Предавање бр.2

математика

Тема: „Математички поими“

Математички концепти

Дефиниција на концепти

Барања за дефинирање на поими

Некои видови дефиниции

1. Математички поими

Поимите кои се изучуваат во почетниот курс по математика обично се претставени во форма на четири групи. Првиот вклучува концепти поврзани со броевите и операциите на нив: број, собирање, член, повеќе итн. Вториот вклучува алгебарски концепти: изразување, еднаквост, равенка итн. г. Четвртата група е формирана од концепти поврзани со количините и нивното мерење.

Како да се проучи таквото изобилство на различни концепти?

Пред сè, мора да се има идеја за концептот како логичка категорија и карактеристиките на математичките концепти.

Во логиката, концептите се сметаат како форма на мисла што ги рефлектира предметите (предмети или појави) во нивните суштински и општи својства. Јазичната форма на концепт е збор или група зборови.

Да се ​​состави концепт за некој објект значи да се биде во можност да се разликува од другите објекти слични на него. Математичките концепти имаат голем број карактеристики. Главната е дека математичките предмети за кои е неопходно да се формира концепт не постојат во реалноста. Математичките предмети се создадени од човечкиот ум. тоа идеални објектирефлектирајќи реални предмети или појави. На пример, во геометријата се изучуваат обликот и големината на предметите, без да се земат предвид нивните други својства: боја, маса, цврстина итн. Од сето ова тие се расеани, апстрахирани. Затоа, во геометријата, наместо зборот „објект“ велат „ геометриска фигура».

Резултатот од апстракцијата се и такви математички концепти како „број“ и „вредност“.

Општо земено, математичките предмети постојат само во човечкото размислување и во оние знаци и симболи кои го формираат математичкиот јазик.

На кажаното може да се додаде дека, при проучувањето на просторните форми и квантитативните односи на материјалниот свет, математиката не само што користи различни методи на апстракција, туку и самата апстракција делува како процес во повеќе фази. Во математиката, се земаат предвид не само концептите што се појавија во проучувањето на реалните предмети, туку и концептите што се појавија врз основа на првите. На пример, општ концептфункциите како кореспонденција е генерализација на концептите на специфични функции, т.е. апстракција од апстракции.

За да ги совлада општите приоди кон изучувањето на поимите во почетниот курс по математика, на наставникот му треба знаење за обемот и содржината на поимот, за односот меѓу поимите и за видовите дефиниции на поимите.

2. Обемот и содржината на концептот. Односите меѓу концептите

Секој математички објект има одредени својства. На пример, квадрат има четири страни, четири прави агли еднакви на дијагоналата. Можете да наведете и други својства.

Меѓу својствата на објектот се разликуваат суштински и несуштински. Својството се смета за суштинско за објектот ако е својствено за овој објект и без него не може да постои. На пример, за квадрат, сите својства споменати погоре се од суштинско значење. Својството „страната AD е хоризонтална“ не е суштинско за квадратот ABCD. Ако квадратот се ротира, тогаш страната АД ќе се наоѓа поинаку (сл. 26).

Затоа, за да се разбере што е даден математички објект, мора да се знаат неговите суштински својства.

Кога се зборува за математички концепт, тие обично значат збир на предмети означени со еден термин (збор или група зборови). Значи, кога се зборува за квадрат, тие значат сите геометриски форми кои се квадрати. Се верува дека множеството на сите квадрати е опсегот на концептот на "квадрат".

Општо земено опсегот на концептот е збир на сите објекти означени со еден член.

Секој концепт има не само опсег, туку и содржина.

Размислете, на пример, концептот на "правоаголник".

Опсегот на концептот е збир на различни правоаголници, а неговата содржина вклучува такви својства на правоаголници како што се „имаат четири прави агли“, „имаат еднакви спротивни страни“, „имаат еднакви дијагонали“ итн.

Постои врска помеѓу обемот на концептот и неговата содржина: ако обемот на концептот се зголемува, тогаш неговата содржина се намалува, и обратно. Така, на пример, опсегот на концептот „квадрат“ е дел од опсегот на концептот „правоаголник“, а содржината на концептот „квадрат“ содржи повеќе својства отколку содржината на концептот „правоаголник“ („сите страни се еднакви“, „дијагоналите се меѓусебно нормални“ итн.). ).

Секој концепт не може да се асимилира без да се реализира неговиот однос со другите концепти. Затоа, важно е да се знае во какви односи можат да бидат концептите и да може да се воспостават овие врски.

Односите меѓу концептите се тесно поврзани со односите меѓу нивните волумени, т.е. множества.

Ајде да се согласиме да ги означиме концептите со мали букви од латинската азбука: a, b, c, ..., z.

Нека се дадени два концепта a и b. Дозволете ни да ги означиме нивните волумени како A и B, соодветно.

Ако B (A ≠ B), тогаш велат дека концептот а - специфичен во однос на концептотб, и концептот б- генерички во однос на концептот a.

На пример, ако a е „правоаголник“, b е „четириаголник“, тогаш нивните волумени A и B се во однос на вклучувањето (A B и A ≠ B), бидејќи секој правоаголник е четириаголник. Затоа, може да се тврди дека концептот „правоаголник“ е специфичен во однос на концептот „четириаголник“, а концептот „четириаголник“ е генерички во однос на концептот „правоаголник“.

Ако A = B, тогаш велиме дека концепти а ибсе идентични.

На пример, концептите на „рамностран триаголник“ и „рамностран триаголник“ се идентични, бидејќи нивните волумени се исти.

Ако множествата А и Б не се поврзани со инклузивна врска, тогаш велат дека поимите a и b не се во однос на родот и видот и не се идентични. На пример, концептите на „триаголник“ и „правоаголник“ не се поврзани со такви односи.

Да ја разгледаме подетално врската на родот и видот помеѓу концептите. Прво, концептите за род и вид се релативни: истиот концепт може да биде генерички во однос на еден концепт и вид во однос на друг. На пример, концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“ и специфичен во однос на концептот „четириаголник“.

Второ, за овој концептчесто е можно да се специфицираат неколку генерички концепти. Значи, за концептот на "правоаголник" концептите на "четириаголник", "паралелограм", "полигон" се генерички. Меѓу нив, можете да го наведете најблискиот. За концептот „правоаголник“ најблизок е концептот „паралелограм“.

Трето, конкретниот концепт ги има сите својства на генеричкиот концепт. На пример, квадрат, како концепт на видови во однос на концептот на „правоаголник“, ги има сите својства својствени на правоаголникот.

Бидејќи опсегот на концептот е множество, погодно е, кога се воспоставуваат односи меѓу опсегот на концептите, да се прикажат со помош на Ојлеровите кругови.

Да ја утврдиме, на пример, врската помеѓу следните парови на концепти a и b, ако:

1) а - "правоаголник", б - "ромб";

2) а - "полигон", б - "паралелограм";

3) а - "права линија", б - "сегмент".

Во случајот 1) волумените на концептите се сечат, но ниту едно множество не е подмножество на друго (сл. 27).

Затоа, може да се тврди дека овие концепти a и b не се во врска со родот и видот.

Во случајот 2), волумените на овие концепти се во однос на вклучувањето, но не се совпаѓаат - секој паралелограм е многуаголник, но не и обратно (сл. 28). Затоа, може да се тврди дека концептот „паралелограм“ е специфичен во однос на концептот „полигон“, а концептот „полигон“ е генерички во однос на концептот „паралелограм“.

Во случајот 3), волумените на концептите не се сечат, бидејќи ниту една отсечка не може да се каже дека е права линија, а ниту една права линија не може да се нарече отсечка (сл. 29).

Затоа, овие концепти не се поврзани со родот и видот.

За концептите на „права линија“ и „сегмент“ може да се каже дека тие се во однос на целината и делот:Сегмент е дел од линијата, а не нејзин вид. И ако конкретниот концепт ги има сите својства на генеричкиот концепт, тогаш делот не мора да ги има сите својства на целината. На пример, сегментот нема праволиниско својство како неговата бесконечност.

Формирање на елементарни математички концепти на помлад ученик

Е.Ју. Тогобецкаја, магистер на Катедрата за педагогија и наставни методи

Тољати Педагошки универзитет, Тољати (Русија)

Клучни зборови: математички концепти, апсолутни концепти, релативни концепти, дефиниции.

