبادرات التعليمية ، السفر ، إلخ).

بشكل منفصل ، يجب ذكر ما يسمى "الاستقراء النفسي". يمكن العثور على هذا المصطلح ، على الرغم من ندرة حدوثه ، على الإنترنت. لا تقدم جميع المصادر على الأقل تعريفًا موجزًا ​​لهذا المصطلح ، ولكنها تشير إلى "أمثلة من الحياة" ، بينما يتم تمريرها على أنها النوع الجديدالاستقراء إما اقتراح ، أو بعض أشكال المرض العقلي ، أو الحالات القصوى للنفسية البشرية. مما سبق يتضح أن محاولة استنتاج " مصطلح جديد"، الاعتماد على المقدمات الزائفة (غير الصحيحة في كثير من الأحيان) ، يحكم على المجرب أن يتلقى بيانًا خاطئًا (أو متسرعًا).

وتجدر الإشارة إلى أن الإشارة إلى تجارب 1960 (دون الإشارة إلى المكان ، وأسماء المجربين ، وعينة الأشخاص ، والأهم من ذلك ، الغرض من التجربة) تبدو ، بعبارة ملطفة ، غير مقنعة ، والبيان أن الدماغ يدرك المعلومات التي تتجاوز جميع أعضاء الإدراك (فإن عبارة "ذوي الخبرة" في هذه الحالة تتلاءم بشكل عضوي أكثر) ، تجعل المرء يفكر في سذاجة وعدم انتقاد كاتب البيان.

بدلا من الاستنتاج

تستخدم ملكة العلوم - الرياضيات ، ليس عبثًا ، جميع الاحتياطيات الممكنة لطريقة الاستقراء والاستنتاج. تتيح لنا الأمثلة المدروسة أن نستنتج أن التطبيق السطحي وغير الكفؤ (كما يقولون) حتى أكثر الأساليب دقة وموثوقية يؤدي دائمًا إلى نتائج خاطئة.

في الوعي الجماعيترتبط طريقة الاستنتاج بشيرلوك هولمز الشهير ، الذي غالبًا ما يستخدم في إنشائه المنطقي أمثلة على الاستقراء ، باستخدام الاستنتاج في المواقف الضرورية.

تناولت المقالة أمثلة على تطبيق هذه الأساليب في مختلف العلوم ومجالات الحياة البشرية.

يشكل الاستقراء الرياضي أحد أكثر طرق البراهين الرياضية شيوعًا. يمكن استخدامه لإثبات عظمالصيغ ذات الأرقام الطبيعية n ، على سبيل المثال ، صيغة إيجاد مجموع المصطلحات الأولى للتقدم S n \ u003d 2 a 1 + n - 1 d 2 n ، صيغة نيوتن ذات الحدين a + b n \ u003d C n 0 a n C ن 1 أ ن - 1 ب +. . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n.

في الفقرة الأولى ، سنحلل المفاهيم الأساسية ، ثم نأخذ في الاعتبار أساسيات الطريقة نفسها ، ثم سنخبرك بكيفية استخدامها لإثبات المساواة وعدم المساواة.

مفاهيم الاستقراء والاستنتاج

أولاً ، دعنا ننظر إلى ماهية الاستقراء والخصم بشكل عام.

التعريف 1

تعريفيهو الانتقال من الخاص إلى العام ، و المستقطععلى العكس من ذلك ، من العام إلى الخاص.

على سبيل المثال ، لدينا عبارة: يمكن تقسيم 254 إلى قسمين تمامًا. من خلاله يمكننا استخلاص العديد من الاستنتاجات ، من بينها سيكون هناك صواب وخطأ. على سبيل المثال ، فإن العبارة القائلة بأن جميع الأعداد الصحيحة التي تحتوي على الرقم 4 في نهايتها يمكن قسمة اثنين دون باقي هي صحيحة ، ولكن أي عدد من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 2 هو خطأ.

بشكل عام ، يمكن القول أنه بمساعدة التفكير الاستقرائي يمكن للمرء الحصول على العديد من الاستنتاجات من تفكير واحد معروف أو واضح. يسمح لنا الاستقراء الرياضي بتحديد مدى صحة هذه الاستنتاجات.

افترض أن لدينا سلسلة من الأرقام مثل 1 1 2 ، 1 2 3 ، 1 3 4 ، 1 4 5 ،. . . ، 1 n (n + 1) ، حيث n تشير إلى عدد طبيعي. في هذه الحالة ، عند إضافة العناصر الأولى من التسلسل ، نحصل على ما يلي:

S 1 \ u003d 1 1 2 \ u003d 1 2 ، S 2 \ u003d 1 1 2 + 1 2 3 \ u003d 2 3 ، S 3 \ u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \ u003d 3 4 ، S 4 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5. . .

باستخدام الاستقراء ، يمكننا استنتاج أن S n = n n + 1. في الجزء الثالث سنثبت هذه الصيغة.

ما هي طريقة الاستقراء الرياضي

تعتمد هذه الطريقة على مبدأ نفس الاسم. تمت صياغته على النحو التالي:

التعريف 2

بيان معين سيكون صحيحًا لقيمة طبيعية n عندما 1) سيكون صحيحًا لـ n = 1 و 2) من حقيقة أن هذا التعبير صحيح بالنسبة لقيمة طبيعية تعسفية n = k ، ويترتب على ذلك أنه سيكون أيضًا صحيحًا لـ n = k + 1.

يتم تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في 3 مراحل:

1. أولاً ، نتحقق من صحة العبارة الأصلية في حالة القيمة الطبيعية التعسفية لـ n (عادةً ما يتم إجراء الاختبار للوحدة).
2. بعد ذلك ، نتحقق من الدقة عند n = k.
3. ثم نثبت صحة العبارة إذا كان n = k + 1.

كيفية تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي عند حل المتباينات والمعادلات

لنأخذ المثال الذي تحدثنا عنه سابقًا.

مثال 1

اثبت الصيغة S n = 1 1 2 + 1 2 3 +. . . + 1 ن (ن + 1) = ن ن + 1.

المحلول

كما نعلم بالفعل ، لتطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، يجب تنفيذ ثلاث خطوات متتالية.

1. أولاً ، نتحقق مما إذا كانت هذه المساواة ستكون صالحة لـ n يساوي واحدًا. نحصل على S 1 \ u003d 1 1 2 \ u003d 1 1 + 1 \ u003d 1 2. كل شيء صحيح هنا.
2. علاوة على ذلك ، نفترض أن الصيغة S k = k k + 1 صحيحة.
3. في الخطوة الثالثة ، نحتاج إلى إثبات أن S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ، بناءً على صحة المساواة السابقة.

يمكننا تمثيل k + 1 كمجموع للشروط الأولى من التسلسل الأصلي و k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

نظرًا لأننا في الخطوة الثانية حصلنا على S k = k k + 1 ، يمكننا كتابة ما يلي:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2).

الآن نقوم بإجراء التحولات اللازمة. علينا تقليل الكسر إلى القاسم المشترك، بإحضار المصطلحات المتشابهة ، قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة وتقليل ما حدث:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = ك 2 + 2 ك + 1 ك + 1 (ك + 2) = (ك + 1) 2 ك + 1 (ك + 2) = ك + 1 ك + 2

وهكذا ، فقد أثبتنا المساواة في النقطة الثالثة من خلال تنفيذ جميع الخطوات الثلاث لطريقة الاستقراء الرياضي.

إجابه:الافتراض حول الصيغة S n = n n + 1 صحيح.

لنأخذ مشكلة أكثر تعقيدًا مع الدوال المثلثية.

مثال 2

قدِّم إثباتًا للهوية cos 2 α · cos 4 α ·. . . cos 2 n α \ u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

المحلول

كما نتذكر ، يجب أن تكون الخطوة الأولى هي التحقق من صحة المساواة عندما يساوي n واحدًا. لمعرفة ذلك ، علينا تذكر الصيغ المثلثية الأساسية.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

لذلك ، بالنسبة لـ n يساوي واحدًا ، ستكون المتطابقة صحيحة.

افترض الآن أن صلاحيتها محفوظة لـ n = k ، أي سيكون صحيحًا أن cos 2 α · cos 4 α ·. . . cos 2 k α \ u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

نثبت المساواة cos 2 α · cos 4 α ·. . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α للحالة عندما n = k + 1 ، بناءً على الافتراض السابق.

وفقًا للصيغة المثلثية ،

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

بالتالي،

كوس 2 α كوس 4 α. . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α ·. . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 ك + 1 sin 2 α

تم إعطاء مثال لحل مشكلة إثبات عدم المساواة باستخدام هذه الطريقة في مقالة طريقة المربعات الصغرى. اقرأ الفقرة التي يتم فيها اشتقاق الصيغ الخاصة بإيجاد معاملات التقريب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

مدرسة MBOU الثانوية "الفنية والاقتصادية"

طريقة الحث الرياضي

طريقة الحث الرياضي.

