প্রকৃত জ্ঞান সর্বদা একটি প্যাটার্ন স্থাপন এবং নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে এর সত্যতা প্রমাণের উপর ভিত্তি করে ছিল। যৌক্তিক যুক্তির অস্তিত্বের এত দীর্ঘ সময়ের জন্য, নিয়মগুলির প্রণয়ন দেওয়া হয়েছিল এবং অ্যারিস্টটল এমনকি "সঠিক যুক্তির" একটি তালিকা তৈরি করেছিলেন। ঐতিহাসিকভাবে, সমস্ত অনুমানকে দুটি প্রকারে বিভক্ত করার প্রথা রয়েছে - কংক্রিট থেকে বহুবচন (আবেশ) এবং তদ্বিপরীত (ডিডাকশন)। এটি লক্ষ করা উচিত যে বিশেষ থেকে সাধারণ এবং সাধারণ থেকে বিশেষে প্রমাণের প্রকারগুলি কেবল আন্তঃসংযোগে বিদ্যমান এবং বিনিময় করা যায় না।

গণিতে আনয়ন

"ইন্ডাকশন" (ইন্ডাকশন) শব্দের ল্যাটিন শিকড় রয়েছে এবং আক্ষরিক অর্থে অনুবাদ করা হয়েছে "নির্দেশনা"। ঘনিষ্ঠভাবে অধ্যয়নের পরে, কেউ শব্দের গঠনকে আলাদা করতে পারে, যেমন ল্যাটিন উপসর্গ - ইন- (অভ্যন্তরীণ বা ভিতরে থাকা নির্দেশিত ক্রিয়া নির্দেশ করে) এবং -ডাকশন - ভূমিকা। এটি লক্ষণীয় যে দুটি প্রকার রয়েছে - সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ আনয়ন। সম্পূর্ণ ফর্ম একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর সমস্ত বিষয় অধ্যয়ন থেকে আঁকা সিদ্ধান্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়.

অসম্পূর্ণ - ক্লাসের সমস্ত বিষয়ে প্রযোজ্য সিদ্ধান্ত, তবে শুধুমাত্র কিছু ইউনিটের অধ্যয়নের ভিত্তিতে তৈরি করা হয়েছে।

সম্পূর্ণ গাণিতিক আবেশ হল এই কার্যকরী সংযোগের জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে সংখ্যার প্রাকৃতিক সিরিজের সম্পর্কের দ্বারা কার্যকরীভাবে সম্পর্কিত যেকোন বস্তুর সমগ্র শ্রেণী সম্পর্কে একটি সাধারণ উপসংহারের উপর ভিত্তি করে একটি উপসংহার। এই ক্ষেত্রে, প্রমাণ প্রক্রিয়া তিনটি পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়:

• প্রথম পর্যায়ে, গাণিতিক আবেশের বিবৃতির সঠিকতা প্রমাণিত হয়। উদাহরণ: f = 1, আবেশ;
• পরবর্তী ধাপটি এই ধারণার উপর ভিত্তি করে যে অবস্থানটি সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য বৈধ। অর্থাৎ, f=h, এটি হল প্রবর্তক অনুমান;
• তৃতীয় পর্যায়ে, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অবস্থানের সঠিকতার উপর ভিত্তি করে f=h+1 নম্বরের অবস্থানের বৈধতা প্রমাণিত হয় - এটি একটি আনয়ন স্থানান্তর, বা গাণিতিক আবেশের একটি ধাপ। একটি উদাহরণ হল তথাকথিত যদি সারির প্রথম হাড় পড়ে (ভিত্তি), তারপর সারির সমস্ত হাড় পড়ে (ট্রানজিশন)।

কৌতুক এবং গম্ভীরভাবে উভয়

উপলব্ধির স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য, গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি দ্বারা সমাধানের উদাহরণগুলি কৌতুক সমস্যার আকারে নিন্দা করা হয়। এটি হল ভদ্র সারি টাস্ক:

• আচরণের নিয়ম একজন পুরুষকে একজন মহিলার সামনে ঘুরতে নিষেধ করে (এমন পরিস্থিতিতে তাকে সামনে যেতে দেওয়া হয়)। এই বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, যদি লাইনের শেষ একজন পুরুষ হয়, তবে বাকি সবাই পুরুষ।

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল সমস্যা "মাত্রাবিহীন ফ্লাইট":

• মিনিবাসে যে কোনো সংখ্যক লোক ফিট আছে তা প্রমাণ করতে হবে। এটা সত্য যে একজন ব্যক্তি অসুবিধা ছাড়াই পরিবহনের ভিতরে ফিট করতে পারেন (ভিত্তি)। তবে মিনিবাসটি যতই পূর্ণ হোক না কেন, 1 জন যাত্রী সর্বদা এতে ফিট হবে (ইন্ডাকশন স্টেপ)।

পরিচিত চেনাশোনা

গাণিতিক আবেশ দ্বারা সমস্যা এবং সমীকরণ সমাধানের উদাহরণগুলি বেশ সাধারণ। এই পদ্ধতির একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করতে পারি।

অবস্থা: h বৃত্তগুলি সমতলে স্থাপন করা হয়। এটি প্রমাণ করতে হবে যে, পরিসংখ্যানগুলির যে কোনও বিন্যাসের জন্য, তাদের দ্বারা গঠিত মানচিত্রটি দুটি রঙ দিয়ে সঠিকভাবে রঙ করা যেতে পারে।

সমাধান: h=1 এর জন্য বিবৃতির সত্যতা সুস্পষ্ট, তাই প্রমাণটি h+1 বৃত্তের সংখ্যার জন্য নির্মিত হবে।

আসুন আমরা ধরে নিই যে বিবৃতিটি যে কোনও মানচিত্রের জন্য সত্য, এবং সমতলে h + 1 বৃত্ত দেওয়া হয়েছে। মোট থেকে একটি চেনাশোনা অপসারণ করে, আপনি দুটি রঙ (কালো এবং সাদা) দিয়ে সঠিকভাবে রঙিন একটি মানচিত্র পেতে পারেন।

একটি মুছে ফেলা বৃত্ত পুনরুদ্ধার করার সময়, প্রতিটি এলাকার রঙ বিপরীতে পরিবর্তিত হয় (এই ক্ষেত্রে, বৃত্তের ভিতরে)। এটি দুটি রঙে সঠিকভাবে রঙিন একটি মানচিত্র দেখায়, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।

প্রাকৃতিক সংখ্যা সহ উদাহরণ

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির প্রয়োগ স্পষ্টভাবে নীচে দেখানো হয়েছে।

সমাধান উদাহরণ:

প্রমাণ করুন যে কোন h এর জন্য সমতা সঠিক হবে:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. ধরুন h=1, তারপর:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে h=1 এর জন্য বিবৃতিটি সঠিক।

2. ধরে নিলাম যে h=d, নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাওয়া যায়:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. ধরে নিলাম যে h=d+1, দেখা যাচ্ছে:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

এইভাবে, h=d+1-এর জন্য সমতার বৈধতা প্রমাণিত হয়েছে, তাই বিবৃতিটি যেকোনো ক্ষেত্রেই সত্য স্বাভাবিক সংখ্যা, যা গাণিতিক আবেশ দ্বারা সমাধান উদাহরণে দেখানো হয়েছে।

একটি কাজ

অবস্থা: প্রমাণ প্রয়োজন যে h-এর যেকোনো মানের জন্য, 7 h -1 রাশিটি 6 দ্বারা বিভাজ্য একটি অবশিষ্ট ছাড়া।

সমাধান:

1. এই ক্ষেত্রে h=1 বলি:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (অর্থাৎ একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা ভাগ)

অতএব, h=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য;

2. ধরা যাক h=d এবং 7 d -1 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য;

3. h=d+1-এর জন্য বিবৃতির বৈধতার প্রমাণ হল সূত্র:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

এই ক্ষেত্রে, প্রথম অনুচ্ছেদের অনুমান অনুসারে প্রথম পদটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, এবং দ্বিতীয় পদটি 6 এর সমান। বিবৃতি যে 7 h -1 কোনো প্রাকৃতিক h-এর জন্য অবশিষ্টাংশ ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য তা সত্য।

রায়ের ভ্রান্তি

প্রায়শই, ভুল যুক্তি প্রমাণে ব্যবহার করা হয়, ব্যবহৃত যৌক্তিক নির্মাণের ভুলতার কারণে। মূলত, এটি ঘটে যখন প্রমাণের কাঠামো এবং যুক্তি লঙ্ঘন করা হয়। ভুল যুক্তির একটি উদাহরণ হল নিম্নলিখিত চিত্রটি।

একটি কাজ

অবস্থা: একটি প্রমাণ প্রয়োজন যে কোন পাথরের স্তূপ একটি গাদা নয়।

সমাধান:

1. ধরা যাক h=1, এই ক্ষেত্রে স্তূপে 1টি পাথর রয়েছে এবং বিবৃতিটি সত্য (ভিত্তি);

2. এটা h=d এর জন্য সত্য হোক যে পাথরের স্তূপ একটি গাদা নয় (অনুমান);

3. ধরুন h=d+1, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে যখন আরও একটি পাথর যোগ করা হয়, সেটটি একটি গাদা হবে না। উপসংহারটি নিজেই পরামর্শ দেয় যে অনুমানটি সমস্ত প্রাকৃতিক h এর জন্য বৈধ।

ত্রুটিটি এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে কতগুলি পাথর একটি স্তূপ গঠন করে তার কোনও সংজ্ঞা নেই। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতিতে এই ধরনের বাদ দেওয়াকে দ্রুত সাধারণীকরণ বলা হয়। একটি উদাহরণ এটি স্পষ্টভাবে দেখায়।