Прибелешка: Во училишната практика, многу наставници ги принудуваат учениците да ги запаметат дефинициите на поимите и бараат знаење за нивните основни својства за да се докаже. Сепак, резултатите од таквата обука обично се незначителни. Ова се случува затоа што мнозинството ученици, при примена на поимите научени на училиште, се потпираат на неважни знаци, додека учениците ги сфаќаат и репродуцираат суштинските знаци на поимите само кога одговараат на прашања кои бараат дефиниција на концептот. Честопати учениците прецизно ги репродуцираат концептите, односно откриваат знаење за неговите суштински карактеристики, но не можат да го применат ова знаење во пракса, тие се потпираат на оние случајни карактеристики идентификувани преку директно искуство. Процесот на асимилација на концептите може да се контролира, тие можат да се формираат со дадените квалитети.

клучни зборови: математички концепти, апсолутни концепти, релативни концепти, дефиниции.

Апстракт: Во училишната практика многу наставници постигнуваат од учениците на учење дефиниции на поими и познавање на нивните основни докажани барања за својства. Сепак, резултатите од таквата обука обично се незначителни. Тоа се случува затоа што мнозинството ученици, применувајќи ги поимите стекнати на училиште, учениците се потпираат на неважните знаци, суштинските знаци на поимите ги реализираат и репродуцираат само при одговорот на прашањата кои бараат дефинирање на концептот. Честопати, учениците непогрешливо репродуцираат концепти, односно дознаваат знаење за неговите суштински знаци, но ова знаење не може да се спроведе во пракса, да се потпре на оние случајни знаци доделени благодарение на искуството од прва рака. Процес на совладување на концептите е можно да се работи, да се формираат со поставените квалитети.

При совладувањето на научните знаења, основците се соочуваат со различни видови поими. Неспособноста на ученикот да ги разликува поимите доведува до нивна неадекватна асимилација.

Логиката во концептите ги разликува обемот и содржината. Волуменот се подразбира како класа на објекти кои припаѓаат на овој концепт, се обединети со него. Значи, опсегот на концептот на триаголник го вклучува целиот сет на триаголници, без оглед на нивните специфични карактеристики (видови на агли, големина на страни итн.).

Содржината на концептите се подразбира како систем на суштински својства, според кој овие предмети се комбинираат во една класа. За да се открие содржината на концептот, неопходно е споредбено да се утврди кои знаци се неопходни и доволни за да се истакне неговиот однос со другите предмети. Сè додека содржината и карактеристиките не се воспоставени, суштината на предметот што го рефлектира овој концепт не е јасна, невозможно е точно и јасно да се ограничи овој објект од оние во непосредна близина на него, се јавува конфузија во размислувањето.

На пример, концептот на триаголник, таквите својства го вклучуваат следново: затворена фигура, се состои од три линии. Множеството својства со кои објектите се комбинираат во една класа се нарекуваат неопходни и доволни карактеристики. Во некои концепти, овие карактеристики се надополнуваат едни со други, формирајќи ја содржината, според која објектите се комбинираат во една класа. Пример за такви концепти се триаголник, агол, симетрала и многу други.

Множеството од овие објекти на кои се применува овој концепт сочинува логичка класа на објекти. Логичка класа на објекти е збир на објекти кои имаат заеднички карактеристики, како резултат на што тие се изразуваат со заеднички концепт. Логичката класа на објекти и опсегот на соодветниот концепт се исти.Поимите се поделени на типови според содржината и обемот, во зависност од природата и бројот на предмети на кои се применуваат. По волумен, математичките концепти се поделени на еднина и општи. Ако опсегот на концептот вклучува само еден објект, тој се нарекува сингулар.

Примери на единечни концепти: „најмал двоцифрен број“, „број 5“, „квадрат со должина на страна од 10 см“, „круг со радиус од 5 см“. Општиот концепт ги прикажува карактеристиките на одреден сет на објекти. Обемот на таквите концепти секогаш ќе биде поголем од волуменот на еден елемент. Примери на општи поими: „множество од двоцифрени броеви“, „триаголници“, „равенки“, „неравенки“, „броеви кои се множители на 5“, „учесници по математика за основно училиште“. Според содржината се разликуваат поимите сврзник и дисјунктивен, апсолутен и конкретен, ирелативен и релативен.

Концептите се нарекуваат конјунктивни ако нивните карактеристики се меѓусебно поврзани и ниту еден од нив поединечно не ви дозволува да идентификувате објекти од оваа класа, карактеристиките се поврзани со унијата „и“. На пример, објектите поврзани со концептот на триаголник мора нужно да се состојат од три линии и да бидат затворени.

Во другите концепти, односот помеѓу неопходните и доволните карактеристики е различен: тие не се надополнуваат, туку заменуваат. Ова значи дека една карактеристика е еквивалентна на другата. Пример за овој тип на врска помеѓу знаците може да послужи како знаци за еднаквост на отсечки, агли. Познато е дека класата на еднакви отсечки вклучува такви отсечки кои: а) или се совпаѓаат кога се надредени; б) или одделно еднакво на третиот; в) или се состои од еднакви делови итн.

Во овој случај, наведените карактеристики не се бараат сите во исто време, како што е случајот со конјуктивниот тип на концепти; тука е доволно да се има една од сите наведени карактеристики: секоја од нив е еквивалентна на која било од другите. Поради ова, знаците се поврзани со синдикатот "или". Таквото поврзување на атрибутите се нарекува дисјункција, а концептите соодветно се нарекуваат дисјунктивни. Исто така, важно е да се земе предвид поделбата на концептите на апсолутни и релативни.

Апсолутните концепти ги комбинираат објектите во класи според одредени карактеристики што ја карактеризираат суштината на овие објекти како такви. Така, концептот на агол ги одразува својствата што ја карактеризираат суштината на секој агол како таква. Слична е ситуацијата и со многу други геометриски концепти: круг, зрак, ромб итн.

Релативните концепти ги комбинираат објектите во класи според својствата што ја карактеризираат нивната врска со други објекти. Значи, во концептот на нормални линии, она што го карактеризира односот на две прави едни со други е фиксирано: пресек, формирање во исто време прав агол. Слично на тоа, концептот на број го одразува односот на измерената вредност и прифатениот стандард. Релативните концепти им предизвикуваат на учениците посериозни тешкотии отколку апсолутните концепти. Суштината на тешкотиите лежи токму во тоа што учениците не ја земаат предвид релативноста на концептите и работат со нив како со апсолутни концепти. Така, кога наставникот бара од учениците да нацртаат нормална, некои од нив цртаат вертикала. Посебно внимание треба да се посвети на концептот на број.

Бројот е односот на она што се квантифицира (должина, тежина, волумен, итн.) со стандардот што се користи за оваа проценка. Очигледно, бројот зависи и од измерената вредност и од стандардот. Колку е поголема измерената вредност, толку ќе биде поголем бројот со истиот стандард. Напротив, колку е поголем стандардот (мерката), толку ќе биде помал бројот кога се оценува истата вредност. Затоа, учениците од самиот почеток треба да разберат дека споредбата на броевите по големина може да се направи само кога тие се поддржани од истиот стандард. Навистина, ако, на пример, се добие пет при мерење на должината во сантиметри, а три кога се мери во метри, тогаш три означува поголема вредност од пет. Ако учениците не ја научат релативната природа на бројот, тогаш тие ќе доживеат сериозни тешкотии во учењето на системот на броеви. Тешкотиите во асимилацијата на релативните концепти опстојуваат кај учениците во средните, па дури и во повисоките одделенија на училиштето. Постои врска помеѓу содржината и опсегот на концептот: колку е помал опсегот на концептот, толку е поголема неговата содржина.

На пример, концептот „квадрат“ има помал опсег од опфатот на концептот „правоаголник“ бидејќи секој квадрат е правоаголник, но не секој правоаголник е квадрат. Затоа, концептот „квадрат“ има поголема содржина од концептот „правоаголник“: квадрат ги има сите својства на правоаголник, а некои други (за квадрат, сите страни се еднакви, дијагоналите се меѓусебно нормални).

Во процесот на размислување, секој концепт не постои посебно, туку влегува во одредени врски и односи со други поими. Во математиката, важна форма на поврзување е генеричката зависност.

На пример, разгледајте ги концептите „квадрат“ и „правоаголник“. Опсегот на концептот „квадрат“ е дел од опфатот на концептот „правоаголник“. Затоа, првиот се нарекува вид, а вториот - генерички. Во односите род-вид, треба да се направи разлика помеѓу концептот на најблискиот род и следните генерички чекори.

На пример, за погледот „квадрат“ најблискиот род ќе биде родот „правоаголник“, за правоаголникот најблискиот род ќе биде родот „паралелограм“, за „паралелограмот“ - „четириаголник“, за „четириаголникот“ - „полигон“, а за „полигон“ - „рамна фигура.