ملاحظة توضيحية

تم تجميع "طريقة الاستقراء الرياضي" للتطوير المنهجي لطلبة الصف العاشر من الملف الرياضي.

الأهداف الأساسية: تعريف الطلاب بطريقة الاستقراء الرياضي وتعليم كيفية تطبيقها في حل المشكلات المختلفة.

في التطوير المنهجييتم النظر في أسئلة الرياضيات الابتدائية: مشاكل القابلية للقسمة ، وإثبات الهويات ، وإثبات عدم المساواة ، ومشاكل بدرجات متفاوتة من التعقيد مقترحة ، بما في ذلك المشاكل المعروضة في الأولمبياد.

دور الاستدلالات الاستقرائية في العلوم التجريبية كبير جدًا. أنها تعطي تلك الأحكام ، والتي من ثم يتم التوصل إلى مزيد من الاستنتاجات عن طريق الخصم. اسم طريقة الاستقراء الرياضيمخادع - في الواقع ، هذه الطريقة استنتاجية وتعطي دليلًا صارمًا على العبارات التي تم تخمينها عن طريق الاستقراء. تساهم طريقة الاستقراء الرياضي في تحديد الروابط بين أقسام الرياضيات المختلفة ، وتساعد على تطوير الثقافة الرياضية للطالب.

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي. الاستقراء الكامل وغير الكامل. إثبات عدم المساواة. إثبات الهويات. حل مشاكل القسمة. حل مسائل مختلفة حول موضوع "طريقة الاستقراء الرياضي".

الآداب للمعلم

1. ML جاليتسكي. تعلم عميقمسار الجبر والتحليل الرياضي. - م التنوير .1986.

2. L.I. Zvavich. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية. دروفا .2001.

3. نيا فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. التنوير م. 1995.

4. يو في ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NGU 1995.

آداب الطلاب

1. نيا فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. التنوير م. 1995.

2. يو في ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NGU 1995.

الكلمات الدالة

الاستقراء ، البديهية ، مبدأ الاستقراء الرياضي ، الاستقراء الكامل ، الاستقراء غير الكامل ، التأكيد ، الهوية ، عدم المساواة ، القابلية للقسمة.

الملحق DIDACTIC للموضوع

"طريقة الاستدلال الرياضي".

الدرس 1

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي.

طريقة الاستقراء الرياضي هي واحدة من طريقة عالية الكفاءةالبحث عن نتائج جديدة وإثبات صحة الافتراضات المقترحة. على الرغم من أن هذه الطريقة ليست جديدة في الرياضيات ، إلا أن الاهتمام بها لا يتضاءل. لأول مرة في عرض واضح ، تم تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في القرن السابع عشر من قبل العالم الفرنسي المتميز بليز باسكال في إثبات خصائص مثلث الأرقام ، الذي سمي بعده باسمه. ومع ذلك ، فإن فكرة الاستقراء الرياضي كانت معروفة لدى الإغريق القدماء. تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي ، والذي يتم قبوله كبديهية. سننظر في فكرة الاستقراء الرياضي مع الأمثلة.

مثال 1.

يُقسم المربع بقطعة إلى جزأين ، ثم يُقسم أحد الأجزاء الناتجة إلى جزأين ، وهكذا. حدد عدد الأجزاء المقسمة إلى المربع صخطوات؟

المحلول.

بعد الخطوة الأولى ، نحصل على جزأين حسب الشرط. في الخطوة الثانية ، نترك جزءًا واحدًا دون تغيير ، ونقسم الجزء الثاني إلى جزأين ونحصل على 3 أجزاء. في الخطوة الثالثة ، نترك جزأين دون تغيير ، ونقسم الجزء الثالث إلى قسمين ونحصل على 4 أجزاء. في الخطوة الرابعة ، نترك 3 أجزاء دون تغيير ، ونقسم الجزء الأخير إلى قسمين ونحصل على 5 أجزاء. في الخطوة الخامسة ، سنحصل على 6 أجزاء. يتم تقديم هذا الاقتراح من خلال صخطوات نحصل عليها (ن + 1)جزء. لكن هذا الاقتراح يحتاج إلى إثبات. دعنا نفترض ذلك من خلال إلىخطوات ينقسم المربع إليها (ك + 1)جزء. ثم على (ك + 1)خطوة نحن إلىالأجزاء ستترك دون تغيير ، و (ك + 1)قسّم الجزء إلى قسمين واحصل على (ك + 2)القطع. ستلاحظ أنه يمكنك المجادلة بهذه الطريقة طالما أردت ، بلا حدود. هذا هو ، افتراضنا هو ذلك صسيتم تقسيم مربع الخطوات إلى (ن + 1)الجزء ، يصبح مثبتًا.

المثال رقم 2.

كان لجدتي حفيدة كانت مولعة جدًا بالمربى ، وخاصة تلك الموجودة في وعاء لتر. لكن الجدة لم تسمح له بلمس. وقررت الحفيدات أن يخدعن جدتهن. قرر أن يأكل كل يوم 1/10 لتر من هذا البرطمان وأن يعلوه بالماء ويخلط جيدًا. بعد كم يوم تكتشف الجدة الخداع إذا ظل المربى كما هو في المظهر عند تخفيفه بالماء بمقدار النصف؟

المحلول.

اكتشف مقدار المربى النقي المتبقي في البرطمان بعد ذلك صأيام. بعد اليوم الأول سيبقى الخليط في البرطمان المكون من 9/10 مربى و 1/10 ماء. بعد يومين ، يختفي 1/10 من خليط الماء والمربى من البرطمان ويتبقى (1 لتر من الخليط يحتوي على 9/10 لتر من المربى ، 1/10 لتر من الخليط تحتوي على 9/100 لتر من المربى)

9/10 - 9/100 = 81/100 = (9/10) 2 لتر من المربى. في اليوم الثالث ، يختفي من البرطمان 1/10 لتر من الخليط المكون من 81/100 مربى و 19/100 ماء. في 1 لتر من الخليط يوجد 81/100 لتر من المربى ، في 1/10 لتر من الخليط 81/1000 لتر من المربى. 81/100 - 81/1000 =

729/1000 = (9/10) 3 لترات من المربى ستبقى بعد 3 أيام ، والباقي سيشرب بالماء. يظهر نمط. خلال صالأيام المتبقية في البنك (9/10) صالمربى. لكن مرة أخرى ، هذا مجرد تخميننا.

يترك إلىهو رقم طبيعي تعسفي. دعنا نفترض ذلك من خلال إلىستبقى الأيام في البنك (9/10) إلى المربى. دعونا نرى ماذا سيكون في البنك في يوم آخر ، أي في (ك + 1)يوم. سوف تختفي من البنك 1/10 لترخليط من (9/10) إلى لالمربى والماء. في 1 لترالخليط (9/10) إلى لمربى في 1/10 لترمخاليط (9/10) ك + 1 لمربى. الآن يمكننا أن نقول ذلك بأمان من خلال صالأيام المتبقية في البنك (9/10) ص لمربى. في غضون 6 أيام ، سيكون لدى البنك 531444/1000000 لترالمربيات ، بعد 7 أيام - 4782969/10000000 لترمربى ، أي أقل من النصف.

إجابه:بعد 7 أيام تكتشف الجدة الخداع.

دعونا نحاول تحديد أبسط الحلول للمشكلات المدروسة. بدأنا في حل كل منها من خلال النظر في حالات منفصلة أو ، كما يقولون ، خاصة. بعد ذلك ، بناءً على ملاحظاتنا ، قمنا ببعض الافتراضات ف (ن)اعتمادا على الطبيعة ص.

تم التحقق من التأكيد ، أي تم إثباته ف (1) ، ف (2) ، ف (3) ؛

اقترح ذلك ف (ن)صالحة ل ن = كواستنتج أنه سيكون ساري المفعول في اليوم التالي ن ، ن = ك + 1.

ثم جادلوا بشيء مثل هذا: ص (1)حقا، ص (2)حقا، ص (3)حقا، ص (4)صحيح ... هذا صحيح ف (ن).

مبدأ الاستقراء الرياضي.

بيان - تصريح ف (ن)اعتمادا على الطبيعة ص، صالحة لجميع الطبيعية ص، إذا

1) صحة التوكيد ل ن = 1 ؛

2) من افتراض صحة البيان ف (ن)في ن = كينبغي

العدل ف (ن)في ن = ك + 1.

في الرياضيات ، يتم اختيار مبدأ الاستقراء الرياضي ، كقاعدة عامة ، كواحدة من البديهيات التي تحدد سلسلة الأرقام الطبيعية ، وبالتالي ، يتم قبولها بدون دليل. عادة ما تسمى طريقة الإثبات بمبدأ الاستقراء الرياضي طريقة الاستقراء الرياضي. لاحظ أن هذه الطريقة تستخدم على نطاق واسع في إثبات النظريات والهويات وعدم المساواة في حل مشاكل القسمة والعديد من المشاكل الأخرى.