আনয়ন এবং যুক্তির আইন

ঐতিহাসিকভাবে, তারা সবসময় "হাতে হাতে হাঁটতে থাকে।" যেমন বৈজ্ঞানিক শৃঙ্খলাযুক্তিবিদ্যার মত, দর্শন তাদের বিপরীত হিসাবে বর্ণনা করে।

যুক্তির আইনের দৃষ্টিকোণ থেকে, প্রবর্তক সংজ্ঞাগুলি তথ্যের উপর ভিত্তি করে, এবং প্রাঙ্গনের সত্যতা ফলাফলের বিবৃতির সঠিকতা নির্ধারণ করে না। প্রায়শই উপসংহার একটি নির্দিষ্ট মাত্রার সম্ভাব্যতা এবং যুক্তিসঙ্গততার সাথে প্রাপ্ত হয়, যা অবশ্যই, অতিরিক্ত গবেষণা দ্বারা যাচাই এবং নিশ্চিত করা আবশ্যক। যুক্তিতে আনয়নের একটি উদাহরণ বিবৃতি হবে:

এস্তোনিয়ায় খরা, লাটভিয়ায় খরা, লিথুয়ানিয়ায় খরা।

এস্তোনিয়া, লাটভিয়া এবং লিথুয়ানিয়া হল বাল্টিক রাজ্য। সমস্ত বাল্টিক রাজ্যে খরা।

উদাহরণ থেকে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে আনয়নের পদ্ধতি ব্যবহার করে নতুন তথ্য বা সত্য পাওয়া যায় না। যে সব উপর নির্ভর করা যেতে পারে সিদ্ধান্তের কিছু সম্ভাব্য সত্যতা. অধিকন্তু, প্রাঙ্গনের সত্য একই সিদ্ধান্তের গ্যারান্টি দেয় না। যাইহোক, এই বাস্তবতার মানে এই নয় যে আনয়নের পিছনের উঠোনে আনয়ন গাছপালা: আনয়নের পদ্ধতি ব্যবহার করে বিপুল সংখ্যক বিধান এবং বৈজ্ঞানিক আইন প্রমাণিত হয়। গণিত, জীববিজ্ঞান এবং অন্যান্য বিজ্ঞান উদাহরণ হিসাবে পরিবেশন করতে পারে। এটি মূলত সম্পূর্ণ আনয়নের পদ্ধতির কারণে, তবে কিছু ক্ষেত্রে আংশিকও প্রযোজ্য।

আবেশের শ্রদ্ধেয় বয়স এটিকে মানব ক্রিয়াকলাপের প্রায় সমস্ত ক্ষেত্রে প্রবেশ করতে দেয় - এটি বিজ্ঞান, অর্থনীতি এবং দৈনন্দিন সিদ্ধান্ত।

বৈজ্ঞানিক পরিবেশে আনয়ন

আনয়নের পদ্ধতির জন্য একটি বিচক্ষণ মনোভাব প্রয়োজন, যেহেতু অধ্যয়ন করা সম্পূর্ণ বিবরণের সংখ্যার উপর অনেক বেশি নির্ভর করে: কী আরোঅধ্যয়ন, আরো নির্ভরযোগ্য ফলাফল. এই বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, আনয়নের পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত বৈজ্ঞানিক আইনগুলি সম্ভাব্য সমস্ত কাঠামোগত উপাদান, সংযোগ এবং প্রভাবগুলিকে বিচ্ছিন্ন এবং অধ্যয়ন করার জন্য সম্ভাব্য অনুমানের স্তরে যথেষ্ট দীর্ঘ সময়ের জন্য পরীক্ষা করা হয়।

বিজ্ঞানে, প্রবর্তক উপসংহার উপর ভিত্তি করে উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য, এলোমেলো অবস্থানগুলি বাদ দিয়ে। এই ঘটনাপ্রকৃতির কারণে গুরুত্বপূর্ণ বৈজ্ঞানিক জ্ঞান. এটি বিজ্ঞানে আবেশের উদাহরণগুলিতে স্পষ্টভাবে দেখা যায়।

বৈজ্ঞানিক বিশ্বে দুই ধরনের আনয়ন রয়েছে (অধ্যয়নের পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত):

1. আনয়ন-নির্বাচন (বা নির্বাচন);
2. আনয়ন - বর্জন (বর্জন)।

প্রথম প্রকারটি বিভিন্ন ক্ষেত্র থেকে একটি শ্রেণীর (সাবক্লাস) পদ্ধতিগত (পরীক্ষামূলক) নমুনা দ্বারা আলাদা করা হয়।

এই ধরনের আবেশের একটি উদাহরণ নিম্নরূপ: রূপা (বা রূপালী লবণ) পানিকে বিশুদ্ধ করে। উপসংহারটি দীর্ঘমেয়াদী পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে (এক ধরনের নিশ্চিতকরণ এবং খণ্ডন - নির্বাচন)।

দ্বিতীয় ধরনের আনয়ন উপসংহার প্রতিষ্ঠার উপর ভিত্তি করে কার্যকারণএবং এমন পরিস্থিতি বাদ দিয়ে যা এর বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করে না, যথা, সর্বজনীনতা, সাময়িক ক্রম পালন, প্রয়োজনীয়তা এবং অস্পষ্টতা।

দর্শনের দৃষ্টিকোণ থেকে আবেশ এবং বাদ

আপনি যদি ঐতিহাসিক পূর্ববর্তী দৃষ্টিভঙ্গি দেখেন, "আবেশ" শব্দটি প্রথম উল্লেখ করেছিলেন সক্রেটিস। অ্যারিস্টটল আরও আনুমানিক পরিভাষা অভিধানে দর্শনে আবেশের উদাহরণ বর্ণনা করেছেন, কিন্তু অসম্পূর্ণ আবেশের প্রশ্নটি উন্মুক্ত রয়েছে। অ্যারিস্টোটেলিয়ান সিলোজিজমের তাড়নার পরে, প্রবর্তক পদ্ধতি ফলপ্রসূ এবং প্রাকৃতিক বিজ্ঞানে একমাত্র সম্ভাব্য হিসাবে স্বীকৃত হতে শুরু করে। বেকনকে একটি স্বাধীন বিশেষ পদ্ধতি হিসাবে আবেশের জনক হিসাবে বিবেচনা করা হয়, কিন্তু তিনি আলাদা করতে ব্যর্থ হন, যেমন তার সমসাময়িকদের দাবি ছিল, ডিডাকটিভ পদ্ধতি থেকে আনয়ন।

আনয়নের আরও উন্নয়ন J. মিল দ্বারা পরিচালিত হয়েছিল, যিনি চারটি প্রধান পদ্ধতির দৃষ্টিকোণ থেকে আবেশ তত্ত্বকে বিবেচনা করেছিলেন: চুক্তি, পার্থক্য, অবশিষ্টাংশ এবং সংশ্লিষ্ট পরিবর্তনগুলি। এটা আশ্চর্যজনক নয় যে আজ তালিকাভুক্ত পদ্ধতিগুলি, যখন বিশদভাবে বিবেচনা করা হয়, তখন ডিডাক্টিভ।

বেকন এবং মিলের তত্ত্বের অসঙ্গতি সম্পর্কে সচেতনতা বিজ্ঞানীদের আবেশের সম্ভাব্য ভিত্তি অনুসন্ধান করতে পরিচালিত করেছিল। যাইহোক, এখানেও কিছু চরমপন্থা ছিল: সম্ভাব্যতার তত্ত্বে আনয়ন কমানোর চেষ্টা করা হয়েছিল, সমস্ত পরবর্তী পরিণতি সহ।

আনয়ন যখন আস্থা ভোট পায় ব্যবহারিক প্রয়োগনির্দিষ্ট মধ্যে বিষয় এলাকাএবং ইনডাকটিভ বেসের মেট্রিক নির্ভুলতার জন্য ধন্যবাদ। দর্শনে আনয়ন এবং কর্তনের একটি উদাহরণকে সর্বজনীন মহাকর্ষের নিয়ম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আইনটি আবিষ্কারের তারিখে, নিউটন এটি 4 শতাংশ নির্ভুলতার সাথে যাচাই করতে সক্ষম হন। এবং দুইশত বছরেরও বেশি সময় পর পরীক্ষা করার সময়, 0.0001 শতাংশের নির্ভুলতার সাথে সঠিকতা নিশ্চিত করা হয়েছিল, যদিও চেকটি একই প্রবর্তক সাধারণীকরণ দ্বারা পরিচালিত হয়েছিল।

আধুনিক দর্শন বর্জনের প্রতি বেশি মনোযোগ দেয়, যা অভিজ্ঞতা, অন্তর্দৃষ্টির আশ্রয় না নিয়ে, কিন্তু "বিশুদ্ধ" যুক্তি ব্যবহার না করে, ইতিমধ্যে যা জানা আছে তা থেকে নতুন জ্ঞান (বা সত্য) আহরণের যৌক্তিক ইচ্ছা দ্বারা নির্দেশিত হয়। ডিডাক্টিভ পদ্ধতিতে সত্য প্রাঙ্গনে উল্লেখ করার সময়, সমস্ত ক্ষেত্রে, আউটপুট একটি সত্য বিবৃতি।

এই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটি প্রবর্তক পদ্ধতির মানকে ছাপিয়ে যাবে না। যেহেতু আনয়ন, অভিজ্ঞতার কৃতিত্বের উপর ভিত্তি করে, এটি প্রক্রিয়াকরণের একটি মাধ্যমও হয়ে ওঠে (সাধারণকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ সহ)।

অর্থনীতিতে আনয়নের প্রয়োগ

ইন্ডাকশন এবং ডিডাকশন দীর্ঘকাল ধরে অর্থনীতি অধ্যয়ন এবং এর বিকাশের পূর্বাভাস দেওয়ার পদ্ধতি হিসাবে ব্যবহৃত হয়ে আসছে।