AT основно училиштеза прв пат, секој концепт се воведува визуелно, со набљудување на конкретни предмети или со практично работење (на пример, при нивно броење). Наставникот се базира на знаењето и искуството на децата што ги стекнале училишна возраст. Запознавањето со математичките поими се фиксира со помош на поим или поим и симбол. Овој метод на работа на математички концепти во основно училиштене значи дека во овој курс не се користат различни видови дефиниции.

Да се ​​дефинира концепт значи да се наведат сите суштински карактеристики на објектите што се вклучени во овој концепт. Вербалното дефинирање на концептот се нарекува поим. На пример, „број“, „триаголник“, „круг“, „равенка“ се термини.

Дефиницијата решава два проблема: издвојува и издвојува одреден концепт од сите други и ги означува оние главни карактеристики без кои концептот не може да постои и од кои зависат сите други карактеристики.

Дефиницијата може да биде повеќе или помалку длабока. Тоа зависи од нивото на знаење за концептот на кој се мисли. Колку подобро го знаеме, толку е поголема веројатноста дека ќе можеме да му дадеме подобра дефиниција. Во практиката на наставата помлади ученицисе применуваат експлицитни и имплицитни дефиниции. Експлицитните дефиниции имаат форма на еднаквост или совпаѓање на два концепта.

На пример: „Пропедевтиката е вовед во секоја наука“. Овде, два концепта се поистоветуваат еден до еден - „пропедевтика“ и „влегување во која било наука“. Во дефиницијата „Квадрат е правоаголник во кој сите страни се еднакви“ имаме совпаѓање на поими. При предавањето на помладите ученици, контекстуалните и изразените дефиниции се од особен интерес меѓу имплицитните дефиниции.

Секој пасус од текстот, без оглед на контекстот, во кој се појавува концептот што нè интересира, во извесна смисла е негова имплицитна дефиниција. Контекстот го става концептот во врска со други концепти и со тоа ја открива неговата содржина.

На пример, кога работите со деца такви изрази како „пронајди ги вредностите на изразот“, „спореди ја вредноста на изразите 5 + а и (а - 3) 2 ако a = 7“, „читај изрази што се суми “, „прочитај ги изразите , а потоа читај ги равенките“, го откриваме концептот „математички израз“ како запис кој се состои од броеви или променливи и знаци на дејства. Речиси сите дефиниции што ги среќаваме Секојдневниот животсе контекстуални дефиниции. Откако слушнавме непознат збор, се обидуваме сами да го утврдиме неговото значење врз основа на сè што е кажано. Истото важи и за подучувањето на помладите ученици. Многу математички концепти во основното училиште се дефинирани преку контекст. Ова се, на пример, концепти како „големо - мало“, „било кој“, „било кој“, „еден“, „многу“, „број“, „ аритметичка операција“, “равенка”, “задача” итн.

Контекстуалните дефиниции остануваат во поголемиот делнецелосни и нецелосни. Тие се користат во врска со неподготвеноста на помладиот студент да ја асимилира целосната и, дотолку повеќе, научната дефиниција.

Отензивните дефиниции се дефиниции со демонстрација. Тие наликуваат на обични контекстуални дефиниции, но контекстот овде не е пасус од некој текст, туку ситуацијата во која се наоѓа објектот означен со концептот. На пример, наставникот покажува квадрат (цртеж или модел на хартија) и вели „Гледај - тоа е квадрат“. Ова е типична нагласена дефиниција.

Во основните одделенија, се користат наметливи дефиниции кога се разгледуваат концепти како „црвена (бела, црна, итн.) боја“, „лево - десно“, „лево кон десно“, „број“, „претходен и следен број“, „ означува аритметички операции“, „знаци за споредување“, „триаголник“, „четириаголник“, „коцка“ итн.

Врз основа на асимилацијата на значењата на зборовите на осетно начин, можно е да се воведе во детскиот речник веќе вербалното значење на новите зборови и фрази. Отензивните дефиниции - и само тие - го поврзуваат зборот со нештата. Без нив јазикот е само вербална чипка која нема објективна, суштинска содржина. Забележете дека во основните одделенија, прифатливите дефиниции се како „Зборот „пентагон“ ќе го нарекуваме многуаголник со пет страни“. Ова е таканаречената „номинална дефиниција“. Во математиката се користат различни експлицитни дефиниции. Најзастапена од нив е дефиницијата преку најблискиот род и вид карактер. Генеричката дефиниција се нарекува и класична.

Примери за дефиниции преку род и специфичен атрибут: „Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни“, „Ромб е паралелограм чии страни се еднакви“, „Правоаголник е паралелограм чии агли се правилни“, „А квадрат е правоаголник во кој страните се еднакви“, „Квадрат е ромб со прави агли“.

Размислете за дефинициите за квадрат. Во првата дефиниција, најблискиот род би бил „правоаголник“, а карактеристиката на видот би била „сите страни се еднакви“. Во втората дефиниција, најблизок род е „ромб“, а специфичната карактеристика е „прави агли“. Ако не го земеме најблискиот род („паралелограм“), тогаш ќе има две специфични карактеристики на квадратот. „Паралелограм се нарекува квадрат, во кој сите страни се еднакви и сите агли се правилни“.

Во генеричката релација се поимите „собирање (одземање, множење, делење)“ и „аритметичка операција“, концептот „акутен (право, тап) агол“ и „агол“. Нема толку многу примери на експлицитни генерички односи меѓу многуте математички концепти што се разгледуваат во основните одделенија. Но, земајќи ја предвид важноста на дефиницијата преку особина на родот и видот во понатамошното образование, пожелно е да се постигне разбирање на учениците за суштината на дефиницијата на овој вид уште во основните одделенија.

Одделни дефиниции може да го разгледаат концептот и начинот на неговото формирање или појавување. Овој тип на дефиниција се нарекува генетски. Примери за генетски дефиниции: „Агол се зраците што излегуваат од една точка“, „Дијагоналата на правоаголникот е отсечка што ги поврзува спротивните темиња на правоаголникот“. Во основните одделенија, генетските дефиниции се користат за концепти како „сегмент“, „скршена линија“, „прав агол“, „круг“. Дефиницијата преку списокот може да се припише и на генетските концепти.

На пример, „Природната серија на броеви е броевите 1, 2, 3, 4 итн. Некои поими во основните одделенија се воведуваат само преку поимот. На пример, единиците за време се година, месец, час, минута. Постојат концепти во основните одделенија кои се претставени на симболичен јазик во форма на еднаквост, на пример, a 1 = a, и 0 = 0

Од наведеното можеме да заклучиме дека во основните одделенија многу математички поими прво се стекнуваат површно, нејасно. На првото запознавање, учениците учат само за некои својства на концептите, тие имаат многу тесна идеја за нивниот опсег. И ова е природно. Не се лесни за разбирање сите концепти. Но, неспорно е дека разбирањето и навременото користење од страна на наставникот на одредени видови дефиниции на математичките поими е еден од условите за формирање на солидни знаења за овие поими кај учениците.

Библиографија:

1. Богданович М.В. Дефиниција на математички поими // Основно училиште 2001. - бр.4.

2. Глузман Н.А. Формирање на генерализирани методи на ментална активност кај помладите ученици. - Јалта: KSGI, 2001. - 34 стр.

3. Дрозд В.Л. Урбан М.А. Од мали проблеми до големи откритија. //Основно училиште. - 2000. - бр.5.

Министерство за образование на Република Белорусија

„Гомел Државниот универзитетнив. Ф. Скарина“

Математички факултет

Одделение за МПМ

апстрактни

Математички концепти

Извршител:

Ученик од групата М-32

Молодцова А.Ју.

Научен советник:

Канд. физика и математика науки, вонреден професор

Лебедева М.Т.

Гомел 2007 година

Вовед

Формулациите на многу дефиниции (теореми, аксиоми) се разбирливи за учениците, лесно се паметат по мал број повторувања, па затоа е препорачливо на почетокот да се предложи да се запаметат, а потоа да се научи како да се применуваат при решавање на проблеми.

одвои.

1. Обемот и содржината на концептот. Класификација на концепти

Објектите на реалноста имаат: а) заеднички својства кои ги изразуваат неговите карактеристични својства (на пример, равенка од трет степен со една променлива - кубна равенка); б) општи својства кои можат да бидат карактеристични ако ги изразуваат суштинските својства на предметот (неговите карактеристики) што го разликуваат од многу други предмети.