الدرس 2

الاستقراء الكامل وغير الكامل.

في الحالة التي تتعلق فيها العبارة الرياضية بعدد محدد من العناصر ، يمكن إثباتها بالتحقق من كل عنصر ، على سبيل المثال ، العبارة "كل ثنائي القيمة رقم زوجيهو مجموع اثنين الأعداد الأولية". طريقة الإثبات التي نختبر فيها عبارة لعدد محدود من الحالات تسمى الاستقراء الرياضي الكامل. نادرًا ما تُستخدم هذه الطريقة نسبيًا ، نظرًا لأن العبارات غالبًا ما يتم اعتبارها في مجموعات لا نهائية. على سبيل المثال ، نظرية "أي عدد زوجي يساوي مجموع عددين أوليين" لم يتم إثباتها أو دحضها حتى الآن. حتى لو اختبرنا هذه النظرية للمليار الأول ، فلن يقربنا خطوة واحدة من إثباتها.

في علوم طبيعيةتطبيق الاستقراء غير المكتمل ، والتحقق من التجربة عدة مرات ، ونقل النتيجة إلى جميع الحالات.

المثال رقم 3

خمن باستخدام صيغة الاستقراء غير المكتملة لمجموع مكعبات الأعداد الطبيعية.

المحلول.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 2 ؛ … ؛ 1 3 +2 3 + ... + ن 3 = (1 + 2 + ... + ن) 2.

دليل - إثبات.

فليكن صحيحا ل ن = ك.

دعنا نثبت صحة ذلك ن = ك + 1.

الخلاصة: صيغة مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية صحيحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 4

ضع في اعتبارك المساواة وخمن ما يؤدي إليه القانون العام الذي تؤدي إليه هذه الأمثلة.

المحلول.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

المثال الخامس

اكتب العبارات التالية كمجموع:

1)
2)
3)
; 4)
.

الحرف اليوناني "سيجما".

المثال رقم 6.

اكتب المجاميع التالية باستخدام العلامة
:

2)

المثال رقم 7.

اكتب العبارات التالية كمنتجات:

1)

3)
4)

المثال الثامن.

اكتب الأعمال التالية باستخدام العلامة

(الحرف اليوناني الكبير "pi")

1)
2)

المثال رقم 9.

حساب قيمة كثير الحدود F ( ن )= ن 2 + ن +11 ، في ن = 1،2،3،4.5،6،7 يمكن الافتراض أنه لأي طبيعيصرقم F ( ن ) بسيط.

هل هذا الافتراض صحيح؟

المحلول.

إذا كان كل مجموع قابل للقسمة على رقم ، فإن المجموع قابل للقسمة على هذا الرقم ،
ليس عددًا أوليًا لأي عدد طبيعيص.

اعراب عدد محدود من المسرحيات الحالات دورا هامافي الرياضيات: بدون تقديم دليل على هذا البيان أو ذاك ، فإنه يساعد على تخمين الصيغة الصحيحة لهذه العبارة ، إذا كانت لا تزال غير معروفة. هذه هي الطريقة التي توصل بها جولدباخ ، وهو عضو في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، إلى التخمين بأن أي عدد طبيعي ، بدءًا من اثنين ، هو مجموع ثلاثة أعداد أولية على الأكثر.

الدرس 3

تتيح لنا طريقة الاستقراء الرياضي إثبات الهويات المختلفة.

المثال رقم 10.دعونا نثبت ذلك للجميع صالهوية

المحلول.

هيا نضع

نحن بحاجة لإثبات ذلك

دعونا نثبت ذلك إذن من حقيقة الهوية

تتبع حقيقة الهوية

بمبدأ الاستقراء الرياضي ، حقيقة الهوية للجميع ص.

المثال رقم 11.

دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

المساواة على حده.

;
. لذا فهذه الهوية صحيحة للجميعص .

الدرس رقم 4.

إثبات الهويات بالاستقراء الرياضي.

المثال رقم 12. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

بتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، أثبتنا أن المساواة صحيحة للجميع ص.

المثال رقم 13. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

بتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، أثبتنا أن العبارة صحيحة لأي شيء طبيعي ص.

المثال رقم 14. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

المثال الخامس عشر. دعنا نثبت الهوية

1) ن = 1 ؛

2) من أجل ن = ك المساواة

3) إثبات أن المساواة تصح عليه ن = ك + 1:

الخلاصة: الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 16.دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

اذا كان ن = 1 ، ومن بعد

دع الهوية تحمل ل ن = ك.

دعونا نثبت أن الهوية صحيحة ن = ك + 1.

ثم الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

الدرس رقم 5.

إثبات الهويات بالاستقراء الرياضي.

المثال رقم 17.دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

اذا كان ن = 2 ، ثم نحصل على المساواة الصحيحة:

دع المساواة تكون صحيحة لن = ك:

دعونا نثبت صحة التوكيد ل ن = ك + 1.

وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات الهوية.

المثال رقم 18. دعنا نثبت الهوية
لـ n≥2.

في ن = 2 يمكن إعادة كتابة هذه الهوية في شكل بسيط للغاية

ومن الواضح أنه صحيح.

دعونا في ن = كحقًا

.

دعونا نثبت صحة التوكيد لن = ك + 1 ، أي تتحقق المساواة:.

لذلك ، أثبتنا أن الهوية صحيحة لأي طبيعة رقم 2.

المثال رقم 19. دعنا نثبت الهوية

في ن = 1 نحصل على المساواة الصحيحة:

لنفترض ذلك في ن = كنحصل أيضًا على المساواة الصحيحة:

دعونا نثبت أن صحة المساواة محترمة ن = ك + 1:

ثم الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

رقم الدرس 6.

حل مشاكل القسمة.

المثال رقم 20.يثبت ذلك بالاستقراء الرياضي

مقسومة على 6 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1 هناك تقسيم إلى6 دون أن يترك أثرا،
.

دعونا في ن = ك التعبير
مضاعف6.

دعونا نثبت ذلك متى ن = ك + 1 التعبير
مضاعف6 .

كل مصطلح متعدد 6 ، لذلك يكون المجموع من مضاعفات 6 .

رقم المثال 21.
على ال5 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1 التعبير قابل للقسمة
.

دعونا في ن = ك التعبير
أيضا مقسمة إلى5 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1مقسومة على 5 .

المثال رقم 22. إثبات قابلية التعبير للقسمة
على ال16.

دليل - إثبات.

في ن = 1مضاعف 16 .

دعونا في ن = ك
مضاعف16.

في ن = ك + 1

جميع المصطلحات قابلة للقسمة على 16: من الواضح أن الأول هو الثاني من خلال الافتراض ، والثالث لديه رقم زوجي بين قوسين.

المثال رقم 23. إثبات القابلية للقسمة
على ال676.

دليل - إثبات.

دعونا أولا نثبت ذلك
مقسومة على
.

في ن = 0
.

دعونا في ن = ك
مقسومة على26 .

ثم في ن = ك + 1مقسومة على 26 .

دعونا الآن نثبت التأكيد الذي تمت صياغته في حالة المشكلة.

في ن = 1مقسومة على 676.

في ن = ك صحيح ان
مقسومة على26 2 .

في ن = ك + 1 .

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 676 ؛ الأول لأننا أثبتنا القابلية للقسمة بواسطة 26 التعبير بين قوسين ، والثاني قابل للقسمة على الفرضية الاستقرائية.

الدرس رقم 7.

حل مشاكل القسمة.

رقم المثال 24.

اثبت ذلك
مقسومة على5 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1
مقسومة على5.

في ن = ك
مقسومة على5 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1 كل مصطلح يقبل القسمة عليه5 دون أن يترك أثرا.

المثال رقم 25.

اثبت ذلك
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

دعونا في ن = ك
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1مقسومة على 6 لا يوجد باقي ، لأن كل مصطلح يقبل القسمة عليه6 بدون باقي: المصطلح الأول ، بالافتراض الاستقرائي ، الثاني ، من الواضح ، الثالث ، لأن
رقم زوجي.

المثال رقم 26.

اثبت ذلك
عند القسمة على9 يعطي الباقي 1 .

دليل - إثبات.

دعنا نثبت ذلك
مقسومة على9 .

في ن = 1
مقسومة على 9 . دعونا في ن = ك
مقسومة على9 .

في ن = ك + 1مقسومة على 9 .

رقم المثال 27.

يثبت أنه يقبل القسمة على15 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1مقسومة على 15 .