আনয়ন পদ্ধতির ব্যবহারের পরিধি বেশ বিস্তৃত: পূর্বাভাস সূচক (লাভ, অবচয়, ইত্যাদি) পূরণের অধ্যয়ন এবং সর্বমোট ফলাফলএন্টারপ্রাইজের অবস্থা; তথ্য এবং তাদের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে একটি কার্যকর এন্টারপ্রাইজ প্রচার নীতি গঠন।

শেওহার্টের চার্টে একই ধরনের আনয়ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে, যেখানে অনুমান করা হয়েছে যে প্রক্রিয়াগুলি নিয়ন্ত্রিত এবং অব্যবস্থাপিত মধ্যে বিভক্ত, এটি বলা হয়েছে যে নিয়ন্ত্রিত প্রক্রিয়ার কাঠামো নিষ্ক্রিয়।

এটি লক্ষ করা উচিত যে বৈজ্ঞানিক আইনগুলি আবেশের পদ্ধতি ব্যবহার করে ন্যায়সঙ্গত এবং নিশ্চিত করা হয় এবং যেহেতু অর্থনীতি এমন একটি বিজ্ঞান যা প্রায়শই গাণিতিক বিশ্লেষণ, ঝুঁকি তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগত ডেটা ব্যবহার করে, এটি আশ্চর্যজনক নয় যে আনয়ন প্রধান পদ্ধতির তালিকায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

নিম্নলিখিত পরিস্থিতি অর্থনীতিতে আনয়ন এবং কর্তনের উদাহরণ হিসাবে পরিবেশন করতে পারে। খাদ্যের মূল্য বৃদ্ধি (ভোক্তা ঝুড়ি থেকে) এবং প্রয়োজনীয় জিনিসপত্র ভোক্তাকে রাজ্যে উঠতি উচ্চ মূল্য (আবেশ) সম্পর্কে চিন্তা করতে বাধ্য করে। একই সময়ে, এর সাহায্যে উচ্চ ব্যয়ের সত্য থেকে গাণিতিক পদ্ধতিস্বতন্ত্র পণ্য বা পণ্যের বিভাগ (ডিডাকশন) এর জন্য মূল্য বৃদ্ধির সূচক বের করা সম্ভব।

প্রায়শই, ব্যবস্থাপনার কর্মী, ব্যবস্থাপক এবং অর্থনীতিবিদরা আনয়ন পদ্ধতিতে ফিরে যান। একটি এন্টারপ্রাইজের বিকাশ, বাজারের আচরণ এবং পর্যাপ্ত সত্যতার সাথে প্রতিযোগিতার পরিণতি সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, তথ্যের বিশ্লেষণ এবং প্রক্রিয়াকরণের জন্য একটি প্রবর্তক-নির্মাণমূলক পদ্ধতির প্রয়োজন।

অর্থশাস্ত্রে আনয়নের একটি দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ, ভুল বিচারের উল্লেখ করে:

• কোম্পানির মুনাফা 30% কমেছে;
  একটি প্রতিযোগী তার পণ্য লাইন প্রসারিত করেছে;
  আর কিছুই পরিবর্তন হয়নি;
• একটি প্রতিযোগী কোম্পানির উৎপাদন নীতি 30% এর মুনাফা হ্রাস করেছে;
• অতএব, একই উৎপাদন নীতি বাস্তবায়ন করা প্রয়োজন।

উদাহরন হল একটি বর্ণিল দৃষ্টান্ত যে কিভাবে আনয়ন পদ্ধতির অযোগ্য ব্যবহার একটি এন্টারপ্রাইজের ধ্বংসে অবদান রাখে।

মনোবিজ্ঞানে ডিডাকশন এবং ইনডাকশন

যেহেতু একটি পদ্ধতি আছে, তাহলে, যৌক্তিকভাবে, একটি সঠিকভাবে সংগঠিত চিন্তাও রয়েছে (পদ্ধতিটি ব্যবহারের জন্য)। মনোবিজ্ঞান একটি বিজ্ঞান হিসাবে অধ্যয়ন করে মানসিক প্রক্রিয়া, তাদের গঠন, বিকাশ, সম্পর্ক, মিথস্ক্রিয়া, "ডিডাক্টিভ" চিন্তাভাবনার দিকে মনোযোগ দেয়, ডিডাকশন এবং ইনডাকশনের প্রকাশের একটি ফর্ম হিসাবে। দুর্ভাগ্যবশত, ইন্টারনেটে মনোবিজ্ঞানের পৃষ্ঠাগুলিতে, ডিডাক্টিভ-ইনডাক্টিভ পদ্ধতির অখণ্ডতার জন্য কার্যত কোন যুক্তি নেই। যদিও পেশাদার মনোবৈজ্ঞানিকরা অনুপ্রবেশের প্রকাশের সম্মুখীন হওয়ার সম্ভাবনা বেশি, বা বরং, ভুল উপসংহারে।

মনোবিজ্ঞানে প্রবর্তনের একটি উদাহরণ, ভুল বিচারের উদাহরণ হিসাবে, বিবৃতিটি হল: আমার মা একজন প্রতারক, তাই, সমস্ত মহিলাই প্রতারক। জীবন থেকে আনয়নের আরও "ভুল" উদাহরণ রয়েছে:

• একজন ছাত্র যদি গণিতে একটি ডিউস পেয়ে থাকে তবে সে কিছুই করতে সক্ষম নয়;
• সে একজন বোকা;
• তিনি স্মার্ট;
• আমি সবকিছু করতে পারি;

এবং একেবারে এলোমেলো এবং কখনও কখনও নগণ্য বার্তাগুলির উপর ভিত্তি করে অন্যান্য অনেক মূল্যের বিচার।

এটি লক্ষ করা উচিত: যখন একজন ব্যক্তির রায়ের ভ্রান্ততা অযৌক্তিকতার পর্যায়ে পৌঁছে, তখন সাইকোথেরাপিস্টের জন্য কাজের সামনে উপস্থিত হয়। একটি বিশেষজ্ঞ অ্যাপয়েন্টমেন্টে আনয়নের একটি উদাহরণ:

“রোগী সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত যে লাল রঙ যে কোনও প্রকাশে তার জন্য কেবল বিপদ বহন করে। ফলস্বরূপ, একজন ব্যক্তি তার জীবন থেকে এই রঙের স্কিমটি বাদ দিয়েছেন - যতদূর সম্ভব। বাড়ির পরিবেশে, আরামদায়ক জীবনযাপনের অনেক সুযোগ রয়েছে। আপনি সমস্ত লাল আইটেম প্রত্যাখ্যান করতে পারেন বা একটি ভিন্ন রঙের স্কিমে তৈরি অ্যানালগগুলির সাথে তাদের প্রতিস্থাপন করতে পারেন। কিন্তু পাবলিক জায়গায়, কর্মক্ষেত্রে, দোকানে - এটা অসম্ভব। স্ট্রেসের পরিস্থিতিতে, রোগী প্রতিবার সম্পূর্ণ আলাদা একটি "জোয়ার" অনুভব করেন মানসিক অবস্থাযা অন্যদের জন্য বিপদ ডেকে আনতে পারে।"

আনয়নের এই উদাহরণ, এবং অজ্ঞানভাবে, বলা হয় "স্থির ধারণা।" যদি এটি মানসিকভাবে সুস্থ ব্যক্তির সাথে ঘটে তবে আমরা সংগঠনের অভাব সম্পর্কে কথা বলতে পারি মানসিক কার্যকলাপ. পরিত্রাণের উপায় আবেশী রাষ্ট্রঅনুমানমূলক চিন্তাধারার প্রাথমিক বিকাশ হতে পারে। অন্যান্য ক্ষেত্রে, মনোরোগ বিশেষজ্ঞরা এই ধরনের রোগীদের সাথে কাজ করেন।

আবেশের উপরোক্ত উদাহরণগুলি ইঙ্গিত করে যে "আইনের অজ্ঞতা পরিণতি (ভুল রায়) থেকে রেহাই দেয় না।"

মনোবিজ্ঞানীরা, ডিডাক্টিভ চিন্তার বিষয়ে কাজ করে, লোকেদের এই পদ্ধতিটি আয়ত্ত করতে সহায়তা করার জন্য ডিজাইন করা সুপারিশগুলির একটি তালিকা সংকলন করেছেন।

প্রথম ধাপ হল সমস্যা সমাধান। দেখা যায়, গণিতে ব্যবহৃত আনয়নের ফর্মটিকে "শাস্ত্রীয়" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই পদ্ধতির ব্যবহার মনের "শৃঙ্খলা"তে অবদান রাখে।

অনুমানমূলক চিন্তাভাবনার বিকাশের পরবর্তী শর্ত হল দিগন্তের প্রসারণ (যারা স্পষ্টভাবে চিন্তা করে, স্পষ্টভাবে বলে)। এই সুপারিশটি বিজ্ঞান এবং তথ্যের ভান্ডারে (লাইব্রেরি, ওয়েবসাইট, শিক্ষামূলক উদ্যোগ, ভ্রমণ ইত্যাদি) "দুর্ভোগ" নির্দেশ করে।

আলাদাভাবে, তথাকথিত "মনস্তাত্ত্বিক আবেশ" এর উল্লেখ করা উচিত। এই শব্দটি, যদিও কদাচিৎ, ইন্টারনেটে পাওয়া যাবে। সমস্ত সূত্র এই শব্দটির অন্তত একটি সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা দেয় না, তবে "জীবন থেকে উদাহরণ" উল্লেখ করে নতুন ধরনেরআনয়ন হয় পরামর্শ, বা মানসিক অসুস্থতার কিছু ফর্ম, বা মানুষের মানসিকতার চরম অবস্থা। উপরের সবগুলো থেকে এটা স্পষ্ট যে অনুমান করার চেষ্টা " নতুন শব্দ", মিথ্যা (প্রায়শই অসত্য) প্রাঙ্গনে নির্ভর করে, পরীক্ষাকারীকে একটি ভ্রান্ত (বা তাড়াহুড়ো) বিবৃতি পেতে ধ্বংস করে।