Терминот „концепт“ се користи за означување на ментална слика на одредена класа на предмети, процеси. Психолозите разликуваат три форми на размислување:

1) концепти (на пример, медијана е отсечка што поврзува теме со спротивната страна на триаголникот);

2) пресуди (на пример, за аглите на произволен триаголник е точно:);

3) заклучоци (на пример, ако a>b и b>c, тогаш a>c).

Карактеристично за форми на размислување во концептисе: а) производ на високо организирана материја; б) го одразува материјалниот свет; в) се јавува во сознанието како средство за генерализација; г) значи конкретно човечка активност; д) неговото формирање во умот е неразделно од неговото изразување преку говор, пишување или симбол.

Математичкиот концепт отсликува во нашето размислување одредени форми и односи на реалноста, апстрахирани од реални ситуации. Нивното формирање се случува според шемата:

Секој концепт комбинира збир на објекти или односи, наречени опсегот на концептот, и карактеристичните својства својствени за сите елементи на ова множество и само нив, изразувајќи содржината на концептот.

На пример, математичкиот концепт е четириаголник. Неговиот волумен: квадрат, правоаголник, паралелограм, ромб, трапез, итн. Содржина: 4 страни, 4 агли, 4 врвови (карактеристични својства).

Содржината на концептот ригидно го одредува неговиот опсег и, обратно, опсегот на концептот целосно ја одредува неговата содржина. Преминот од сетилно на логичко ниво се случува преку генерализации:или преку избор на заеднички карактеристики на објектот (паралелограм - четириаголник - многуаголник); или преку општи знаци во комбинација со посебни или еднина, што доведува до специфичен концепт.

Во процесот на генерализација, обемот се проширува, а содржината се стеснува. Во процесот на специјализација на концептот, обемот се стеснува, а содржината се проширува.

На пример:

многуаголници - паралелограми;

триаголниците се рамнострани триаголници.

Ако опсегот на еден концепт е содржан во опсегот на друг концепт, тогаш се нарекува вториот концепт генерички, во однос на првиот; а првиот се вика специфиченво однос на вториот. На пример: паралелограм - ромб (род) (поглед).

Процесот на разјаснување на опсегот на концептот се нарекува класификација, чија шема изгледа вака:

нека се даде множество и некое својство и нека има елементи и во имањето и во немањето на ова својство. Нека:

Изберете во нов имот и поделете го по ова својство:

На пример: 1) класификација на нумерички множества, како одраз на развојот на концептот на број; 2) класификација на триаголници: а) по страни; б) агли.

Задача број 1.Го претставуваме множеството триаголници користејќи ги точките на квадратот.

Рамнокрак својство;

Својство на правоаголност;

Дали има триаголници кои ги имаат овие својства во исто време?

2. Математички дефиниции. Видови грешки во дефинирањето на поимите

Последната фаза во формирањето на концептот е нејзината дефиниција, т.е. прифаќање на условниот договор. Дефиницијата се подразбира како набројување на потребните и доволните карактеристики на концептот, сведено на кохерентна реченица (вербална или симболична).

2.1 Начини на дефинирање поими

Првично, се разликуваат недефинирани концепти, врз основа на кои математичките концепти се дефинираат на следниве начини:

1) преку најблиската родова и родова разлика: а) описни(објаснување на процесот со кој е изградена дефиницијата, или опишување на внатрешната структура, во зависност од оние операции со кои оваа дефиницијае изграден од недефинирани концепти); б) конструктивен(или генетски) укажувајќи на потеклото на концептот.

На пример: а) правоаголник е паралелограм со сите прави агли; б) круг е фигура која се состои од сите точки на рамнината еднакво оддалечени од дадена точка. Оваа точка се нарекува центар на кругот.

2) индуктивно.На пример, дефиницијата за аритметичка прогресија:

3) преку апстракција. На пример, природен број е карактеристика на класи на еквивалентни конечни множества;

4) аксиоматска (индиректна дефиниција). На пример, одредување на плоштината на фигура во геометријата: за едноставни фигури, областа е позитивна вредност, нумеричка вредносткој ги има следните својства: а) еднаквите фигури имаат еднакви плоштини; б) ако фигурата е поделена на делови што се едноставни фигури, тогаш плоштината на оваа бројка е еднаква на збирот на површините на нејзините делови; в) плоштината на квадрат со страна еднаква на мерната единица е еднаква на еден.

2.2 Експлицитни и имплицитни дефиниции

Дефинициите се поделени на:

а) експлицитна, во кои јасно се разликуваат дефинираните и дефинирачките поими (на пример, дефиниција преку најблискиот род и специфичната разлика);

б) имплицитна, кои се изградени на принципот на замена на еден концепт со друг со поширок опфат и крајот на синџирот е недефиниран концепт, т.е. формална логичка дефиниција (на пример, квадрат е ромб со прав агол; ромб е паралелограм со еднакви соседни страни; паралелограм е четириаголник со паралелни страни во пар; четириаголник е фигура која се состои од 4 агли, 4 темиња, 4 страни). AT училишни дефинициинајчесто се практикува првиот метод, чија шема е следна: имаме множества и одредено својство тогаш

Главниот услов за конструирање дефиниции е дека множеството што се дефинира мора да биде подмножество од минималното множество. На пример, да споредиме две дефиниции: (1) Квадрат е ромб со прав агол; (2) Квадрат е паралелограм со еднакви страни и прав агол (редундантен).

Секоја дефиниција е решение за проблемот на „доказ за постоење“. На пример, правоаголен триаголник е триаголник со прав агол; неговото постоење е конструкција.

2.3 Карактеристики на главните типови на грешки

Забелешка типични грешкисо кои учениците се среќаваат при дефинирањето на поимите:

1) употребата на неминимално множество како дефинирачко, вклучување на логички зависни својства (типично кога се повторува материјалот).

На пример: а) паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се еднакви и паралелни; б) правата се нарекува нормална на рамнината ако, вкрстувајќи се со оваа рамнина, формира прав агол со секоја линија нацртана на рамнината низ пресечната точка, наместо: „правата се нарекува нормална на рамнината ако е нормална до сите линии на оваа рамнина“;

2) употребата на дефинираниот концепт и како дефинирачки.

На пример, прав агол не се дефинира како еден од еднакви соседни агли, туку како агли со меѓусебно нормални страни;

3) тавтологија - концепт се дефинира преку самиот концепт.

На пример, две фигури се нарекуваат слични ако се преведени една во друга со трансформација на сличност;

4) понекогаш дефиницијата не го означува дефинирачкото множество од кое се издвојува дефинираното подмножество.

На пример, „медијаната е права линија ...“ наместо „медијаната е сегмент што поврзува ...“;

5)во дефинициите дадени од студентите, понекогаш концептот што се дефинира е целосно отсутен,што е можно само кога учениците не се навикнати да даваат целосни одговори.

Методологијата за корекција на грешките во дефинициите вклучува, првично, откривање на суштината на направените грешки, а потоа спречување на нивното повторување.

3. Структура на дефиницијата

1) Конјуктивна структура: две точки и се нарекуваат симетрични во однос на правата p( А(x)) ако оваа права p е нормална на отсечката и минува низ нејзината средна точка. Исто така, ќе претпоставиме дека секоја точка од правата p е симетрична за себе во однос на правата p (присуство на унијата „и“) (* - „Симетралата на аголот е зрак што доаѓа од неговото теме, поминува меѓу неговите страни и го дели аголот на половина“).

2)Структурна структура: „Нека е дадена фигура, а p фиксна линија. Земете произволна точка на сликата и спуштете ја нормалната на правата стр. На продолжението на нормата над точката, издвои отсечка еднаква на отсечката. Трансформацијата на фигура во фигура, во која секоја точка оди во точка изградена на одреден начин, се нарекува симетрија во однос на правата p.

3) Дисјунктивна структура: сет дефиниција Зцели броеви може да се напишат на јазикот на својствата во форма З Нили Нили =0, каде N-збир на броеви кои се спротивни на природните броеви.

4. Карактеристики на главните фази во изучувањето на математичките поими

Методологијата за работа на дефиниција вклучува: 1) познавање на дефиницијата; 2) учење да препознава предмет што одговара на дадена дефиниција; 3) изградба на разни контрапримери. На пример, концептот на „правоголен триаголник“ и работа на препознавање на неговите составни елементи:

Проучувањето на математичките дефиниции може да се подели во три фази:

Фаза 1 - вовед - создавање ситуација на часот кога учениците или самите „откриваат“ нови работи, самостојно формираат дефиниции за нив или едноставно се подготвуваат за нивното разбирање.