دعونا في ن = كمقسومة على 15 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1

المصطلح الأول متعدد15 من خلال فرضية الاستقراء ، فإن المصطلح الثاني هو من مضاعفات15 - من الواضح أن الحد الثالث هو من مضاعفات15 ، لان
مضاعف5 (ثبت في المثال رقم 21) ، المصطلحان الرابع والخامس هما أيضًا مضاعفات5 ، وهو أمر واضح ، فالمجموع من مضاعفات15 .

عدد الدرس 8-9.

إثبات عدم المساواة عن طريق الاستقراء الرياضي

المثال رقم 28.
.

في ن = 1نملك
- حقا.

دعونا في ن = ك
هو عدم مساواة حقيقي.

في ن = ك + 1

ثم تكون المتباينة صالحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 29.إثبات أن التفاوت صحيح
لأي ص.

في ن = 1نحصل على المتباينة الصحيحة 4 >1.

دعونا في ن = كعدم المساواة
.

دعونا نثبت ذلك متى ن = ك + 1عدم المساواة

لأي طبيعي إلىلوحظ عدم المساواة.

اذا كان
في
ومن بعد

المثال رقم 30.

لأي طبيعي صوأي

يترك ن = 1
، حقا.

دعونا نفترض أن عدم المساواة تصح ن = ك:
.

في ن = ك + 1

رقم المثال 31.إثبات صحة عدم المساواة

لأي طبيعي ص.

دعونا أولا نثبت ذلك لأي طبيعي رعدم المساواة

اضرب طرفي المتباينة في
. نحصل على عدم مساواة مكافئة أو
;
؛ - هذا التفاوت ينطبق على أي طبيعي ر.

في ن = 1عدم المساواة الأصلية صحيحة
;
;
.

دع عدم المساواة تصمد ل ن = ك:
.

في ن = ك + 1

عدد الدرس 10.

حل المشاكل المتعلقة بالموضوع

طريقة الاستقراء الرياضي.

المثال رقم 32.إثبات عدم مساواة برنولي.

اذا كان
، ثم لجميع القيم الطبيعيةص عدم المساواة

دليل - إثبات.

في ن = 1 تتخذ عدم المساواة التي يتم إثباتها الشكل
ومن الواضح أنه على حق. لنفترض أن هذا صحيحن = ك ، هذا هو ما
.

منذ ذلك الحين حسب الحالة
، ومن بعد
، وبالتالي فإن المتباينة لا تغير معناها عندما يتم ضرب كلا أجزائها
:

لان
، ثم نحصل على ذلك

.

لذا فإن التفاوت صحيح ل ن = 1، ومن حقيقته في ن = كيتبع ذلك أنه صحيح و ن = ك + 1.ومن ثم ، من خلال الاستقراء الرياضي ، فإنه ينطبق على كل شيء طبيعي ص.

فمثلا،

رقم المثال 33. ابحث عن كل القيم الطبيعيةص ، والتي من أجلها عدم المساواة

المحلول.

في ن = 1عدم المساواة هو حق. في ن = 2عدم المساواة هو أيضا صحيح.

في ن = 3عدم المساواة لم تعد راضية. فقط عندما ن = 6المتباينة صحيحة ، لذلك يمكننا أن نأخذ على أساس الاستقراء ن = 6.

افترض أن عدم المساواة صحيح بالنسبة لبعض الطبيعي إلى:

ضع في اعتبارك عدم المساواة

آخر عدم المساواة ينطبق إذا
اختبارحول الموضوع n = 1 يتم إعطاؤها بشكل متكرر: n≥5 ، حيث ص- -عدد طبيعي.

وزارة التربية والتعليم في منطقة ساراتوف

جامعة ولاية ساراتوف الاجتماعية والاقتصادية

المنافسة الإقليمية في الرياضيات و عمل الكمبيوترتلاميذ المدارس

"متجه المستقبل - 2007"

«طريقة الاستقراء الرياضي.

تطبيقه على حل المسائل الجبرية "

(قسم "الرياضيات")

عمل ابداعي

10 طلاب فئة "أ"

مذكرة تفاهم "صالة للألعاب الرياضية رقم 1"

منطقة Oktyabrsky في ساراتوف

Harutyunyan Gayane.

مدير العمل:

مدرس رياضيات

جريشينا إيرينا فلاديميروفنا

ساراتوف

2007

مقدمة ………………………………………………………………………………………………… 3

مبدأ الاستقراء الرياضي و

إثبات ……………………………………………………………………………………… ..4

أمثلة على حل المشكلات …………………………………………………………………………… .. 9

الخلاصة ………………………………………………………………………………………… .. 16

الأدب …………………………………………………………………………………………… 17

مقدمة.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى نتيجة لذلك التفكير المنطقينصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا إلى التقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره بشكل منطقي ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي وتعزيز فكره بأدلة يتم تنفيذها وفقًا لجميع قواعد المنطق.
في الوقت الحاضر ، نما مجال تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، ولكن في المناهج الدراسيةلسوء الحظ ، ليس لديه الكثير من الوقت. لكن هذا مهم جدًا - أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

مبدأ الاستقراء الرياضي وإثباته

دعونا ننتقل إلى جوهر طريقة الاستقراء الرياضي. دعونا ننظر في البيانات المختلفة. يمكن تقسيمها إلى بيانات عامة وخاصة ، دعونا نعطي أمثلة على البيانات العامة.

لجميع المواطنين الروس الحق في التعليم.

في أي متوازي أضلاع ، يتم تقسيم الأقطار عند نقطة التقاطع.

كل الأعداد المنتهية بصفر تقبل القسمة على 5.

أمثلة ذات صلة من البيانات الخاصة:

بيتروف لديه الحق في التعليم.

في متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تقسيم الأقطار عند نقطة التقاطع.

140 يقبل القسمة على 5.

يُطلق على الانتقال من العبارات العامة إلى عبارات خاصة الاستنتاج (من اللاتينية خصم - الاستنتاج وفق قواعد المنطق).

ضع في اعتبارك مثالًا على الاستدلال الاستنتاجي.

لجميع المواطنين الروس الحق في التعليم. (واحد)

بيتروف مواطن روسي. (2)

بيتروف لديه الحق في التعليم. (3)

من التأكيد العام (1) بمساعدة (2) يتم الحصول على التأكيد الخاص (3).

يُطلق على الانتقال العكسي من عبارات معينة إلى عبارات عامة الاستقراء (من اللاتينية استقراء - إرشاد).

يمكن أن يؤدي الاستقراء إلى استنتاجات صحيحة وغير صحيحة.

دعنا نشرح هذا بمثالين.

140 يقبل القسمة على 5. [1)

كل الأعداد المنتهية بصفر تقبل القسمة على 5. (2)

140 يقبل القسمة على 5. [1)

جميع الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 5. [2)

من البيان الخاص (1) يتم الحصول على البيان العام (2). العبارة (2) صحيحة.

يوضح المثال الثاني كيف يمكن الحصول على عبارة عامة (3) من بيان معين (1) ، علاوة على ذلك ، فإن العبارة (3) ليست صحيحة.

دعونا نسأل أنفسنا السؤال عن كيفية استخدام الاستقراء في الرياضيات من أجل الحصول على الاستنتاجات الصحيحة فقط. دعونا ننظر في بعض الأمثلة على الاستقراء ، وهو أمر غير مقبول في الرياضيات.

مثال 1.

خذ بعين الاعتبار ثلاثي مربع الشكل التالي Р (x) = x 2 + x + 41 ، والذي انتبه له ليونارد أويلر.

الفوسفور (0) = 41 ، الفوسفور (1) = 43 ، الفوسفور (2) = 47 ، الفوسفور (3) = 53 ، الفوسفور (4) = 61 ، الفوسفور (5) = 71 ، الفوسفور (6) = 83 ، الفوسفور (7) = 97 ، الفوسفور (8) = 113 ، الفوسفور (9) = 131 ، الفوسفور (10) = 151.

نرى أنه في كل مرة تكون قيمة ثلاثي الحدود عددًا أوليًا. بناءً على النتائج التي تم الحصول عليها ، نؤكد أنه عند الاستبدال في ثلاثي الحدود قيد النظر ، بدلاً من x دائمًا ما ينتج عن أي عدد صحيح غير سالب عدد أولي.

ومع ذلك ، لا يمكن اعتبار الاستنتاج الذي تم التوصل إليه موثوقًا به. ما الأمر؟ الحقيقة هي أنه في المنطق ، يتم عمل عبارات عامة حول أي x فقط على أساس أن هذه العبارة تبين أنها صحيحة بالنسبة لبعض قيم x.

في الواقع ، عند الفحص الدقيق لثلاثية الحدود P (x) ، فإن الأرقام P (0) ، P (1) ، ... ، P (39) هي أعداد أولية ، لكن P (40) = 41 2 رقم مركب. ومن الواضح تمامًا: P (41) = 41 2 + 41 + 41 مضاعف 41.