এটি উল্লেখ করা উচিত যে 1960 পরীক্ষার রেফারেন্স (স্থান নির্দেশ না করে, পরীক্ষাকারীদের নাম, বিষয়ের নমুনা এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, পরীক্ষার উদ্দেশ্য) দেখায়, এটিকে মৃদু, অপ্রত্যাশিত, এবং বিবৃতিতে যে মস্তিষ্ক উপলব্ধির সমস্ত অঙ্গকে বাইপাস করে তথ্য উপলব্ধি করে (এই ক্ষেত্রে "অভিজ্ঞ" বাক্যাংশটি আরও জৈবিকভাবে ফিট হবে), বিবৃতিটির লেখকের নির্দোষতা এবং সমালোচনামূলকতা সম্পর্কে ভাবতে বাধ্য করে।

উপসংহারের পরিবর্তে

বিজ্ঞানের রানী - গণিত, নিরর্থক নয়, আনয়ন এবং কাটানোর পদ্ধতির সমস্ত সম্ভাব্য রিজার্ভ ব্যবহার করে। বিবেচিত উদাহরণগুলি আমাদের এই উপসংহারে পৌঁছাতে দেয় যে এমনকি সবচেয়ে নির্ভুল এবং নির্ভরযোগ্য পদ্ধতিগুলির উপরিভাগীয় এবং অযোগ্য (চিন্তাহীন, যেমন তারা বলে) প্রয়োগ সর্বদা ভুল ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

AT গণ চেতনাকর্তনের পদ্ধতিটি বিখ্যাত শার্লক হোমসের সাথে যুক্ত, যিনি তার যৌক্তিক নির্মাণে প্রায়ই প্রয়োজনীয় পরিস্থিতিতে ছাড় ব্যবহার করে আনয়নের উদাহরণ ব্যবহার করেন।

নিবন্ধটি মানব জীবনের বিভিন্ন বিজ্ঞান এবং ক্ষেত্রগুলিতে এই পদ্ধতিগুলির প্রয়োগের উদাহরণ বিবেচনা করেছে।

গাণিতিক আবেশ গাণিতিক প্রমাণের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটির অন্তর্গত। এটি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে সর্বাধিকপ্রাকৃতিক সংখ্যা n সহ সূত্র, উদাহরণস্বরূপ, অগ্রগতির প্রথম পদের যোগফল খুঁজে বের করার সূত্র S n \u003d 2 a 1 + n - 1 d 2 n, নিউটনের দ্বিপদ সূত্র a + b n \u003d C n 0 a n C n 1 a n - 1 b + . . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n।

প্রথম অনুচ্ছেদে, আমরা মৌলিক ধারণাগুলি বিশ্লেষণ করব, তারপরে আমরা নিজেই পদ্ধতির মূল বিষয়গুলি বিবেচনা করব এবং তারপরে আমরা আপনাকে বলব যে কীভাবে সমতা এবং অসমতা প্রমাণ করতে এটি ব্যবহার করতে হয়।

আনয়ন এবং কর্তনের ধারণা

প্রথমত, সাধারণভাবে আনয়ন এবং ডিডাকশন কী তা দেখা যাক।

সংজ্ঞা 1

আবেশবিশেষ থেকে সাধারণ রূপান্তর, এবং কর্তনবিপরীতে, সাধারণ থেকে বিশেষে।

উদাহরণস্বরূপ, আমাদের একটি বিবৃতি আছে: 254 সম্পূর্ণরূপে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। এটি থেকে আমরা অনেক সিদ্ধান্তে আসতে পারি, যার মধ্যে সত্য এবং মিথ্যা উভয়ই থাকবে। উদাহরণ স্বরূপ, বিবৃতি যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার শেষে 4 নম্বর আছে সেগুলিকে অবশিষ্টাংশ ছাড়াই দুই দ্বারা ভাগ করা যায়, কিন্তু যে কোনো তিনটি সংখ্যার সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য তা মিথ্যা।

সাধারণভাবে, এটা বলা যেতে পারে যে প্রবর্তক যুক্তির সাহায্যে একজন পরিচিত বা সুস্পষ্ট যুক্তি থেকে অনেক উপসংহার পেতে পারে। গাণিতিক আনয়ন আমাদের এই সিদ্ধান্তগুলি কতটা বৈধ তা নির্ধারণ করতে দেয়।

ধরুন আমাদের কাছে 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , এর মতো সংখ্যার একটি ক্রম রয়েছে। . . , 1 n (n + 1), যেখানে n কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা নির্দেশ করে। এই ক্ষেত্রে, ক্রমটির প্রথম উপাদানগুলি যোগ করার সময়, আমরা নিম্নলিখিতগুলি পাই:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 4 \u003d 4 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .

আবেশ ব্যবহার করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে S n = n n + 1। তৃতীয় অংশে আমরা এই সূত্রটি প্রমাণ করব।

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি কি?

এই পদ্ধতিটি একই নামের নীতির উপর ভিত্তি করে। এটি এই মত প্রণয়ন করা হয়:

সংজ্ঞা 2

একটি নির্দিষ্ট বিবৃতি একটি প্রাকৃতিক মান n এর জন্য সত্য হবে যখন 1) এটি n = 1 এবং 2 এর জন্য সত্য হবে) এই অভিব্যক্তিটি একটি স্বেচ্ছাচারী প্রাকৃতিক মান n = k এর জন্য সত্য, এটি অনুসরণ করে যে এটিও সত্য হবে n = k + 1 এর জন্য।

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির প্রয়োগ 3টি পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়:

1. প্রথমত, আমরা n এর স্বেচ্ছাচারী প্রাকৃতিক মানের ক্ষেত্রে মূল বিবৃতির সঠিকতা পরীক্ষা করি (সাধারণত পরীক্ষাটি ঐক্যের জন্য করা হয়)।
2. এর পরে, আমরা n = k এ বিশ্বস্ততা পরীক্ষা করি।
3. এবং তারপর আমরা n = k + 1 হলে উক্তিটির বৈধতা প্রমাণ করি।

অসমতা এবং সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিটি কীভাবে প্রয়োগ করবেন

এর উদাহরণ নেওয়া যাক আমরা আগে কথা বলেছি।

উদাহরণ 1

S n = 1 1 2 + 1 2 3 + সূত্রটি প্রমাণ কর। . . + 1 n (n + 1) = n n + 1।

সমাধান

আমরা ইতিমধ্যে জানি, গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি প্রয়োগ করতে, তিনটি পরপর ধাপ সম্পাদন করতে হবে।

1. প্রথমত, আমরা পরীক্ষা করি যে এই সমতা n সমান একের জন্য বৈধ হবে কিনা। আমরা S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2 পাই। এখানে সবকিছু সঠিক।
2. আরও, আমরা অনুমান করি যে সূত্র S k = k k + 1 সঠিক।
3. তৃতীয় ধাপে, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 , আগের সমতার বৈধতার উপর ভিত্তি করে।

আমরা k + 1 কে মূল ক্রম এবং k + 1 এর প্রথম পদের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

যেহেতু দ্বিতীয় ধাপে আমরা পেয়েছি যে S k = k k + 1, আমরা নিম্নলিখিত লিখতে পারি:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)।

এখন আমরা প্রয়োজনীয় রূপান্তর সঞ্চালন. আমরা ভগ্নাংশ কমাতে হবে সাধারণ নির্ধারক, পদের মতো করে, সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র প্রয়োগ করুন এবং যা ঘটেছে তা কম করুন:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

এইভাবে, আমরা গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির তিনটি ধাপ সম্পাদন করে তৃতীয় বিন্দুতে সমতা প্রমাণ করেছি।

উত্তর: S n = n n + 1 সূত্র সম্পর্কে অনুমানটি সঠিক।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নিয়ে আরও জটিল সমস্যা ধরা যাক।

উদাহরণ 2

পরিচয়ের একটি প্রমাণ দিন cos 2 α · cos 4 α ·। . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α।

সমাধান

যেমনটি আমরা মনে রাখি, প্রথম পদক্ষেপটি হওয়া উচিত সমতার সঠিকতা পরীক্ষা করা যখন n একের সমান। খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র মনে রাখতে হবে।

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

অতএব, n সমান একজনের জন্য, পরিচয়টি সত্য হবে।

এখন ধরুন যে এর বৈধতা n = k এর জন্য সংরক্ষিত আছে, অর্থাৎ এটা সত্য হবে যে cos 2 α · cos 4 α · । . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α।

আমরা সমতা প্রমাণ করি cos 2 α · cos 4 α ·। . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α ক্ষেত্রে যখন n = k + 1, পূর্ববর্তী অনুমানের উপর ভিত্তি করে।

ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

অতএব,

cos 2 α cos 4 α। . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · । . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অসমতা প্রমাণের সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতির নিবন্ধে দেওয়া হয়েছে। অনুচ্ছেদটি পড়ুন যেখানে অনুমান সহগ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি উদ্ভূত হয়েছে।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

MBOU Lyceum "প্রযুক্তিগত এবং অর্থনৈতিক"

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি।

ব্যাখ্যামূলক টীকা

গাণিতিক প্রোফাইলের 10 তম গ্রেডের শিক্ষার্থীদের জন্য পদ্ধতিগত বিকাশ "গাণিতিক আবেশের পদ্ধতি" সংকলিত হয়েছিল।

প্রাথমিক লক্ষ্য: গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির সাথে শিক্ষার্থীদের পরিচিত করা এবং বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে কীভাবে এটি প্রয়োগ করতে হয় তা শেখানো।

AT পদ্ধতিগত উন্নয়নপ্রাথমিক গণিতের প্রশ্নগুলি বিবেচনা করা হয়: বিভাজ্যতা সমস্যা, পরিচয়ের প্রমাণ, অসমতার প্রমাণ, বিভিন্ন স্তরের জটিলতার সমস্যাগুলি প্রস্তাব করা হয়, অলিম্পিয়াডে দেওয়া সমস্যাগুলি সহ।