Фаза 2 - обезбедување асимилација - се сведува на тоа да се осигури дека учениците:

а) научи да ја применува дефиницијата;

б) брзо и прецизно да ги запаметат;

в) го разбра секој збор во нивните формулации.

Третата фаза - консолидација - се изведува во следните лекции и се сведува на повторување на нивните формулации и обработка на вештините за примена за решавање проблеми.

Запознавање со новите концепти се врши:

Метод 1: учениците се подготвуваат за самостојно формирање на дефиниција.

Метод 2: учениците се подготвуваат за свесна перцепција, разбирање на нова математичка реченица, чија формулација потоа им се известува во готова форма.

Метод 3: самиот наставник формулира нова дефиниција без никаква подготовка, а потоа ги фокусира напорите на учениците на нивна асимилација и консолидација.

Методите 1 и 2 го претставуваат хеуристичкиот метод, методот 3 - догматски. Употребата на кој било од методите треба да биде соодветна на нивото на подготвеност на часот и искуството на наставникот.

5. Карактеристики на методите за воведување поими

Следниве методи се можни кога се воведуваат концепти:

1) Можете да креирате вежби кои им овозможуваат на учениците брзо да формулираат дефиниција за нов концепт.

На пример: а) Запишете ги првите неколку членови од низата (), која има =2, . Оваа низа се нарекува геометриска прогресија. Обидете се да ја формулирате неговата дефиниција. Можете да се ограничите на подготовка за перцепција на нов концепт.

б) Запиши ги првите неколку членови на низата (), која има = 4, Потоа наставникот вели дека таквата низа се нарекува аритметичка прогресија и тој самиот ја дава нејзината дефиниција.

2) при изучувањето на геометриските поими, вежбите се формулираат на таков начин што учениците сами ја градат потребната фигура и можат да ги истакнат знаците на нов концепт неопходен за формулирање дефиниција.

На пример: изградете произволен триаголник, поврзете го неговото теме со отсечка до средината на спротивната страна. Овој сегмент се нарекува медијана. Формулирајте ја дефиницијата за медијана.

Понекогаш се предлага да се подготви модел или, со оглед на готовите модели и цртежи, да се истакнат карактеристиките на новиот концепт и да се формулира неговата дефиниција.

На пример: дефиницијата за паралелепипед беше воведена во одделение 10. Според предложените модели на коси, прави и правоаголни паралелепипеди, идентификувајте ги карактеристиките по кои се разликуваат овие концепти. Формулирајте ги соодветните дефиниции за правоаголни и правоаголни паралелепипеди.

3) Многу алгебарски концепти се воведени врз основа на конкретни примери.

На пример: графикон линеарна функцијае права линија.

4)Методот на целисходни задачи,(развиено од С.И. Шохор-Троцки) Со помош на специјално избрана задача, учениците доаѓаат до заклучок дека е неопходно да се воведе нов концепт и целисходноста да му се даде токму истото значење што веќе го има во математиката.

Во 5-6 одделение со овој метод се воведуваат поими: равенка, корен на равенка, решение на неравенки, концепт на собирање, одземање, множење, делење. природни броеви, децимални и обични дропки итн.

Конкретен индуктивен метод

Суштина:

а) се разгледуваат конкретни примери;

б) се истакнуваат суштинските својства;

в) се формулира дефиниција;

г) се изведуваат вежби: за препознавање; за дизајн;

д) работа на имоти кои не се вклучени во дефиницијата;

д) примена на својства.

На пример: тема - паралелограми:

1, 3, 5 - паралелограми.

б) суштински карактеристики: четириаголник, парен паралелизам на страни.

в) препознавање, изградба:

г) најдете (изградете) четвртото теме на паралелограмот (* - задача бр. 3, чл. 96, Геометрија одделение 7-11: Колку паралелограми може да се изградат со темиња во три дадени поенине лежи на иста права линија? Изградете ги.).

д) други својства:

AC и BD се сечат во точката O и AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

д) A=C, B=D.

Консолидација: решавање задачи бр.4-23, стр.96-97, Геометрија 7-11, Погорелов.

Перспективна вредност:

а) се користи при проучување и дефинирање на правоаголник и ромб;

б) принципот на паралелизам и еднаквост на отсечки затворени помеѓу паралелни прави во теоремата на Талесот;

в) концептот на паралелен превод (вектор);

г) својството на паралелограм се користи при изведување на плоштината на триаголник;

д) паралелизам и перпендикуларност во просторот; паралелепипед; призма.

Апстрактно-дедуктивен метод

Суштина:

а) дефинирање на поимот: - квадратна равенка;

б) избор на суштински својства: x - променлива; a, b, c - броеви; a?0 во

в) конкретизирање на концептот: - намалено; примери на равенки

г) вежби: за препознавање, за изградба;

д) проучување на својства кои не се вклучени во дефиницијата: корените на равенката и нивните својства;

д) решавање на проблеми.

На училиште, апстрактно-дедуктивниот метод се користи кога новиот концепт е целосно подготвен со проучување на претходните концепти, вклучувајќи го и проучувањето на најблискиот генерички концепт, а специфичната разлика на новиот концепт е многу едноставна и разбирлива за учениците.

На пример: дефиниција за ромб по проучување на паралелограм.

Исто така, се користи горенаведениот метод:

1) при составувањето на „педигре“ на дефиницијата на концептот:

Квадрат е правоаголник со сите страни еднакви.

Правоаголник е паралелограм со сите прави агли.

Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни.

Четириаголник е фигура која се состои од четири точки и четири отсечки што ги поврзуваат во серија.

Со други зборови, генеалогијата е синџир на концепти изградени преку генерализации на претходниот концепт, чијшто финален концепт е недефиниран концепт (се потсетиме дека во текот на училишната геометрија тие вклучуваат точка, фигура, рамнина, растојание ( да лежи помеѓу));

2) класификација;

3) се применува на докази за теореми и решавање проблеми;

4) широко се користи во процесот на ажурирање на знаењето.

Размислете за овој процес, претставен со систем за задачи:

а) Даден е правоаголен триаголник со страни 3 cm и 4 cm. Најдете ја должината на медијаната нацртана до хипотенузата.

б) Докажете дека медијаната извлечена од темето на правиот агол на триаголникот е еднаква на половина од хипотенузата.

в) Докажете дека во правоаголен триаголник симетралата на правиот агол го преполовува аголот помеѓу средната и висината нацртана до хипотенузата.

г) На продолжението на најдолгата страна AC на триаголникот ABC, се исцртува отсечката CM, еднаква на страната BC. Докажи дека AVM е тап.

Во најголем број случаи во училишната настава се користи конкретно-индуктивниот метод. Конкретно, овој метод воведува концепти во пропедевтичките циклуси на почетоците на алгебрата и геометријата од 1-6 одделение, а многу дефинирачки концепти се воведуваат описно, без строги формулации.

Непознавањето на наставникот за различните методи на воведување дефиниции доведува до формализам, кој се манифестира на следниов начин:

а) на учениците им е тешко да ги применат дефинициите во необична ситуација, иако ја паметат неговата формулација.

На пример: 1) функцијата ја сметаат за парна, затоа што „cos“ - дури;

2) - не ја разбираат врската помеѓу монотоноста на функцијата и решението на неравенство, т.е. не може да ги примени соодветните дефиниции, во кои главниот метод на истражување е да се процени знакот на разликата помеѓу вредностите на функцијата, т.е. при решавање на неравенки.

б) учениците имаат вештини да решаваат проблеми од секаков вид, но не можат да објаснат врз основа на кои дефиниции, аксиоми, теореми вршат одредени трансформации.

На пример: 1) - трансформирајте според оваа формула и 2) замислете дека на масата е модел на четириаголна пирамида. Кој многуаголник ќе биде основата на оваа пирамида ако моделот се стави на масата со страничната страна? (четириаголник).

Процесот на формирање знаења, вештини и способности не е ограничен само на комуникација на ново знаење.

Ова знаење мора да се стекне и консолидира.

6. Методологија за обезбедување на асимилација на математички поими (реченици)

1. Формулациите на многу дефиниции (теореми, аксиоми) им се јасни на учениците, лесно се паметат по мал број повторувања, па затоа е препорачливо прво да се предложи да се запаметат, а потоа да се научат како да ги применуваат при решавање на проблеми.

Методот во кој процесите на запомнување на дефинициите и формирањето на вештини за нивна примена се случуваат кај учениците несимултано (одделно) се нарекува. одвои.