في هذا المثال ، التقينا ببيان صحيح في 40 حالة خاصة ومع ذلك تبين أنه غير عادل بشكل عام.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

مثال 2

في القرن السابع عشر ، بدأ V.G. أثبت Leibniz أنه بالنسبة لأي n طبيعي ، فإن الأرقام من الشكل n 3 - n هي مضاعفات 3 ، n 5 - n هي مضاعفات 5 ، n 7 - n هي مضاعفات 7. وبناءً على ذلك ، اقترح أنه بالنسبة لأي فردي k والطبيعي n ، العدد n k - n مضاعف k ، لكنه سرعان ما لاحظ أن 2 9-2 = 510 ، والذي من الواضح أنه لا يقبل القسمة على 9.

تتيح لنا الأمثلة المدروسة استخلاص نتيجة مهمة: يمكن أن يكون البيان صحيحًا في عدد من الحالات الخاصة وفي نفس الوقت غير عادل بشكل عام.

السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي: هناك بيان صحيح في العديد من الحالات الخاصة. من المستحيل النظر في جميع الحالات الخاصة ؛ كيف تعرف أن هذا البيان صحيح على الإطلاق؟

يمكن أحيانًا حل هذا السؤال من خلال تطبيق طريقة خاصة للتفكير تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. تعتمد هذه الطريقة على مبدأ الاستقراء الرياضي، يستنتج ما يلي: يكون البيان صحيحًا لأي n طبيعي إذا:

إنه صالح لـ n = 1 ؛

من صحة البيان لبعض التعسفي الطبيعي n = k ، يترتب على ذلك أنه صحيح لـ n = k +1.

دليل - إثبات.

افترض العكس ، أي ، دع العبارة تكون صحيحة وليس لكل n طبيعي. ثم هناك عدد طبيعي م مثل هذا

بيان n = m ليس صحيحًا ،

للجميع

من الواضح أن m> 1 ، لأن التأكيد صحيح لـ n = 1 (الشرط 1). لذلك ، م -1 عدد طبيعي. بالنسبة للعدد الطبيعي م -1 فإن العبارة صحيحة ، أما بالنسبة للعدد الطبيعي التالي م فهي غير صحيحة. وهذا يتعارض مع الشرط الثاني. ويظهر التناقض الناتج أن الافتراض خاطئ. لذلك ، يكون التأكيد صحيحًا بالنسبة لأي n ، he.d.

يُطلق على الدليل المستند إلى مبدأ الاستقراء الرياضي إثبات بطريقة الاستقراء الرياضي. يجب أن يتكون هذا الدليل من جزأين ، من إثبات نظريتين مستقلتين.

نظرية 1. العبارة صحيحة لـ n = 1.

نظرية 2. العبارة صحيحة لـ n = k +1 إذا كانت صحيحة لـ n = k ، حيث k هو رقم طبيعي تعسفي.

إذا تم إثبات هاتين النظريتين ، إذن ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، تكون العبارة صحيحة لأي
طبيعي

يجب التأكيد على أن الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي يتطلب بالتأكيد إثبات كل من النظريتين 1 و 2. إهمال النظرية 2 يؤدي إلى استنتاجات غير صحيحة (الأمثلة 1-2). دعونا نوضح بمثال مدى ضرورة إثبات النظرية 1.

مثال 3. "نظرية": كل عدد طبيعي يساوي العدد الطبيعي الذي يليه.

سوف يتم الإثبات بطريقة الاستقراء الرياضي.

افترض أن k = k +1 (1).

دعنا نثبت أن k + 1 = k +2 (2). للقيام بذلك ، أضف 1 إلى كل جزء من "المساواة" (1). نحصل على "المساواة" (2). اتضح أنه إذا كانت العبارة صحيحة بالنسبة لـ n = k ، فهذا صحيح أيضًا لـ n = k +1. ، إلخ.

"نتيجة" واضحة من "النظرية": جميع الأعداد الطبيعية متساوية.

يكمن الخطأ في حقيقة أن النظرية 1 ، الضرورية لتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، لم يتم إثباتها وهي ليست صحيحة ، ولكن تم إثبات النظرية الثانية فقط.

النظريات 1 و 2 لها أهمية خاصة.

تخلق النظرية 1 أساس الاستقراء. تعطي النظرية 2 الحق في التوسع التلقائي غير المحدود لهذه القاعدة ، والحق في الانتقال من هذه الحالة الخاصة إلى الحالة التالية ، من n إلى n + 1.

إذا لم يتم إثبات النظرية 1 ، ولكن تم إثبات النظرية 2 ، إذن ، لم يتم إنشاء أساس الاستقراء ، ومن ثم لا معنى لتطبيق النظرية 2 ، لأنه لا يوجد شيء يمكن توسيعه في الواقع.

إذا لم يتم إثبات النظرية 2 ، وتم إثبات النظرية 1 فقط ، فعندئذ ، على الرغم من إنشاء قاعدة إجراء الاستقراء ، فإن الحق في توسيع هذه القاعدة غائب.

ملاحظات.

في بعض الأحيان ، يعتمد الجزء الثاني من الإثبات على صحة العبارة ليس فقط لـ n = k ، ولكن أيضًا لـ n = k -1. في هذه الحالة ، يجب اختبار العبارة الواردة في الجزء الأول للقيمتين التاليتين لـ n.

في بعض الأحيان يتم إثبات العبارة ليس لأي n طبيعي ، ولكن بالنسبة لـ n> m ، حيث m هي بعض الأعداد الصحيحة. في هذه الحالة ، في الجزء الأول من الإثبات ، يتم التحقق من التأكيد لـ n = m +1 ، وإذا لزم الأمر ، لعدة قيم لاحقة لـ n.

تلخيصًا لما قيل ، لدينا: طريقة الاستقراء الرياضي تسمح ، بحثًا عن قانون عام ، باختبار الفرضيات التي تنشأ في هذه الحالة ، وتجاهل الفرضيات الخاطئة وتأكيد الفرضيات الصحيحة.

يعلم الجميع دور عمليات تعميم نتائج الملاحظات والتجارب الفردية (أي الاستقراء) للعلوم التجريبية. من ناحية أخرى ، لطالما اعتبرت الرياضيات مثالًا كلاسيكيًا على تنفيذ الأساليب الاستنتاجية البحتة ، حيث يُفترض دائمًا صراحةً أو ضمنيًا أن جميع الافتراضات الرياضية (باستثناء تلك المقبولة على أنها أولية - البديهيات) مثبتة ، وتطبيقات محددة من هذه الافتراضات مستمدة من البراهين المناسبة للحالات العامة (خصم).

ماذا يعني الاستقراء في الرياضيات؟ هل ينبغي فهمها على أنها طريقة غير موثوقة تمامًا ، وكيف نبحث عن معيار لموثوقية مثل هذه الأساليب الاستقرائية؟ أو اليقين من الاستنتاجات الرياضية من نفس طبيعة التعميمات التجريبية للعلوم التجريبية ، بحيث لن يكون من السيئ "التحقق" من أي حقيقة مثبتة؟ في الواقع. هذه ليست القضية.

يلعب الاستقراء (التوجيه) على فرضية دورًا مهمًا للغاية ولكنه إرشادي بحت في الرياضيات: فهو يسمح للمرء بتخمين الحل الذي يجب أن يكون. لكن الافتراضات الرياضية يتم تأسيسها بشكل استنتاجي فقط. وطريقة الاستقراء الرياضي هي طريقة استنتاجية بحتة للإثبات. وبالفعل فإن الإثبات بهذه الطريقة يتكون من جزأين:

ما يسمى ب "الأساس" - دليل استنتاجي للجملة المرغوبة لواحد (أو عدة) أرقام طبيعية ؛

خطوة استقرائية تتكون في إثبات استنتاجي لبيان عام. تم إثبات النظرية بدقة لجميع الأعداد الطبيعية. من الأساس الذي تم إثباته ، على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 0 ، نحصل ، من خلال خطوة الاستقراء ، على إثبات الرقم 1 ، ثم بنفس الطريقة لـ 2 ، لـ 3 ... - وهكذا يمكن تبرير البيان لـ أي عدد طبيعي.

بمعنى آخر ، يرجع اسم "الاستقراء الرياضي" إلى حقيقة أن هذه الطريقة مرتبطة ببساطة في أذهاننا بالاستدلال الاستقرائي التقليدي (بعد كل شيء ، تم إثبات الأساس حقًا فقط لحالة معينة) ؛ الخطوة الاستقرائية ، على عكس معايير معقولية الاستدلال الاستقرائي القائم على الخبرة في العلوم الطبيعية والاجتماعية ، هي عبارة عامة لا تحتاج إلى أي فرضية معينة ويتم إثباتها وفقًا للشرائع الصارمة للاستدلال الاستنتاجي. لذلك ، يُطلق على الاستقراء الرياضي اسم "كامل" أو "كامل" ، لأنه طريقة إثبات استنتاجية وموثوقة تمامًا.