পরীক্ষামূলক বিজ্ঞানে ইন্ডাকটিভ ইনফারেন্সের ভূমিকা খুবই মহান। তারা সেই বিধানগুলি দেয়, যেখান থেকে পরবর্তী সিদ্ধান্তগুলি কেটে নেওয়া হয়। নাম গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিপ্রতারণামূলকভাবে - প্রকৃতপক্ষে, এই পদ্ধতিটি ডিডাক্টিভ এবং আনয়ন দ্বারা অনুমান করা বিবৃতিগুলির একটি কঠোর প্রমাণ দেয়। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিটি গণিতের বিভিন্ন বিভাগের মধ্যে সংযোগ সনাক্তকরণে অবদান রাখে, শিক্ষার্থীর গাণিতিক সংস্কৃতি বিকাশে সহায়তা করে।

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির সংজ্ঞা। সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ আনয়ন. বৈষম্যের প্রমাণ। পরিচয়ের প্রমাণ। বিভাজ্যতা সমস্যা সমাধান. "গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি" বিষয়ে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান।

শিক্ষকের জন্য সাহিত্য

1. এমএল গ্যালিটস্কি। গভীর জ্ঞানার্জনবীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স। - এম. এনলাইটেনমেন্ট 1986।

2. L.I. Zvavich. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা। শিক্ষামূলক উপকরণ. এম. ড্রোফা। 2001।

3. এন.ইয়া. ভিলেনকিন। বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণ। এম এনলাইটেনমেন্ট। 1995।

4. ইউ.ভি. মিখিভ। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি। NGU.1995।

ছাত্রদের জন্য সাহিত্য

1. এন.ইয়া. ভিলেনকিন। বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণ। এম এনলাইটেনমেন্ট। 1995।

2. ইউ.ভি. মিখিভ। গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি। NGU.1995।

কীওয়ার্ড

আনয়ন, স্বতঃসিদ্ধ, গাণিতিক আবেশের নীতি, সম্পূর্ণ আনয়ন, অসম্পূর্ণ আবেশ, দাবী, পরিচয়, অসমতা, বিভাজ্যতা।

বিষয়ের ডিড্যাক্টিক পরিশিষ্ট

"গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি"।

পাঠ 1

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির সংজ্ঞা।

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি অন্যতম অত্যন্ত কার্যকর পদ্ধতিনতুন ফলাফল এবং প্রস্তাবিত অনুমানের সত্যতার প্রমাণের জন্য অনুসন্ধান করুন। যদিও এই পদ্ধতিটি গণিতে নতুন নয়, তবে এতে আগ্রহ কমে না। একটি স্পষ্ট উপস্থাপনায় প্রথমবারের মতো, 17 শতকে অসামান্য ফরাসি বিজ্ঞানী ব্লেইস পাসকাল একটি সংখ্যা ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করার জন্য গাণিতিক আবেশের পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলেন, যা তার নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে। যাইহোক, গাণিতিক আনয়নের ধারণাটি প্রাচীন গ্রীকদের কাছে পরিচিত ছিল। গাণিতিক আবেশন পদ্ধতি গাণিতিক আবেশ নীতির উপর ভিত্তি করে, যা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গৃহীত হয়। আমরা উদাহরণ সহ গাণিতিক আনয়নের ধারণাটি বিবেচনা করব।

উদাহরণ # 1।

বর্গক্ষেত্রটি একটি সেগমেন্ট দ্বারা দুটি ভাগে বিভক্ত হয়, তারপর ফলস্বরূপ অংশগুলির মধ্যে একটি দুটি ভাগে বিভক্ত হয় এবং আরও অনেক কিছু। বর্গক্ষেত্রটি কত ভাগে বিভক্ত তা নির্ধারণ করুন পৃপদক্ষেপ?

সমাধান।

প্রথম ধাপের পরে, আমরা, শর্ত দ্বারা, 2 অংশ পেতে. দ্বিতীয় ধাপে, আমরা একটি অংশ অপরিবর্তিত রেখেছি, এবং দ্বিতীয়টিকে 2 ভাগে ভাগ করে 3টি অংশ পাই। তৃতীয় ধাপে, আমরা 2টি অংশ অপরিবর্তিত রেখেছি এবং তৃতীয়টিকে দুটি অংশে ভাগ করে 4টি অংশ পাই। চতুর্থ ধাপে, আমরা 3টি অংশ অপরিবর্তিত রেখেছি এবং শেষ অংশটিকে দুটি ভাগে ভাগ করে 5টি অংশ পাই। পঞ্চম ধাপে আমরা ৬টি অংশ পাব। সেই মাধ্যমে পরামর্শ দেওয়া হয় পৃপদক্ষেপ আমরা পেতে (n+1)অংশ কিন্তু এই প্রস্তাব প্রমাণ করা প্রয়োজন. এর মাধ্যমে যে অনুমান করা যাক প্রতিবর্গাকার ধাপে বিভক্ত (k+1)অংশ তারপর (k+1)আমরা পদক্ষেপ প্রতিঅংশ অপরিবর্তিত রাখা হবে, এবং (k+1)অংশটিকে দুটি ভাগে ভাগ করুন এবং পান (k+2)অংশ আপনি লক্ষ্য করুন যে আপনি যতক্ষণ চান ততক্ষণ এই মত তর্ক করতে পারেন, বিজ্ঞাপন অসীম. অর্থাৎ আমাদের অনুমান এমনই পৃধাপ বর্গক্ষেত্র বিভক্ত করা হবে (n+1)অংশ, প্রমাণিত হয়।

উদাহরণ #2।

আমার নানীর একটি নাতনী ছিল যে জ্যাম খুব পছন্দ করত, এবং বিশেষ করে এক লিটার জারে। কিন্তু ঠাকুমা তাকে স্পর্শ করতে দেননি। এবং নাতনিরা তাদের দাদীকে প্রতারণা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে। তিনি এই বয়াম থেকে প্রতিদিন 1/10 লিটার খাওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন এবং এটিকে জল দিয়ে ভালভাবে মেশাবেন। জলে অর্ধেক মিশ্রিত করার সময় জ্যামটি চেহারায় একই থাকে তবে দাদী কত দিন পরে প্রতারণা আবিষ্কার করবেন?

সমাধান।

জারে কতটা খাঁটি জাম পরে থাকবে তা খুঁজুন পৃদিন প্রথম দিনের পরে, মিশ্রণটি 9/10 জ্যাম এবং 1/10 জল সমন্বিত জারে থাকবে। দুই দিন পর, জল এবং জ্যামের মিশ্রণের 1/10 জার থেকে অদৃশ্য হয়ে যাবে এবং অবশিষ্ট থাকবে (1 লিটার মিশ্রণে 9/10 লিটার জ্যাম থাকে, 1/10 লিটার মিশ্রণে 9/100 লিটার জ্যাম থাকে)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 লিটার জ্যাম। তৃতীয় দিনে, 81/100 জ্যাম এবং 19/100 জল সমন্বিত মিশ্রণের 1/10 লিটার জার থেকে অদৃশ্য হয়ে যাবে। 1 লিটার মিশ্রণে 81/100 লিটার জ্যাম থাকে, 1/10 লিটার মিশ্রণে 81/1000 লিটার জ্যাম থাকে। 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 লিটার জ্যাম 3 দিন পরে ছেড়ে দেওয়া হবে, এবং বাকি জল দিয়ে নেওয়া হবে। একটি প্যাটার্ন আবির্ভূত হয়। মাধ্যম পৃব্যাঙ্কে দিন বাকি (9/10) পৃ l জ্যাম কিন্তু আবার, এটা শুধু আমাদের অনুমান.

দিন প্রতিএকটি নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা। এর মাধ্যমে যে অনুমান করা যাক প্রতিব্যাংকে দিন (9/10) থেকে জ্যাম থাকবে। দেখা যাক অন্য একদিনে, অর্থাৎ ইন, ব্যাংকে কী থাকবে (k+1)দিন. ব্যাংক থেকে উধাও হয়ে যাবে 1/10 লিএকটি সংমিশ্রন (9/10) প্রতি lজ্যাম এবং জল। AT 1 লিমিশ্রণ হয় (9/10) প্রতি lজ্যাম, মধ্যে 1/10 লিমিশ্রণ (9/10) k+1 lজ্যাম এখন আমরা নিরাপদে এর মাধ্যমে বলতে পারি পৃব্যাংকে দিন বাকি (9/10) পৃ lজ্যাম 6 দিনের মধ্যে ব্যাংক হবে 531444/1000000lজ্যাম, 7 দিন পরে - 4782969/10000000lজ্যাম, অর্থাৎ অর্ধেকেরও কম।

উত্তর: 7 দিন পরে, দাদি প্রতারণা আবিষ্কার করবে।

আসুন আমরা বিবেচনা করা সমস্যাগুলির সমাধানগুলির মধ্যে সবচেয়ে মৌলিকটিকে একক করার চেষ্টা করি। আমরা তাদের প্রতিটিকে আলাদা বা, যেমন তারা বলে, বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করে সমাধান করতে শুরু করেছি। তারপর, আমাদের পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে, আমরা কিছু অনুমান করেছি P(n), প্রাকৃতিক উপর নির্ভর করে পৃ.