Посебниот метод се користи за проучување на дефинициите на акорд, трапез, парни и непарни функции, Питагорова теореми, знаци на паралелни прави, теорема на Виета, својства на нумерички неравенки, правила за множење за обични дропки, собирање дропки со исти именители итн. .

Методологија:

а) наставникот формулира нова дефиниција;

б) учениците од одделението за меморирање го повторуваат 1-3 пати;

в) вежба во вежби.

2. Компактен методсе состои во тоа што учениците читаат математичка дефиниција или реченица на делови и во текот на читањето истовремено изведуваат вежба.

Читајќи ја формулацијата неколку пати, попатно ја меморираат.

Методологија:

а) изработка на математички предлог за апликација. Дефиницијата е поделена на делови според карактеристики, теоремата - на услов и заклучок;

б) примерок од дејства понудени од наставникот, кој покажува како се работи со подготвениот текст: го читаме во делови и истовремено ги правиме вежбите;

в) учениците ја читаат дефиницијата на делови и истовремено изведуваат вежби, водени од подготвениот текст и моделот на наставникот;

На пример: дефиниција за симетрала во петто одделение:

1) воведувањето на концептот се врши со методот на целисходни проблеми на аголниот модел;

2) се испишува дефиниција: „Зракот што излегува од темето на аголот и го дели на два еднакви дела се нарекува симетрала на аголот“;

3) задачата е извршена: наведете кои од линиите на цртежите се симетрали на агол ( еднакви аглиозначени со ист број лакови).

На еден од цртежите, наставникот ја покажува примената на дефиницијата (види подолу);

4) работата ја продолжуваат учениците.

3. Комбинација на посебен и компактен метод : по склучување на ново правило, тоа се повторува 2-3 пати, а потоа наставникот бара во процесот на изработка на вежбите да го формулира правилото во делови.

4. Алгоритамски метод се користи за формирање на вештини за примена на математички реченици.

Методологија: Математичките реченици се заменуваат со алгоритам. Наизменично читајќи ги упатствата од алгоритмот, ученикот ја решава задачата. Така, тој ја развива вештината за примена на дефиниции, аксиоми и теореми. Во овој случај, дозволено е или последователно меморирање на дефиницијата, или читање на самата дефиниција заедно со алгоритамот.

Главните фази на методот:

а) подготовка за работа на список со упатства, кој е или даден во готова форма, проследен со објаснување, или учениците се наведуваат на негово самостојно составување;

б) примерок од одговорот на наставникот;

в) учениците работат на ист начин.

Во проучувањето на дефинициите се користат посебни и компактни методи. Алгоритамски може да се примени само кога се проучуваат дефиниции кои тешко се асимилираат (на пример, неопходни и доволни услови). Алгоритамскиот метод е најшироко користен во формирањето на вештини за решавање проблеми.

7. Методи на фиксирање на математички поими и реченици

1-ви прием:

наставникот предлага формулирање и примена на одредени дефиниции, аксиоми, теореми кои се среќаваат во текот на решавањето проблеми.

На пример: нацртајте график на функција; дефиниција на парна (непарна) функција; неопходен и доволен услов за постоење.

Втор прием:

наставникот предлага да се формулираат голем број дефиниции, теореми, аксиоми при фронтално истражување со цел да се повторат и истовремено да се провери дали учениците ги паметат. Оваа техника не е ефикасна надвор од решавање на проблеми. Можно е да се комбинира фронтална анкета со посебни вежби кои бараат од студентите да можат да применат дефиниции, теореми, аксиоми во различни ситуации, способност за брзо навигација низ условите на проблемот.

Заклучок

Познавањето на дефиницијата не гарантира асимилација на концептот. Методичка работасо концепти треба да бидат насочени кон надминување на формализмот, кој се манифестира во тоа што учениците не можат да го препознаат предметот што се дефинира во различни ситуации каде што се јавува.

Препознавање на објект што одговара на дадена дефиниција и конструкција на контрапримери е можно само со јасно разбирање на структурите на разгледуваната дефиниција, што во шемата за дефиниција () значи структура на десната страна.

Литература

1. К.О. Ананченко“ Општа методологијанастава по математика на училиште“, Мн., „Универзитетскаја“, 1997 година

2. Н.М. Рогановски „Методи на настава во средно школо", господине, " Факултетот“, 1990 година

3. Г. Фројдентал „Математиката како педагошка задача“, М., „Просветителство“, 1998 г

4. Н.Н. „Математичка лабораторија“, М., „Просветителство“, 1997 г

5. Ју.М. Кољагин „Методи на настава по математика во средно училиште“, М., „Просвешчение“, 1999 г.

6. А.А. Столјар „Логички проблеми на наставата по математика“, Мн., „Виша школа“, 2000 г.

Слични документи

Основи на методологијата за изучување на математички поими. Математички поими, нивната содржина и обем, класификација на поимите. Психолошки и педагошки карактеристики на наставата по математика во 5-6 одделение. Психолошки аспекти на формирањето на концептот.

теза, додадена 08/08/2007


Суштината на формирањето на концептите, неговата општа шема и карактеристики, фази на имплементација и можни начини. Класификација на поими и нејзина методологија за математички дисциплини. Дефиниција како последна фаза во формирањето на концептот, неговите сорти и карактеристики.

апстракт, додаден на 24.04.2009 година


„Концепт“ во психолошкото, педагошкото, филозофското, едукативна литература. Видови и дефиниции на математички поими во елементарната математика. Улогата, функциите на класификација во формирањето на концепти. Системот на формирање на математички концепти.

теза, додадена 23.11.2008


Психолошки и педагошки основи за формирање на научни концепти. Суштина и извори на витагенско образование. Методи и техники за идентификување и ажурирање на витагеното искуство на учениците. Формирање на научни концепти како педагошки проблем. Видови научни концепти.

теза, додадена 13.12.2009


Анализа на основни математички поими. Методи за проучување на табеларни случаи на множење и делење. Задачи за самостојна работаучениците. Имплементација на индивидуален пристап кон учењето. Вежби за совладување на табелата за множење, методи на проверка на знаењата.

теза, додадена 13.12.2013


статија, додадена на 15.09.2009 година


Визуелизацијата како средство за совладување граматички поими. Систем за изучување граматички концепти на руски лекции со помош на визуелизација. Резултатите од експериментот за одредување на нивото на изучување на граматичките поими од страна на помладите ученици.

теза, додадена 05.03.2015


Компоненти на математичките способности, степенот на нивното манифестирање во основно училиште, природни предуслови и услови за формирање. Основни форми и методологија вон училишни активности: часови по круг, математички вечери, олимпијади, игри.

теза, додадена 11/06/2010


Методи на запознавање на учениците со аксиомите во текот на училишната геометрија, традиционални синтетички методи на векторски координати, улогата на аксиомите во градењето на училишен курс. Методи за воведување поими и теореми, шема за проучување на знаците за еднаквост на триаголниците.

апстракт, додаден 03/07/2010


Карактеристики на изучување математика во основно училиште според Сојузниот државен образовен стандард за основно општо образование. Содржина на курсот. Анализа на основни математички поими. Суштината на индивидуалниот пристап во дидактиката.

Предавање 5. Математички поими

1. Обемот и содржината на концептот. Односите меѓу концептите

2. Дефиниција на поими. Дефинирани и недефинирани концепти.

3. Начини за дефинирање на поими.

4. Клучни наоди

Поимите кои се изучуваат во основниот предмет по математика најчесто се претставени во форма на четири групи. Првиот вклучува концепти поврзани со броеви и операции на нив: број, собирање, член, повеќе итн. Вториот вклучува алгебарски концепти: изразување, еднаквост, равенки итн. Третата група ја сочинуваат геометриски концепти: права линија, отсечка, триаголник итн. Четвртата група е формирана од концепти поврзани со количините и нивното мерење.

За да се проучи целата разновидност на концепти, мора да се има идеја за концептот како логичка категорија и карактеристиките на математичките концепти.

Во логиката концептисе смета како форма на мисларефлектирајќи ги предметите (предмети и појави) во нивните суштински и заеднички својстваО. Јазичната форма на концептот е збор (поим) или група зборови.

Да се ​​состави концепт за објект - ϶ᴛᴏ значи да може да се разликува од другите објекти слични на него. Математичките концепти имаат голем број карактеристики. Главната е, всушност, тоа што математичките предмети за кои е исклучително важно да се формира концепт не постојат во реалноста. Математичките предмети се создадени од човечкиот ум. Ова се идеални објекти кои рефлектираат вистински предмети или феномени. На пример, во геометријата се изучуваат обликот и големината на предметите, без да се земат предвид другите својства: боја, маса, цврстина итн. Сето ова е апстрахирано од. Поради оваа причина, во геометријата наместо зборот „објект“ велат „геометриска фигура“.