أمثلة على حلول المشكلات

الاستقراء في الجبر

ضع في اعتبارك العديد من الأمثلة للمسائل الجبرية ، وكذلك إثبات عدم المساواة المختلفة التي يمكن حلها باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مهمة 1. تخمين صيغة المجموع وإثباتها.

لكن( ن) = 2  1 2 + 3 2 2 +… .. + (ن +1) ن 2.

المحلول.

1. لنحول تعبير المجموع А (n):

أ (ن) = 2 1 2 + 3  2 2 +…. + (ن + 1) ن 2 = (1 + 1) 1 2 + (2 + 1) 2 2 +…. + (ن + 1) ن 2 = = 1 1 2 + 2  2 2 + ... + ن  ن 2 + 1 2 + 2 2 + ... + ن 2 = 1 3 + 2 3 + ... + ن 3 +1 2 + 2 2 + ... + n 2 = В (n) + C (n) ، حيث B (n) = 1 3 + 2 3 +… .. + n 3، C (n) = 1 2 + 2 2 + … + ن 2.

2. ضع في اعتبارك المجاميع C (n) و B (n).

أ) ج ( ن) = 1 2 + 2 2 + ... + ن 2. واحدة من المشاكل التي نواجهها بشكل متكرر في طريقة الاستقراء الرياضي هي إثبات أن أي مساواة طبيعية

1 2 + 2 2 +…+ ن 2 = (1)

افترض أن (1) صحيح لكل n  ن.

ب ) ب (ن) = 1 3 + 2 3 +… .. + ن 3. دعونا نلاحظ كيف تتغير قيم B (n) اعتمادًا على n.

ب (1) = 1 3 = 1.

ب (2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

ب (3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

وبالتالي ، يمكن افتراض ذلك
ب (ن) = (1 + 2 + ... + ن) 2 =
(2)

ج) نتيجة لذلك ، نحصل على مجموع А (n)

لكن( ن) ==

= (*)

3. دعونا نثبت الصيغة التي تم الحصول عليها (*) بطريقة الاستقراء الرياضي.

أ) تحقق من المساواة (*) لـ n = 1.

أ (1) = 2  =2,

من الواضح أن الصيغة (*) صحيحة لـ n = 1.

ب) افترض أن الصيغة (*) صحيحة لـ n = k ، حيث k N ، أي المساواة

أ (ك) =

بناءً على الافتراض ، سنثبت صحة معادلة n = k +1. حقًا،

أ (ك + 1) =

نظرًا لأن الصيغة (*) صحيحة لـ n = 1 ، ومن افتراض أنها صحيحة بالنسبة لبعض k الطبيعي ، فإن ذلك يعني أنها صحيحة لـ n = k +1 ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن المساواة

يحمل أي ن طبيعي.

المهمة 2.

احسب المجموع 1-2 + 3-4 + ... (-1) n -1 n.

المحلول.

دعونا نكتب قيم المجاميع للقيم المختلفة لـ n على التوالي.

أ (1) = 1 ، أ (2) = 1-2 = -1 ، أ (3) = 1-2 + 3 = 2 ، أ (4) = 1-2 + 3-4 = -2 ،

أ (5) = 1-2 + 3-4 + 5 = 3 ، أ (6) = 1-2 + 3-4 + 5-6 = -3.

بمراقبة النمط ، يمكننا أن نفترض أن A (n) = - حتى n و A (n) =
للغريب ن. دعنا نجمع كلتا النتيجتين في صيغة واحدة:

أ (ن) =
، حيث r هو باقي قسمة n على 2.

و ص , من الواضح أن تحددها القاعدة التالية

0 إذا ن حتى ،

ص =

1 إذا ن غريب.

ثم ص(يمكن تخمينها) يمكن تمثيلها على النحو التالي:

أخيرًا نحصل على صيغة A (n):

أ (ن) =

(*)

دعونا نثبت المساواة (*) لجميع ن  ن طريقة الاستقراء الرياضي.

2. أ) تحقق من المساواة (*) لـ n = 1. أ (1) = 1 =

المساواة عادلة

ب) افترض أن المساواة

1-2 + 3-4 + ... + (- 1) ن -1 ن =

صحيح في ن = ك. دعنا نثبت أنه صالح أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

أ (ك + 1) =

في الواقع،

أ (ك + 1) = أ (ك) + (- 1) ك (ك + 1) =

=

Q.E.D.

تُستخدم طريقة الاستقراء الرياضي أيضًا لحل مسائل القابلية للقسمة.

المهمة 3.

أثبت أن العدد N (n) = n 3 + 5n قابل للقسمة على 6 لأي عدد طبيعي n.

دليل - إثبات.

في n = 1 الرقم N (1) = 6 وبالتالي فإن العبارة صحيحة.

لنفترض أن الرقم N (k) = k 3 + 5k يقبل القسمة على 6 لبعض أنواع k الطبيعية. دعنا نثبت أن N (k +1) = (k +1) 3 + 5 (k +1) قابل للقسمة على 6. في الواقع ، لدينا
N (ك +1) = (ك +1) 3 + 5 (ك +1) = (ك 3 + 5 ك) + 3 ك (ك +1) +6.

بسبب ال k و k +1 هما رقمان طبيعيان متجاوران ، إذن أحدهما زوجي بالضرورة ، لذا فإن التعبير 3k (k +1) قابل للقسمة على 6. وبالتالي ، نحصل على N (k +1) قابل للقسمة أيضًا على 6. الإخراج العدد N (n) = n 3 + 5n يقبل القسمة على 6 لأي n طبيعي.

ضع في اعتبارك حل مشكلة قسمة أكثر تعقيدًا ، عندما يتعين تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي الكامل عدة مرات.

المهمة 4.

إثبات ذلك لأي عدد طبيعي n
لا يقبل القسمة حتى على 2 ن +3.

دليل - إثبات.

يتصور
في شكل عمل
=

= (*)

بافتراض أن العامل الأول في (*) لا يقبل القسمة بالتساوي على الرقم 2 ك +3 ، أي في تمثيل رقم مركب
في صورة حاصل ضرب الأعداد الأولية ، لا يتكرر الرقم 2 أكثر من (ك + 2) مرة. وذلك لاثبات ان العدد
لا يقبل القسمة على 2 k +4 ، يجب أن نثبت ذلك
لا يقبل القسمة على 4.

لإثبات هذا التأكيد ، نثبت تأكيدًا إضافيًا: بالنسبة لأي n طبيعي ، فإن الرقم 3 2 n +1 لا يقبل القسمة على 4. بالنسبة إلى n = 1 ، يكون التأكيد واضحًا ، نظرًا لأن الرقم 10 لا يقبل القسمة على 4 بدون باقي. بافتراض أن 3 2 k +1 لا تقبل القسمة على 4 ، فإننا نثبت أن 3 2 (k +1) +1 غير قابلة للقسمة أيضًا
في 4. دعنا نمثل التعبير الأخير كمجموع:

3 2 (ل + 1) + 1 = 3 2 ك + 2 + 1 = 3 2 ك * 9 + 1 = (3 2 ك +1) +8 * 3 2 ك. المصطلح الثاني من المجموع يقبل القسمة على 4 ، لكن الأول غير قابل للقسمة. لذلك ، لا يقبل المجموع الكامل القسمة على 4 بدون الباقي. تم إثبات التأكيد المساعد.

الآن من الواضح ذلك
لا يقبل القسمة على 4 لأن 2k عدد زوجي.

أخيرًا ، حصلنا على هذا الرقم
لا يقبل القسمة بالتساوي على 2 ن +3 لأي ن طبيعي.

فكر الآن في مثال لتطبيق الاستقراء على إثبات عدم المساواة.

المهمة 5.

لأي من n الطبيعي تكون المتباينة 2 n> 2n + 1 صحيحة؟

المحلول.

1. متى ن = 1 2 1< 2*1+1,

في ن = 2 2 2< 2*2+1,

في ن = 3 2 3> 2 * 3 + 1 ،

في ن = 4 2 4> 2 * 4 + 1.

على ما يبدو ، فإن المتباينة صالحة لأي ن طبيعي  3. دعونا نثبت هذا التأكيد.

2. متى ن = 3 تم بالفعل عرض صحة عدم المساواة. الآن دع المتباينة تكون صالحة لـ n = k ، حيث k هو عدد طبيعي لا يقل عن 3 ، أي

2 ك> 2 ك + 1 (*)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صالحة أيضًا لـ n = k +1 ، أي 2 k +1> 2 (k +1) +1. اضرب (*) ب 2 ، نحصل على 2 k +1> 4k +2. لنقارن بين التعبيرات 2 (k +1) +1 و 4k +2.