দাবীটি পরীক্ষা করা হয়েছে, অর্থাৎ প্রমাণিত হয়েছে P(1), P(2), P(3);

যে প্রস্তাব P(n)জন্য বৈধ n=kএবং অনুমান করা হয়েছে যে তারপর এটি পরবর্তী জন্য বৈধ হবে n, n=k+1।

এবং তারপর তারা এই মত কিছু যুক্তি: P(1)ঠিক, P(2)ঠিক, P(3)ঠিক, P(4)ঠিক... এটা ঠিক P(n)।

গাণিতিক আনয়নের নীতি।

বিবৃতি P(n), প্রাকৃতিক উপর নির্ভর করে পৃ, সব প্রাকৃতিক জন্য বৈধ পৃ, যদি

1) দাবির বৈধতা n=1;

2) বিবৃতিটির বৈধতা অনুমান থেকে P(n)এ n=kউচিত

বিচার P(n)এ n=k+1।

গণিতে, গাণিতিক আবেশের নীতিটি একটি নিয়ম হিসাবে, একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে বেছে নেওয়া হয় যা সংখ্যার প্রাকৃতিক সিরিজকে সংজ্ঞায়িত করে, এবং তাই, প্রমাণ ছাড়াই গৃহীত হয়। গাণিতিক আবেশের নীতি দ্বারা প্রমাণের পদ্ধতিকে সাধারণত গাণিতিক আবেশের পদ্ধতি বলা হয়। উল্লেখ্য যে এই পদ্ধতিটি ব্যাপকভাবে উপপাদ্য, পরিচয়, বিভাজ্য সমস্যা সমাধানে অসমতা এবং অন্যান্য অনেক সমস্যা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়।

পাঠ 2

সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ আনয়ন.

ক্ষেত্রে যখন একটি গাণিতিক বিবৃতি একটি সীমিত সংখ্যক বস্তুর সাথে সম্পর্কিত, এটি প্রতিটি বস্তুর জন্য পরীক্ষা করে প্রমাণ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বিবৃতি "প্রতিটি দ্বি-মূল্যবান জোড় সংখ্যাদুটির সমষ্টি মৌলিক সংখ্যা" প্রমাণের যে পদ্ধতিতে আমরা সীমিত সংখ্যক ক্ষেত্রে একটি বিবৃতি পরীক্ষা করি তাকে সম্পূর্ণ গাণিতিক আবেশ বলা হয়। এই পদ্ধতিটি তুলনামূলকভাবে খুব কমই ব্যবহৃত হয়, যেহেতু বিবৃতিগুলি প্রায়শই অসীম সেটগুলিতে বিবেচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, "যেকোনো জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলের সমান" এই উপপাদ্যটি এখনও পর্যন্ত প্রমাণিত বা খণ্ডন করা হয়নি। এমনকি যদি আমরা এই উপপাদ্যটিকে প্রথম বিলিয়নের জন্য পরীক্ষা করি, তবে এটি আমাদের এটি প্রমাণ করার এক ধাপ কাছাকাছি নিয়ে আসবে না।

AT প্রাকৃতিক বিজ্ঞানঅসম্পূর্ণ আনয়ন প্রয়োগ করুন, পরীক্ষাটি বেশ কয়েকবার পরীক্ষা করুন, ফলাফলটি সমস্ত ক্ষেত্রে স্থানান্তর করুন।

উদাহরণ #3

প্রাকৃতিক সংখ্যার ঘনকের যোগফলের জন্য অসম্পূর্ণ আবেশ সূত্র ব্যবহার করে অনুমান করুন।

সমাধান।

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2।

প্রমাণ।

এটা সত্য হতে দিন n=k

এর জন্য সত্য প্রমাণ করা যাক n=k+1।

উপসংহার: প্রাকৃতিক সংখ্যার ঘনকের যোগফলের সূত্রটি যে কোনও প্রাকৃতিকের জন্য সত্য পৃ.

উদাহরণ #4

সমতা বিবেচনা করুন এবং অনুমান করুন যে এই উদাহরণগুলি সাধারণ আইনের দিকে নিয়ে যায়।

সমাধান।

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

উদাহরণ #5

একটি যোগফল হিসাবে নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি লিখুন:

1)
2)
3)
; 4)
.

গ্রীক অক্ষর "সিগমা"।

উদাহরণ #6।

চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নলিখিত যোগফল লিখুন
:

2)

উদাহরণ #7।

পণ্য হিসাবে নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি লিখুন:

1)

3)
4)

উদাহরণ #8।

চিহ্ন ব্যবহার করে নিচের কাজগুলো লিখ

(মূল গ্রীক অক্ষর "pi")

1)
2)

উদাহরণ #9।

বহুপদীর মান গণনা করা চ ( n )= n 2 + n +11 , এ n=1,2,3,4.5,6,7 এটা যে কোনো প্রাকৃতিক জন্য অনুমান করা যেতে পারেপৃসংখ্যা চ ( n ) সহজ

এই অনুমান কি সঠিক?

সমাধান।

যদি প্রতিটি যোগফল একটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে যোগফল সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য,
কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য মৌলিক সংখ্যা নয়পৃ.

একটি সীমিত সংখ্যক কেস নাটক পার্সিং গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাগণিতে: এই বা সেই বিবৃতির প্রমাণ না দিয়ে, এটি এই বিবৃতিটির সঠিক সূত্র অনুমান করতে সাহায্য করে, যদি এটি এখনও অজানা থাকে। এভাবেই সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য গোল্ডবাচ অনুমানে এসেছিলেন যে দুটি থেকে শুরু হওয়া যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সর্বাধিক তিনটি মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি।

পাঠ #3

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি আমাদের বিভিন্ন পরিচয় প্রমাণ করতে দেয়।

উদাহরণ #10।আসুন সবার জন্য এটি প্রমাণ করি পৃপরিচয়

সমাধান।

চল রাখি

আমাদের সেটা প্রমাণ করতে হবে

আসুন প্রমাণ করি তাহলে পরিচয়ের সত্যতা থেকে

পরিচয়ের সত্যতা অনুসরণ করে

গাণিতিক আনয়নের নীতি দ্বারা, সকলের জন্য পরিচয়ের সত্য পৃ.

উদাহরণ #11।

পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

টার্ম-বাই-টার্ম সমতা।

;
. তাই এই পরিচয় সবার জন্যই সত্যপৃ .

পাঠ নম্বর 4।

গাণিতিক আবেশ দ্বারা পরিচয়ের প্রমাণ।

উদাহরণ #12। পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

গাণিতিক আনয়নের নীতি প্রয়োগ করে, আমরা প্রমাণ করেছি যে সমতা সবার জন্য সত্য পৃ.

উদাহরণ #13। পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

গাণিতিক আনয়নের নীতি প্রয়োগ করে, আমরা প্রমাণ করেছি যে বিবৃতিটি যে কোনও প্রাকৃতিকের জন্য সত্য পৃ.

উদাহরণ #14। পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

উদাহরণ #15। পরিচয় প্রমাণ করা যাক

1) n=1;

2) জন্য n=k সমতা

3) প্রমাণ করুন যে সমতা রয়েছে n=k+1:

উপসংহার: পরিচয় কোনো প্রাকৃতিক জন্য বৈধ পৃ.

উদাহরণ #16।পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

যদি একটি n=1 , তারপর

পরিচয় ধরে রাখা যাক n=k

আসুন প্রমাণ করি যে পরিচয়ের জন্য রয়েছে n=k+1।

তাহলে পরিচয়টি যেকোন প্রাকৃতিকের জন্য বৈধ পৃ.

পাঠ নম্বর 5।

গাণিতিক আবেশ দ্বারা পরিচয়ের প্রমাণ।

উদাহরণ #17।পরিচয় প্রমাণ করা যাক

প্রমাণ।

যদি একটি n=2 , তারপর আমরা সঠিক সমতা পাই:

সমতার জন্য সত্য হতে দিনn=k:

আমাদের দাবির বৈধতা প্রমাণ করা যাক n=k+1।

গাণিতিক আবেশ নীতি অনুসারে, পরিচয় প্রমাণিত হয়।

উদাহরণ #18। পরিচয় প্রমাণ করা যাক
n≥2 এর জন্য।

এ n=2 এই পরিচয়টি খুব সহজ আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে

এবং স্পষ্টতই সত্য।

এ যাক n=kসত্যিই

.

আমাদের দাবির বৈধতা প্রমাণ করা যাকn=k+1, যে, সমতা সন্তুষ্ট: .

সুতরাং, আমরা প্রমাণ করেছি যে পরিচয়টি যে কোনও প্রাকৃতিকের জন্য সত্য n≥2।

উদাহরণ #19। পরিচয় প্রমাণ করা যাক

এ n=1 আমরা সঠিক সমতা পাই:

চলুন যে অনুমান করা যাক n=kআমরা সঠিক সমতাও পাই:

আসুন প্রমাণ করি যে সাম্যের বৈধতা পরিলক্ষিত হয় n=k+1:

তাহলে পরিচয়টি যেকোন প্রাকৃতিকের জন্য বৈধ পৃ.

পাঠ নম্বর 6।

বিভাজ্যতা সমস্যা সমাধান.

উদাহরণ #20।গাণিতিক আবেশ দ্বারা প্রমাণ করুন যে

দ্বারা বিভক্ত 6 একটি ট্রেস ছাড়া।

প্রমাণ।

এ n=1 মধ্যে একটি বিভাজন আছে6 কোন চিহ্ন ছাড়া,
.

এ যাক n=k অভিব্যক্তি
একাধিক6.

আমাদের প্রমাণ করা যাক যখন n=k+1 অভিব্যক্তি
একাধিক6 .

প্রতিটি পদ একাধিক 6 , তাই যোগফল এর গুণিতক 6 .

উদাহরণ নম্বর 21।
উপরে5 একটি ট্রেস ছাড়া।

প্রমাণ।

এ n=1 অভিব্যক্তি বিভাজ্য
.

এ যাক n=k অভিব্যক্তি
এছাড়াও বিভক্ত5 একটি ট্রেস ছাড়া।

এ n=k+1দ্বারা বিভক্ত 5 .

উদাহরণ #22। একটি রাশির বিভাজ্যতা প্রমাণ কর
উপরে16.

প্রমাণ।

এ n=1একাধিক 16 .

এ যাক n=k
একাধিক16.