Резултатот од апстракцијата се и такви математички концепти како „број“ и „вредност“.

Општо земено, математичките предмети постојат само во човечкото размислување и во оние знаци и симболи кои го формираат математичкиот јазик.

На кажаното може да се додаде и со проучување просторни форми и квантитативни односи на материјалниот свет, математиката не само што користи различни методи на апстракција, туку самата апстракција делува како процес во повеќе фази. Во математиката, се земаат предвид не само концептите што се појавија во проучувањето на реалните предмети, туку и концептите што се појавија врз основа на првите. На пример, општиот концепт на функцијата како кореспонденција е генерализација на концептите на специфични функции, ᴛ.ᴇ. апстракција од апстракции.

1. Обемот и содржината на концептот. Односите меѓу концептите

Секој математички објект има одредени својства. На пример, квадрат има четири страни, четири прави агли еднакви на дијагоналата. Можете да наведете и други својства.

Меѓу својствата на објектот, постојат суштински и несуштински. Чувство на имот од суштинско значење за некој објект͵ ако тој е својствен за овој објект и без него не може да постои. На пример, за квадрат, сите својства споменати погоре се од суштинско значење. Својството „страната AB е хоризонтална“ не е суштинско за квадратот ABCD.

Кога се зборува за математички концепт, тие обично значат збир на предмети означени со еден термин(збор или група зборови). Значи, кога се зборува за квадрат, тие значат сите геометриски фигури кои се квадрати. Се верува дека множеството на сите квадрати е опсегот на концептот на "квадрат".

Општо земено, опсегот на концептот е ϶ᴛᴏ множеството од сите објекти означени со еден член.

Секој концепт има не само опсег, туку и содржина.

Размислете, на пример, концептот на правоаголник.

Опсегот на концептот е ϶ᴛᴏ збир од различни правоаголници, а неговата содржина вклучува такви својства на правоаголниците како „имаат четири прави агли“, „имаат еднакви спротивни страни“, „имаат еднакви дијагонали“ итн.

Помеѓу опсегот на концептот и неговата содржина, постои однос: ако обемот на концептот се зголемува, тогаш неговата содржина се намалува, и обратно. Така, на пример, опсегот на концептот „квадрат“ е дел од опсегот на концептот „правоаголник“, а содржината на концептот „квадрат“ содржи повеќе својства отколку содржината на концептот „правоаголник“ („сите страни се еднакви“, „дијагоналите се меѓусебно нормални“ и сл.).

Секој концепт не може да се асимилира без да се реализира неговиот однос со другите концепти. Поради оваа причина, важно е да се знае во какви односи можат да бидат концептите и да може да се воспостават овие врски.

Односите меѓу концептите се тесно поврзани со односите меѓу нивните волумени, ᴛ.ᴇ. множества.

Да се ​​согласиме да ги означиме концептите со мали букви од латинската азбука: a, b, c, d, ..., z.

Нека се дадени два концепта a и b. Дозволете ни да ги означиме нивните волумени како A и B, соодветно.

Ако A ⊂ B (A ≠ B), тогаш велат дека концептот a е специфичен во однос на концептот b, а концептот b е генерички во однос на концептот a.

На пример, ако a е „правоаголник“, b е „четириаголник“, тогаш нивните волумени A и B се во однос на вклучувањето (A ⊂ B и A ≠ B), во врска со ова, секој правоаголник е четириаголник. Поради оваа причина, може да се тврди дека концептот „правоаголник“ е специфичен во однос на концептот „четириаголник“, а концептот „четириаголник“ е генерички во однос на концептот „правоаголник“.

Ако A = B, тогаш се вели дека концептите A и B се идентични.

На пример, концептите на „рамностран триаголник“ и „рамнокрак триаголник“ се идентични, бидејќи нивните волумени се исти.

Да ја разгледаме подетално врската на родот и видот помеѓу концептите.

1. Најпрво, концептите род и вид се релативни: истиот концепт може да биде генерички во однос на еден концепт и вид во однос на друг. На пример, концептот „правоаголник“ е генерички во однос на концептот „квадрат“ и специфичен во однос на концептот „четириаголник“.

2. Второ, за даден концепт, често е можно да се специфицираат неколку генерички концепти. Значи, за концептот на "правоаголник" концептите на "четириаголник", "паралелограм", "полигон" се генерички. Меѓу нив, можете да го наведете најблискиот. За концептот „правоаголник“ најблизок е концептот „паралелограм“.

3. Трето, конкретниот концепт ги има сите својства на генеричкиот концепт. На пример, квадрат, како специфичен концепт во однос на концептот на „правоаголник“, ги има сите својства својствени на правоаголникот.

Бидејќи опсегот на концептот е множество, погодно е, кога се воспоставуваат односи меѓу опсегот на концептите, да се прикажат со помош на Ојлеровите кругови.

Да ја утврдиме, на пример, врската помеѓу следните парови на концепти a и b, ако:

1) а - "правоаголник", б - "ромб";

2) а - "полигон", б - "паралелограм";

3) а - "право", б - "сегмент".

Односите помеѓу множествата се прикажани на сликата, соодветно.

2. Дефиниција на поими. Дефинирани и недефинирани концепти.

Појавувањето во математиката на новите поими, а со тоа и новите поими што ги означуваат овие поими, претпоставува нивно дефинирање.

Дефиницијаобично се нарекува реченица што ја објаснува суштината на нов термин (или ознака). Како по правило, ова се прави врз основа на претходно воведени концепти. На пример, правоаголникот може да се дефинира на следниов начин: „Правоаголник се нарекува четириаголник, во кој сите агли се правилни“. Оваа дефиниција има два дела - дефинираниот концепт (правоаголник) и дефинирачкиот концепт (четириаголник со сите прави агли). Ако првиот концепт го означиме со a, а вториот со b, тогаш оваа дефиниција може да се претстави на следниов начин:

а е (по дефиниција) б.

Зборовите „е (по дефиниција)“ обично се заменуваат со симболот ⇔, а потоа дефиницијата изгледа вака:

Тие читаат: „а е еквивалентно на b по дефиниција“. Овој запис можете да го прочитате и вака: „и ако и само ако б.

Дефинициите со таква структура се нарекуваат експлицитна. Ајде да ги разгледаме подетално.

Да се ​​свртиме кон вториот дел од дефиницијата за „правоаголник“.

Може да се разликува:

1) концептот на „четириаголник“, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ е генерички во однос на концептот „правоаголник“.

2) својството „да ги има сите прави агли“, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ви овозможува да изберете еден тип од сите можни четириаголници - правоаголници; во овој поглед, тоа се нарекува разлика во видот.

Генерално, специфичната разлика се својствата ϶ᴛᴏ (една или повеќе) кои ви дозволуваат да ги разликувате дефинираните објекти од опсегот на генеричкиот концепт.

Резултатите од нашата анализа може да се претстават во форма на дијаграм:

Знакот „+“ се користи како замена за честичката „и“.

Знаеме дека секој концепт има опсег. Ако концептот a е дефиниран преку родот и специфичната разлика, тогаш неговиот волумен - множеството A - може да се каже дека содржи такви објекти кои припаѓаат на множеството C (волуменот на генеричкиот концепт c) и имаат својство P:

A = (x/ x ∈ C и P(x)).

Бидејќи дефиницијата на концептот во однос на родот и специфичната разлика во суштина е условен договор за воведување нов термин за замена на кој било сет на познати термини, невозможно е да се каже за дефиницијата дали е точно или неточно; ниту е докажано ниту побиено. Но, кога формулираат дефиниции, тие се придржуваат до голем број правила. Ајде да ги повикаме.

1. Дефиницијата мора да биде сразмерно. Ова значи дека опсегот на дефинираните и дефинираните концепти мора да одговара.

2. Во дефиницијата (или нивниот систем) не треба да има маѓепсан круг. Ова значи дека концептот не може да се дефинира сам по себе.

3. Дефиницијата мора да биде јасно. Потребно е, на пример, значењата на поимите вклучени во дефинирачкиот концепт да бидат познати до моментот кога ќе се воведе дефиницијата на новиот концепт.