4k + 2- (2 (ك + 1) +1) = 2 ك -1. من الواضح ، 2k -1> 0 لأي k طبيعي. ثم 4k +2> 2 (k +1) +1 ، أي 2 ك + 1> 2 (ك + 1) +1. تم إثبات التأكيد.

المهمة 6.

عدم المساواة في المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي لعدد n من الأرقام غير السالبة (عدم مساواة كوشي).، نحصل على =

إذا كان واحد على الأقل من الأرقام
يساوي صفرًا ، فإن المتباينة (**) صالحة أيضًا.

استنتاج.

عند القيام بالعمل ، قمت بدراسة جوهر طريقة الاستقراء الرياضي وإثباته. تعرض الورقة المشكلات التي لعب فيها الاستقراء غير المكتمل دورًا مهمًا ، مما يؤدي إلى القرار الصحيح، ثم يتم إجراء الإثبات الذي تم الحصول عليه بطريقة الاستقراء الرياضي.

المؤلفات.

Boltyansky V.G. ، Sidorov Yu.V. ، Shaburin M.I. محاضرات ومشاكل في الرياضيات الابتدائية ؛ علم ، 1974.

فيلينكين ن. ، Shvartsburd S.I. التحليل الرياضي.-
م: التعليم ، 1973.

Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. دراسة معمقة لمسار الجبر والتحليل الرياضي - م: التربية ، 1990.

Potapov MK ، Aleksandrov V.V. ، Pasichenko P.I. الجبر وتحليل الوظائف الابتدائية. - م: نوكا ، 1980.

Sominsky I.S ، Golovina M.L. ، Yaglom I.M. في الاستقراء الرياضي. - م: نوكا ، 1967.

إذا كانت الجملة A (n) ، التي تعتمد على عدد طبيعي n ، صحيحة لـ n = 1 ، ومن حقيقة أنها صحيحة لـ n = k (حيث k هي أي عدد طبيعي) ، فهذا يعني أنها كذلك صحيح بالنسبة للرقم التالي n = k +1 ، فإن الافتراض A (n) صحيح لأي عدد طبيعي n.

في عدد من الحالات ، قد يكون من الضروري إثبات صحة بيان معين ليس لجميع الأعداد الطبيعية ، ولكن فقط لـ n> p ، حيث p هو رقم طبيعي ثابت. في هذه الحالة ، تتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي.

إذا كان الاقتراح A (n) صحيحًا لـ n = p وإذا كان A (k) X A (k + 1) لأي k> p ، فإن الاقتراح A (n) يكون صحيحًا لأي n> p.

يتم إثبات طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولاً ، يتم التحقق من التأكيد المراد إثباته لـ n = 1 ، أي ، تم إثبات حقيقة البيان أ (1). يسمى هذا الجزء من الإثبات أساس الاستقراء. يتبع ذلك جزء من الدليل يسمى خطوة الاستقراء. في هذا الجزء ، تم إثبات صحة العبارة لـ n = k + 1 على افتراض أن العبارة صحيحة لـ n = k (الافتراض الاستقرائي) ، أي إثبات أن A (k) ~ A (k + 1)

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

• 1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك ، البيان صحيح لـ n = 1 ، أي أ (1) صحيح
• 2) دعنا نثبت أن A (k) ~ A (k + 1)

لنفترض أن k أي عدد طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة من أجل n = k ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) = ك 2

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا او ما

• 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (ل + 1) 2 بالفعل ،
• 1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) + (2 ك + 1) = ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2

إذن ، أ (ك) × أ (ك + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي n О N

اثبت ذلك

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \ u003d (x n + 1 -1) / (x-1) ، حيث x رقم 1

• 1) بالنسبة إلى n = 1 نحصل على
• 1 + س = (س 2 -1) / (س -1) = (س -1) (س + 1) / (س -1) = س + 1

لذلك ، بالنسبة لـ n = 1 الصيغة صحيحة ؛ أ (1) صحيح

• 2) دع k يكون أي عدد طبيعي ودع الصيغة صحيحة لـ n = k ،
• 1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك = (س ك + 1 -1) / (س -1)

دعونا نثبت ذلك ثم المساواة

• 1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1) في الواقع
• 1 + х + х 2 + س 3 + ... + х ك + س ك + 1 = (1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك) + س ك + 1 =

= (س ك + 1 -1) / (س -1) + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1)

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صحيحة لأي عدد طبيعي n

إثبات أن عدد الأقطار المحدبة n-gon هو n (n-3) / 2

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، فإن العبارة صحيحة ، لأن في المثلث

أ 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 قطري ؛ أ 2 أ (3) صحيح

2) افترض أنه في أي محدب يحتوي k-gon على A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 قطريًا. A k دعنا نثبت أنه في حالة محدبة A k + 1 (k + 1) - على عدد الأقطار A k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2.

دعونا А 1 А 2 А 3 ... A k A k + 1 -convex (k + 1) -gon. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. للعد الرقم الإجماليأقطار من هذا (ك + 1) - ، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ... A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج ، أي عدد الأقطار للمضلع (k + 1) المنبثق من الرأس A k + 1 ، بالإضافة إلى ذلك ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار القطر A 1 A k

في هذا الطريق،

G k + 1 = G k + (k-2) + 1 = k (k-3) / 2 + k-1 = (k + 1) (k-2) / 2

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). نظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي محدب n-gon.

إثبات أن العبارة صحيحة لأي n:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

2) افترض أن n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة من أجل n = k + 1

Xk + 1 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6

س ك + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + ك 2 + (ك + 1) 2 = ك (ك + 1) (2 ك + 1) / 6 + + (ك + 1) 2

= (ك (ل + 1) (2 ك + 1) +6 (ك + 1) 2) / 6 = (ك + 1) (ك (2 ك + 1) +

6 (ك + 1)) / 6 = (ك + 1) (2 ك 2 + 7 ك + 6) / 6 = (ك + 1) (2 (ك + 3/2) (ك +

2)) / 6 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي

إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4

الحل: 1) دع n = 1

ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1. نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k

X ك \ u003d ك 2 (ك + 1) 2/4

3) دعنا نثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1 ، أي

X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k ++ 1) 2 +4 (ك + 1) 3) / 4 = (ك + 1) 2 (ك 2 + 4k + 4) / 4 = (ك + 1) 2 (ك + 2) 2/4

يمكن أن نرى من الدليل أعلاه أن العبارة صحيحة لـ n = k + 1 ، وبالتالي ، فإن المساواة صحيحة لأي n طبيعي

اثبت ذلك

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ ((3 3 +1) / (3 3 -1)) ґ ... ґ ((ن 3 +1) / (ن 3 -1)) = 3n (n + 1) / 2 (n 2 + n + 1) ، حيث n> 2

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 2 ، تبدو الهوية كما يلي:

• (2 3 +1) / (2 3 -1) = (3 ґ 2 ґ 3) / 2 (2 2 + 2 + 1) ، أي هذا صحيح
• 2) افترض أن التعبير صحيح من أجل n = k
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (ك 3 +1) / (ك 3 -1) \ u003d 3 ك (ك + 1) / 2 (ك 2 + ك + 1)
• 3) سنثبت صحة التعبير عن n = k + 1
• (((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ… ґ ((ك 3 +1) / (ك 3 -1))) ґ (((ك + 1) 3 +

1) / ((k + 1) 3-1)) = (3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)) ґ ((k + 2) ((k +

1) 2 - (ك + 1) +1) / ك ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1)) = 3 (ك + 1) (ك + 2) / 2 ґ

ґ ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1)

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n> 2

اثبت ذلك

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + ... + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3) لأي ن طبيعي

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) افترض أن n = k ثم
• 1 3 -2 3 +3 3-4 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3)
• 3) سنثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1
• (1 3-2 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2 ك + 1) 3 - (2 ك + 2) 3 = - (ك + 1) 3 (4 (ك + 1) +3)

ثبت أيضًا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

إثبات صحة الهوية

(1 2/1 ґ 3) + (2 2/3 ґ 5) + ... + (n 2 / (2n-1) ґ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1) لأي ن طبيعي

• 1) بالنسبة إلى n = 1 ، تكون الهوية صحيحة 1 2/1 ґ 3 = 1 (1 + 1) / 2 (2 + 1)
• 2) افترض أن ن = ك
• (1 2/1 ґ 3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) ґ (2 ك + 1)) = ك (ك + 1) / 2 (2 ك + 1)
• 3) نثبت أن الهوية صحيحة لـ n = k + 1
• (1 2/1 ґ 3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) (2 ك + 1)) + (ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك (ك + 1) ) / 2 (2 ك + 1)) + ((ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3)) = ((ك + 1) / (2 ك + 1)) ґ ((ك / 2) + ((ك + 1) / (2 ك + 3))) = (ك + 1) (ك + 2) ґ (2 ك + 1) / 2 (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك + 1) (ك + 2) / 2 (2 (ك + 1) +1)

يمكن أن نرى من الدليل أعلاه أن التأكيد صحيح لأي عدد صحيح موجب ن.