এ n=k+1

সমস্ত পদ দ্বারা বিভাজ্য হয় 16: প্রথমটি স্পষ্টতই অনুমান অনুসারে দ্বিতীয়টি, এবং তৃতীয়টির বন্ধনীতে একটি জোড় সংখ্যা রয়েছে।

উদাহরণ #23। বিভাজ্যতা প্রমাণ কর
উপরে676.

প্রমাণ।

আসুন প্রথমে প্রমাণ করি
দ্বারা বিভক্ত
.

এ n=0
.

এ যাক n=k
দ্বারা বিভক্ত26 .

তারপর এ n=k+1দ্বারা বিভক্ত 26 .

আসুন এখন সমস্যার শর্তে প্রণীত দাবীটি প্রমাণ করি।

এ n=1দ্বারা বিভক্ত 676.

এ n=k এটা সত্য যে
দ্বারা বিভক্ত26 2 .

এ n=k+1 .

উভয় পদ দ্বারা বিভাজ্য 676 ; প্রথমটি কারণ আমরা দ্বারা বিভাজ্যতা প্রমাণ করেছি 26 বন্ধনীতে অভিব্যক্তি, এবং দ্বিতীয়টি প্রবর্তক অনুমান দ্বারা বিভাজ্য।

পাঠ নম্বর 7।

বিভাজ্যতা সমস্যা সমাধান.

উদাহরণ নম্বর 24।

প্রমাণ কর যে
দ্বারা বিভক্ত5 একটি ট্রেস ছাড়া।

প্রমাণ।

এ n=1
দ্বারা বিভক্ত5.

এ n=k
দ্বারা বিভক্ত5 একটি ট্রেস ছাড়া।

এ n=k+1 প্রতিটি পদ দ্বারা বিভাজ্য5 একটি ট্রেস ছাড়া।

উদাহরণ #25।

প্রমাণ কর যে
দ্বারা বিভক্ত6 একটি ট্রেস ছাড়া।

প্রমাণ।

এ n=1
দ্বারা বিভক্ত6 একটি ট্রেস ছাড়া।

এ যাক n=k
দ্বারা বিভক্ত6 একটি ট্রেস ছাড়া।

এ n=k+1দ্বারা বিভক্ত 6 কোন অবশিষ্ট নেই, যেহেতু প্রতিটি পদ দ্বারা বিভাজ্য6 একটি অবশিষ্ট ছাড়া: প্রথম পদ, প্রবর্তক অনুমান দ্বারা, দ্বিতীয়, স্পষ্টতই, তৃতীয়, কারণ
জোড় সংখ্যা.

উদাহরণ #26।

প্রমাণ কর যে
দ্বারা ভাগ করার সময়9 বাকি দেয় 1 .

প্রমাণ।

আসুন প্রমাণ করি
দ্বারা বিভক্ত9 .

এ n=1
দ্বারা বিভক্ত 9 . এ যাক n=k
দ্বারা বিভক্ত9 .

এ n=k+1দ্বারা বিভক্ত 9 .

উদাহরণ নম্বর 27।

দ্বারা বিভাজ্য প্রমাণ করুন15 একটি ট্রেস ছাড়া।

প্রমাণ।

এ n=1দ্বারা বিভক্ত 15 .

এ যাক n=kদ্বারা বিভক্ত 15 একটি ট্রেস ছাড়া।

এ n=k+1

প্রথম পদটি একাধিক15 ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস দ্বারা, দ্বিতীয় টার্মটি এর একাধিক15 – স্পষ্টতই, তৃতীয় পদটি এর একাধিক15 , কারণ
একাধিক5 (উদাহরণ নং 21 এ প্রমাণিত), চতুর্থ এবং পঞ্চম পদগুলিও বহুগুণ5 , যা সুস্পষ্ট, তাহলে যোগফল এর গুণিতক15 .

পাঠ নম্বর 8-9।

গাণিতিক আবেশ দ্বারা অসমতার প্রমাণ

উদাহরণ #28।
.

এ n=1আমাদের আছে
- ঠিক।

এ যাক n=k
একটি সত্য অসমতা.

এ n=k+1

তাহলে অসমতা যে কোনো প্রাকৃতিক জন্য বৈধ পৃ.

উদাহরণ #29।প্রমাণ করুন যে অসমতা সত্য
কোন জন্য পৃ.

এ n=1আমরা সঠিক অসমতা পেতে 4 >1.

এ যাক n=kঅসমতা
.

আমাদের প্রমাণ করা যাক যখন n=k+1অসমতা

যে কোন প্রাকৃতিক জন্য প্রতিবৈষম্য পরিলক্ষিত হয়।

যদি একটি
এ
তারপর

উদাহরণ #30।

যে কোন প্রাকৃতিক জন্য পৃএবং যে কোনো

দিন n=1
, ঠিক

আসুন আমরা ধরে নিই যে বৈষম্য রয়ে গেছে n=k:
.

এ n=k+1

উদাহরণ নম্বর 31।অসমতার বৈধতা প্রমাণ কর

যে কোন প্রাকৃতিক জন্য পৃ.

আসুন প্রথমে প্রমাণ করি যে কোন প্রাকৃতিক জন্য tঅসমতা

অসমতার উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন
. আমরা একটি সমতুল্য অসমতা বা প্রাপ্ত
;
; - এই বৈষম্য যে কোনো প্রাকৃতিক জন্য ধারণ করে t.

এ n=1মূল অসমতা সত্য
;
;
.

অসমতা ধরে রাখতে দিন n=k:
.

এ n=k+1

পাঠ নম্বর 10।

বিষয়ে সমস্যা সমাধান

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি।

উদাহরণ #32।বার্নউলির অসমতা প্রমাণ কর।

যদি একটি
, তারপর সব প্রাকৃতিক মান জন্যপৃ অসমতা

প্রমাণ।

এ n=1 যে অসমতা প্রমাণিত হচ্ছে তা রূপ নেয়
এবং স্পষ্টতই সঠিক। এর জন্য এটা সত্য অনুমান করা যাকn=k , যে কি
.

যেহেতু শর্ত অনুযায়ী
, তারপর
, এবং সেইজন্য অসমতা এর অর্থ পরিবর্তন করে না যখন এর উভয় অংশকে দ্বারা গুণ করা হয়
:

কারণ
, তারপর আমরা এটা পেতে

.

তাই অসমতার জন্য সত্য n=1, এবং তার সত্য থেকে এ n=kএটি অনুসরণ করে যে এটি সত্য এবং n=k+1।তাই, গাণিতিক আবেশ দ্বারা, এটি সমস্ত প্রাকৃতিক জন্য ধারণ করে পৃ.

উদাহরণ স্বরূপ,

উদাহরণ নম্বর 33। সমস্ত প্রাকৃতিক মান খুঁজুনপৃ যার জন্য অসমতা

সমাধান।

এ n=1অসমতা সঠিক। এ n=2অসমতাও সত্য।

এ n=3অসমতা আর সন্তুষ্ট নয়। শুধুমাত্র যখন n=6অসমতা ধরে রাখে, যাতে আমরা আনয়নের ভিত্তিতে নিতে পারি n=6।

অনুমান করুন যে অসমতা কিছু প্রাকৃতিক জন্য সত্য প্রতি:

বৈষম্য বিবেচনা করুন

শেষ অসমতা যদি ধরে
পরীক্ষাবিষয়ে n=1 বারবার দেওয়া হয়: n≥5 , যেখানে পৃ--প্রাকৃতিক সংখ্যা।

সারাতোভ অঞ্চলের শিক্ষা মন্ত্রণালয়

সারাতভ রাজ্য আর্থ-সামাজিক বিশ্ববিদ্যালয়

গাণিতিক আঞ্চলিক প্রতিযোগিতা এবং কম্পিউটার কাজস্কুলছাত্রী

"ভেক্টর অফ দ্য ফিউচার - 2007"

"গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি।

বীজগণিতীয় সমস্যা সমাধানে এর প্রয়োগ"

(বিভাগ "গণিত")

সৃজনশীল কাজ

10 "ক" শ্রেণীর ছাত্র

MOU "জিমনেসিয়াম নং 1"

সারাতোভের ওক্টিয়াব্রস্কি জেলা

হারুতুন্যাঁ গয়ানে।

কাজের ব্যবস্থাপক:

গণিত শিক্ষক

গ্রিশিনা ইরিনা ভ্লাদিমিরোভনা

সারাতোভ

2007

ভূমিকা………………………………………………………………………………

গাণিতিক আনয়নের নীতি এবং এর

প্রমাণ………………………………………………………………………………..৪

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ…………………………………………………………………..9

উপসংহার………………………………………………………………………………………..১৬

সাহিত্য ………………………………………………………………………… ১৭

ভূমিকা.