4. Дефинирајте го истиот концепт преку родот и специфичната разлика, почитувајќи ги правилата формулирани погоре, може да биде на различни начини. Значи, квадрат може да се дефинира како:

а) правоаголник чии соседни страни се еднакви;

б) правоаголник чии дијагонали се меѓусебно нормални;

в) ромб кој има прав агол;

г) паралелограм во кој сите страни се еднакви, а аглите се прави.

Можни се различни дефиниции за истиот концепт поради големиот број својства вклучени во содржината на концептот, само неколку се вклучени во дефиницијата. И тогаш се избира една од можните дефиниции, по која од нив е поедноставна и посоодветна за понатамошна изградба на теоријата.

Ајде да ја именуваме низата дејства што мора да ги следиме ако сакаме да ја репродуцираме дефиницијата за познат концепт или да изградиме дефиниција за нов:

1. Наведете го концептот (поимот) што се дефинира.

2. Наведете го најблискиот генерички концепт (во однос на дефинираниот).

3. Наведете ги својствата што ги разликуваат објектите што се дефинираат од волуменот на генериката, односно формулирајте ја специфичната разлика.

4. Проверете дали се исполнети правилата за дефинирање на концептот (дали е пропорционален, дали има маѓепсан круг и сл.).

Меѓу вештините што ги учи математиката и кои сите треба да ги научите, големо значењеима вештина класифицираатконцепти.

Факт е дека математиката, како и многу други науки, не проучува поединечни предмети или феномени, туку масивни. Значи, кога ги проучувате триаголниците, ги проучувате својствата на кој било триаголник, а ги има бесконечен број. Во принцип, обемот на кој било математички концепт, по правило, е бесконечен.

Со цел да се разликуваат предметите на математичките концепти, да се проучат нивните својства, овие концепти обично се поделени на типови, класи. На крајот на краиштата, покрај општите својства, секој математички концепт има многу повеќе важни својства, својствени не за сите предмети од овој концепт, туку само за објекти од одреден вид. Значи, правоаголни триаголници, покрај општите својства на кој било триаголник, имаат многу својства кои се многу важни за пракса, на пример Питагоровата теорема, односи меѓу аглите и страните итн.

Во процесот на вековното проучување на математичките поими, во процесот на нивните бројни примени во животот, во другите науки, некои посебни видовиимајќи најмногу интересни својстванајчесто се среќаваат и применуваат во пракса. Значи, има бесконечно многу различни четириаголници, но во пракса, во технологијата, најмногу се користат само одредени типови од нив: квадрати, правоаголници, паралелограми, ромбови, трапезоиди.

Поделбата на опсегот на концептот на делови е класификација на овој концепт. Поточно, класификацијата се подразбира како распределба на објектите на концептот во меѓусебно поврзани класи (видови, типови) според повеќето суштински карактеристики(својства). Знакот (својството), според кој се врши класификација (поделба) на концептот на видови (класи), се нарекува. основакласификација.

Правилно конструираната класификација на концептот ги рефлектира најсуштинските својства и врските помеѓу објектите на концептот, помага подобро да се движите низ мноштвото на овие објекти, овозможува да се утврдат такви својства на овие објекти кои се најважни за примената на оваа концепт во другите науки и секојдневната практика.

Концептот е класифициран според една или повеќе од најзначајните основи.

Значи, триаголниците може да се класифицираат според големината на аглите. Ги добиваме следните типови: остро-аголни (сите агли се остри), правоаголни (еден агол е прав, останатите се остри), тап-аголни (еден агол е тап, останатите се остри). Ако ги земеме соодносите меѓу страните како основа за делење на триаголници, тогаш ги добиваме следниве типови: разноврсна, рамнокрака и правилна (рамностран).

Потешко е кога треба да класифицирате концепт по неколку основи. Значи, ако конвексните четириаголници се класифицираат според паралелизмот на страните, тогаш во суштина треба да ги поделиме сите конвексни четириаголници истовремено според два критериуми: 1) еден пар спротивставени страни е паралелен или не; 2) вториот пар спротивни страни е паралелен или не. Како резултат на тоа, добиваме три типа на конвексни четириаголници: 1) четириаголници со непаралелни страни; 2) четириаголници со еден пар паралелни страни - трапезоиди; 3) четириаголници со два пара паралелни страни - паралелограми.

Доста често, концептот се класифицира во фази: прво, на една основа, потоа некои видови се поделени на подвидови на различна основа, итн. Пример е класификацијата на четириаголници. Во првата фаза, тие се поделени врз основа на конвексност. Потоа конвексните четириаголници се делат според паралелизмот на спротивните страни. За возврат, паралелограмите се поделени според присуството на прави агли, итн.

При класифицирање, мора да се почитуваат одредени правила. Да ги истакнеме главните.

1. Како основа за класификација, може да се земе само заедничка карактеристикасите предмети на овој концепт.Така, на пример, невозможно е да се земе како основа за класификација на алгебарските изрази знакот на распоредот на термините во моќи на некоја променлива. Оваа карактеристика не е заедничка за сите алгебарски изрази, на пример, нема смисла за дробни изрази или мономи. Само полиномите ја имаат оваа карактеристика, така што полиномите може да се класифицираат според највисокиот степен на главната променлива.
2. Како основа за класификација треба да се земат суштинските својства (карактеристики) на концептите.Повторно разгледајте го концептот на алгебарски израз. Едно од својствата на овој концепт е тоа што променливите вклучени во алгебарскиот израз се означуваат со некои букви. Ова својство е општо, но не и суштинско, бидејќи природата на изразот не зависи од тоа која буква е означена оваа или онаа променлива. Значи, алгебарски изрази x+yи a+bво суштина се истиот израз. Затоа, не е неопходно да се класифицираат изразите врз основа на означување на променливите со букви. Друга работа е ако за основа за класификација на алгебарските изрази го земеме знакот за видот на дејствата со кои се поврзуваат променливите, односно дејствата што се вршат врз променливите. Оваа заедничка карактеристика е многу суштинска, а класификацијата според оваа карактеристика ќе биде правилна и корисна.
3. Во секоја фаза од класификацијата може да се примени само една основа.Невозможно е истовремено да се класифицира концепт според два различни критериуми. На пример, невозможно е да се класифицираат триаголниците и по големина и според односот помеѓу страните, бидејќи како резултат ќе добиеме класи на триаголници кои имаат заеднички елементи (на пример, остри и рамнокраки или тапи и рамнокраки итн.). Следното барање за класификација е прекршено овде: како резултат на класификацијата во секоја фаза, добиените класи (типови) не треба да се сечат.
4. Во исто време класификацијата поради некоја причина мора да биде исцрпна и секој предмет на концептот мора да падне како резултат на класификацијата во една и само една класа.

Според тоа, поделбата на сите цели броеви на позитивни и негативни е неточна, бидејќи цела нула не спаѓала во ниту една од класите. Мораме да го кажеме ова: цели броеви се поделени во три класи - позитивни, негативни и бројот нула.

Често, кога се класифицираат концептите, само некои класи експлицитно се разликуваат, додека останатите се само имплицирани. Така, на пример, при изучување на алгебарски изрази, обично се разликуваат само такви видови изрази: мономи, полиноми, фракциони изрази, ирационални. Но, овие типови не ги исцрпуваат сите видови алгебарски изрази, така што таквата класификација е нецелосни.

Целосна правилна класификација на алгебарските изрази може да се направи на следниов начин.

Во првата фаза од класификацијата на алгебарските изрази, тие се поделени во две класи: рационални и нерационални. Во втората фаза, рационалните изрази се поделени на целобројни и фракциони. Во третата фаза, целобројните изрази се поделени на мономи, полиноми и сложени цели броеви.

Оваа класификација може да се претстави како следнава

Задача 7

7.1. Зошто рационалните броеви не можат да се класифицираат според нивната паритет?

7.2. Определете дали поделбата на концептот е точна:

а) Вредностите можат да бидат еднакви или нееднакви.

б) Функциите или се зголемуваат или се намалуваат.

в) Рамнокракните триаголници можат да бидат остри, правилни или тапи.

г) Правоаголниците се квадрати и ромбови.

7.3. Направете поделба на концептот „геометриска фигура“ според својството да зафаќа дел од рамнината и дајте примери за секој тип.

7.4. Конструирај можни шеми за класификација на рационални броеви.

7.5. Изградете шема за класификација за следните концепти:

а) четириаголник;

б) два агли.

7.6. Класифицирајте ги следниве концепти:

а) триаголник и круг;

б) агли во круг;

в) два круга;

г) права линија и круг;

д) квадратни равенки;

ѓ) систем од две равенки од прв степен со две непознати.