أثبت أن (11 n + 2 +12 2n + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

لكن (23 ґ 133) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي ، لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

• 2) افترض أن (11 k + 2 +12 2k + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون الباقي
• 3) دعنا نثبت أنه في هذه الحالة (11 k + 3 +12 2k + 3) قابل للقسمة على 133 بدون الباقي. في الواقع
• 11 ك + 3 +12 2 ك + 3 = 11 11 ك + 2 +12 2 ґ 12 2 ك + 1 = 11 ґ 11 ك + 2 +

+ (11 + 133) ґ 12 2 ك + 1 = 11 (11 ك + 2 +12 2 ك + 1) +133 ґ 12 2 ك + 1

المقدار الناتج قابل للقسمة على 133 بدون باقي ، حيث أن المصطلح الأول يقبل القسمة على 133 بدون باقي الافتراض ، وفي العامل الثاني هو 133. إذن ، A (k) Yu A (k + 1). بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد

أثبت أن أي n 7 n -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي

• 1) دع n = 1 ، ثم X 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 مقسومًا على 6 بدون باقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة
• 2) افترض أن لـ n \ u003d k 7 k -1 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي
• 3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1

X k + 1 \ u003d 7 k + 1 -1 \ u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \ u003d 7 (7 k -1) + 6

الحد الأول يقبل القسمة على 6 ، لأن 7 k -1 يقبل القسمة على 6 بافتراض ، والحد الثاني هو 6. لذا فإن 7 ن -1 هو مضاعف 6 لأي ن طبيعي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 11.

1) دع n = 1 ، إذن

X 1 \ u003d 3 3-1 +2 4-3 \ u003d 3 2 +2 1 \ u003d 11 مقسومًا على 11 بدون باقي.

لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة

• 2) افترض أن لـ n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 قابلة للقسمة على 11 بدون الباقي
• 3) نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1

X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 3 k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 = (16 + 11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 = 16 3 3k-1 +

11 3 3 ك -1 +16 2 4 ك -3 = 16 (3 3 ك -1 +2 4 ك -3) +11 3 3 ك -1

المصطلح الأول قابل للقسمة على 11 بدون باقي ، نظرًا لأن 3 3k-1 +2 4k-3 يقبل القسمة على 11 عن طريق الافتراض ، والثاني قابل للقسمة على 11 ، لأن أحد عوامله هو الرقم 11. ومن ثم ، فإن المجموع هو يمكن أيضًا القسمة على 11 بدون باقي أي قيمة n طبيعية. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

إثبات أن 11 2n -1 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 6 بدون باقي

• 1) لنفترض أن n = 1 ، إذن 11 2-1 = 120 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة
• 2) افترض أن n = k 1 2k -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي
• 11 2 (ل + 1) -1 = 121 ґ 11 2 ك -1 = 120 11 2 ك + (11 2 ك -1)

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 6 بدون باقي: الأول يحتوي على مضاعف 6 رقم 120 ، والثاني قابل للقسمة على 6 بدون باقي الافتراض. إذن ، فإن المجموع يقبل القسمة على 6 بدون الباقي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

إثبات أن 3 3n + 3 -26n-27 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 26 2 (676) بدون باقي

دعنا نثبت أولاً أن 3 3n + 3-1 يقبل القسمة على 26 دون الباقي

• 1. عندما ن = 0
• 3 3 -1 = 26 يقبل القسمة على 26
• 2. افترض أن لـ n = k
• 3 3k + 3-1 يقبل القسمة على 26
• 3. دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1
• 3 3k + 6-1 = 27 ґ 3 3k + 3-1 = 26 3 3k + 3 + (3 3k + 3-1) - يقبل القسمة على 26

دعونا الآن نثبت التأكيد الذي تمت صياغته في حالة المشكلة

• 1) من الواضح أن العبارة n = 1 صحيحة
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) افترض أنه بالنسبة لـ n = k ، فإن التعبير 3 3k + 3 -26k-27 قابل للقسمة على 26 2 بدون الباقي
• 3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1
• 3 3 ك + 6 -26 (ك + 1) -27 = 26 (3 3 ك + 3-1) + (3 3 ك + 3 -26 ك -27)

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 26 2 ؛ الأول يقبل القسمة على 26 2 لأننا أثبتنا أن التعبير بين الأقواس يقبل القسمة على 26 ، والثاني يقبل القسمة على فرضية الاستقراء. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد

أثبت أنه إذا كان n> 2 و х> 0 ، فإن المتباينة (1 + х) n> 1 + n ґ х

• 1) بالنسبة إلى n = 2 ، فإن عدم المساواة صحيحة منذ ذلك الحين
• (1 + س) 2 = 1 + 2 س + س 2> 1 + 2 س

إذن A (2) هو الصحيح

• 2) دعنا نثبت أن A (k) ⋅ A (k + 1) إذا k> 2. افترض أن A (k) صحيح ، أي أن المتباينة
• (1 + х) ك> 1 + ك ґ س. (3)

دعنا نثبت أن A (k + 1) صحيح أيضًا ، أي أن عدم المساواة

(1 + س) ك + 1> 1+ (ك + 1) س

في الواقع ، بضرب طرفي المتباينة (3) في عدد موجب 1 + x ، نحصل على

(1 + س) ك + 1> (1 + ك ґ س) (1 + س)

النظر في الجانب الأيمن من آخر عدم المساواة ؛ نملك

(1 + k ґ x) (1 + x) = 1 + (k + 1) ґ x + k ґ x 2> 1+ (k + 1) ґ x

نتيجة لذلك ، حصلنا على (1 + х) ك + 1> 1+ (ك + 1) ґ س

إذن A (k) ⋅ A (k + 1). استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، يمكن القول إن عدم مساواة برنولي صالحة لأي ن> 2

أثبت أن المتباينة (1 + a + a 2) m> 1 + m ґ a + (m (m + 1) / 2) ґ a 2 صحيحة بالنسبة لـ a> 0

الحل: 1) بالنسبة إلى m = 1

• (1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ґ a 2 كلا الجزأين متساويان
• 2) افترض أن م = ك
• (1 + a + a 2) k> 1 + k ґ a + (k (k + 1) / 2) ґ a 2
• 3) دعنا نثبت أنه بالنسبة لـ m = k + 1 فإن عدم المساواة صحيح
• (1 + أ + أ 2) ك + 1 = (1 + أ + أ 2) (1 + أ + أ 2) ك> (1 + أ + أ 2) (1 + ك ґ أ +

+ (ك (ك + 1) / 2) ґ أ 2) = 1 + (ك + 1) ґ أ + ((ك (ك + 1) / 2) + ك + 1) ґ أ 2 +

+ ((ك (ك + 1) / 2) + ك) ґ أ 3 + (ك (ك + 1) / 2) ґ أ 4> 1+ (ك + 1) ґ أ +

+ ((ك + 1) (ك + 2) / 2) ґ أ 2

لقد أثبتنا صحة عدم المساواة لـ m = k + 1 ، وبالتالي ، نظرًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المتباينة صالحة لأي m طبيعي.

أثبت أن المتباينة 3 n> n ґ 2 n + 1 لـ n> 6

دعونا نعيد كتابة المتباينة بالصيغة (3/2) n> 2n

• 1. بالنسبة إلى n = 7 لدينا 3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2 ґ 7 ، فإن المتباينة صحيحة
• 2. افترض أن n = k (3/2) k> 2k
• 3) دعنا نثبت صحة المتباينة لـ n = k + 1
• 3 ك + 1/2 ك + 1 = (3 ك / 2 ك) ґ (3/2)> 2 ك ґ (3/2) = 3 ك> 2 (ك + 1)

بما أن k> 7 ، فإن المتباينة الأخيرة واضحة.

بسبب طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المتباينة صالحة لأي ن طبيعي

برهن على أن المتباينة لـ n> 2

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ن 2)<1,7-(1/n)

• 1) بالنسبة إلى n = 3 ، فإن المتباينة صحيحة
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. افترض أن لـ n = k
• 1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ك 2) = 1.7- (1 / ك)
• 3) دعنا نثبت صحة المتباينة لـ n = k + 1
• (1+ (1/2 2) + ... + (1 / ك 2)) + (1 / (ك + 1) 2)

دعنا نثبت أن 1،7- (1 / ك) + (1 / (ك + 1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

ق (1 / (ك + 1) 2) + (1 / ك + 1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ث ك (ك + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

هذا الأخير واضح ، وبالتالي

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / (ك + 1) 2)<1,7-(1/k+1)

بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات عدم المساواة.