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিকে অগ্রগতির সাথে তুলনা করা যেতে পারে। আমরা ফলস্বরূপ, সর্বনিম্ন থেকে শুরু করি যুক্তিযুক্ত চিন্তাআমরা সর্বোচ্চে আসি। মানুষ সর্বদা অগ্রগতির জন্য প্রচেষ্টা করেছে, তার চিন্তাধারাকে যৌক্তিকভাবে বিকশিত করার ক্ষমতার জন্য, যার মানে প্রকৃতি নিজেই তাকে উদ্দীপকভাবে চিন্তা করার এবং যুক্তিবিদ্যার সমস্ত নিয়ম অনুসারে প্রমাণ সহ তার চিন্তাকে শক্তিশালী করার জন্য নিয়তি করেছে।
বর্তমানে, গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির প্রয়োগের ক্ষেত্র বেড়েছে, তবে স্কুলের পাঠ্যক্রমদুর্ভাগ্যক্রমে, তার কাছে বেশি সময় নেই। তবে এটি এত গুরুত্বপূর্ণ - ইন্ডাকটিভভাবে চিন্তা করতে সক্ষম হওয়া।

গাণিতিক আনয়নের নীতি এবং এর প্রমাণ

আসুন গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির সারমর্মে ফিরে আসি। আসুন বিভিন্ন বিবৃতি বিবেচনা করা যাক। এগুলিকে সাধারণ এবং বিশেষে বিভক্ত করা যেতে পারে। আসুন সাধারণ বিবৃতির উদাহরণ দেওয়া যাক।

সমস্ত রাশিয়ান নাগরিকদের শিক্ষার অধিকার রয়েছে।

যেকোন সমান্তরালগ্রামে, ছেদ বিন্দুতে কর্ণগুলি দ্বিখণ্ডিত হয়।

শূন্য দিয়ে শেষ হওয়া সমস্ত সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যক্তিগত বিবৃতিগুলির প্রাসঙ্গিক উদাহরণ:

পেট্রোভের শিক্ষার অধিকার আছে।

সমান্তরাল ABCD-এ, ছেদ বিন্দুতে কর্ণগুলি দ্বিখণ্ডিত।

140 5 দ্বারা বিভাজ্য।

সাধারণ বিবৃতি থেকে বিশেষ বিবৃতিতে রূপান্তরকে ডিডাকশন বলা হয় (ল্যাটিন থেকে কর্তন - যুক্তির নিয়ম অনুসারে উপসংহার)।

অনুমানমূলক অনুমানের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

সমস্ত রাশিয়ান নাগরিকদের শিক্ষার অধিকার রয়েছে। (এক)

পেট্রোভ রাশিয়ার নাগরিক। (2)

পেট্রোভের শিক্ষার অধিকার আছে। (৩)

সাধারণ দাবী (1) এর সাহায্যে (2) বিশেষ দাবী (3) প্রাপ্ত হয়।

নির্দিষ্ট বিবৃতি থেকে সাধারণ বিবৃতিতে বিপরীত রূপান্তরকে ইন্ডাকশন বলা হয় (ল্যাটিন থেকে আনয়ন - নির্দেশিকা)।

আনয়ন সঠিক এবং ভুল উভয় উপসংহারের দিকে পরিচালিত করতে পারে।

দুটি উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি ব্যাখ্যা করা যাক।

140 5 দ্বারা বিভাজ্য। (1)

শূন্য দিয়ে শেষ হওয়া সমস্ত সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য। (2)

140 5 দ্বারা বিভাজ্য। (1)

সমস্ত তিন অঙ্কের সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য। (2)

নির্দিষ্ট বক্তব্য থেকে (1) সাধারণ বক্তব্য (2) পাওয়া যায়। বিবৃতি (2) সত্য।

দ্বিতীয় উদাহরণটি দেখায় কিভাবে একটি সাধারণ বিবৃতি (3) একটি নির্দিষ্ট বিবৃতি (1) থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, উপরন্তু, বিবৃতি (3) সত্য নয়।

আসুন আমরা নিজেদেরকে প্রশ্ন করি কিভাবে গণিতে ইন্ডাকশন ব্যবহার করতে হয় যাতে শুধুমাত্র সঠিক সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়। আসুন আনয়নের কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি, যা গণিতে অগ্রহণযোগ্য।

উদাহরণ 1.

নিম্নোক্ত রুপ Р(x)= x 2 + x + 41 এর একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনমিক বিবেচনা করুন, যেটির প্রতি লিওনার্ড অয়লার মনোযোগ দিয়েছেন।

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9) = 131, P(10) = 151।

আমরা দেখতে পাই যে প্রতিবারই ত্রিনয়কের মান একটি মৌলিক সংখ্যা। প্রাপ্ত ফলাফলের উপর ভিত্তি করে, আমরা দৃঢ়ভাবে দাবি করি যে বিবেচনাধীন ত্রিনামিকে প্রতিস্থাপন করার সময়, x এর পরিবর্তে যেকোনো অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সর্বদা একটি মৌলিক সংখ্যায় পরিণত হয়।

যাইহোক, টানা উপসংহার নির্ভরযোগ্য বলে মনে করা যায় না। কি ব্যাপার? আসল বিষয়টি হ'ল যুক্তিতে, যে কোনও x সম্পর্কে সাধারণ বিবৃতিগুলি শুধুমাত্র এই ভিত্তিতে তৈরি করা হয় যে এই বিবৃতিটি x এর কিছু মানের জন্য সত্য বলে প্রমাণিত হয়েছে।

প্রকৃতপক্ষে, ত্রিকোণীয় P(x) নিবিড়ভাবে পরীক্ষা করলে, P(0), P(1), ..., P(39) সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যা, কিন্তু P(40) = 41 2 হল একটি যৌগিক সংখ্যা। এবং বেশ স্পষ্টভাবে: P(41) = 41 2 +41+41 হল 41 এর গুণিতক।

এই উদাহরণে, আমরা এমন একটি বিবৃতির সাথে দেখা করেছি যা 40টি বিশেষ ক্ষেত্রে সত্য এবং এখনও সাধারণভাবে অন্যায় বলে প্রমাণিত হয়েছে৷

আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

17 শতকে V.G. লিবনিজ প্রমাণ করেছিলেন যে কোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য, n 3 - n ফর্মের সংখ্যাগুলি 3-এর গুণিতক, n 5 - n হল 5-এর গুণিতক, n 7 - n হল 7-এর গুণিতক। এর উপর ভিত্তি করে, তিনি প্রস্তাব করেছিলেন যে কোনও বিজোড় k-এর জন্য এবং স্বাভাবিক n, সংখ্যাটি n k - n k এর গুণিতক, কিন্তু শীঘ্রই তিনি নিজেই লক্ষ্য করলেন যে 2 9 -2=510, যা স্পষ্টতই, 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

বিবেচিত উদাহরণগুলি আমাদের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার টানতে দেয়: একটি বিবৃতি বেশ কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে সত্য এবং একই সাথে সাধারণভাবে অন্যায় হতে পারে।

স্বাভাবিকভাবেই প্রশ্ন জাগে: একটি বিবৃতি রয়েছে যা বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে সত্য; সমস্ত বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা অসম্ভব; এই বিবৃতি আদৌ সত্য কিনা আপনি কিভাবে জানেন?

এই প্রশ্নটি কখনও কখনও গাণিতিক আবেশের পদ্ধতি নামে যুক্তির একটি বিশেষ পদ্ধতি প্রয়োগ করে সমাধান করা যেতে পারে। এই পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে গাণিতিক আনয়নের নীতি, নিম্নলিখিত উপসংহারে: বিবৃতিটি যেকোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য সত্য যদি:

এটি n = 1 এর জন্য বৈধ;

কিছু স্বেচ্ছাচারী প্রাকৃতিক n =k এর জন্য বিবৃতির বৈধতা থেকে, এটি অনুসরণ করে যে এটি n = k +1 এর জন্য সত্য।

প্রমাণ।

বিপরীত অনুমান, যে, বিবৃতি প্রতিটি প্রাকৃতিক n জন্য সত্য না হতে দিন. তারপর একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা m যেমন আছে

n = m এর বিবৃতিটি সত্য নয়,

সকলের জন্য n

এটা স্পষ্ট যে m >1, যেহেতু দাবীটি n =1 (শর্ত 1) এর জন্য সত্য। অতএব, m -1 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা m -1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য, কিন্তু পরবর্তী প্রাকৃতিক সংখ্যা m এর জন্য এটি সত্য নয়। এটি শর্তের বিরোধিতা করে 2। ফলাফলের দ্বন্দ্ব দেখায় যে অনুমানটি ভুল। অতএব, দাবীটি যেকোন প্রাকৃতিক n, h.e.d এর জন্য সত্য।

গাণিতিক আবেশের নীতির উপর ভিত্তি করে একটি প্রমাণকে গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি দ্বারা একটি প্রমাণ বলা হয়। দুটি স্বাধীন উপপাদ্যের প্রমাণ থেকে এই ধরনের প্রমাণ দুটি অংশ নিয়ে গঠিত হওয়া উচিত।

উপপাদ্য ঘ. বিবৃতিটি n =1 এর জন্য সত্য।

উপপাদ্য 2. বিবৃতিটি n =k +1-এর জন্য সত্য যদি এটি n=k-এর জন্য সত্য হয়, যেখানে k একটি নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা।

যদি এই দুটি উপপাদ্যই প্রমাণিত হয়, তাহলে, গাণিতিক আবেশের নীতির উপর ভিত্তি করে, বিবৃতিটি যেকোন ব্যক্তির জন্য সত্য
প্রাকৃতিক n.

এটি অবশ্যই জোর দেওয়া উচিত যে গাণিতিক আবেশ দ্বারা প্রমাণের জন্য অবশ্যই 1 এবং 2 উভয় উপপাদ্যের প্রমাণ প্রয়োজন। উপপাদ্য 2 এর অবহেলা ভুল সিদ্ধান্তের দিকে পরিচালিত করে (উদাহরণ 1-2)। থিওরেম 1 এর প্রমাণ কতটা প্রয়োজনীয় একটি উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

উদাহরণ 3. "উপাদ্য": প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এটি অনুসরণ করা প্রাকৃতিক সংখ্যার সমান।

প্রমাণ গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি দ্বারা বাহিত হবে.

ধরুন যে k =k +1 (1)।

আসুন প্রমাণ করি যে k +1=k +2 (2)। এটি করার জন্য, "সমতা" (1) এর প্রতিটি অংশে 1 যোগ করুন। আমরা "সমতা" (2) পাই। দেখা যাচ্ছে যে বিবৃতিটি যদি n =k এর জন্য সত্য হয়, তবে এটি n =k +1 ইত্যাদির জন্যও সত্য।

"তত্ত্ব" থেকে একটি সুস্পষ্ট "পরিণাম": সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা সমান।

ত্রুটিটি এই যে থিওরেম 1, যা গাণিতিক আবেশের নীতি প্রয়োগের জন্য প্রয়োজনীয়, প্রমাণিত হয়নি এবং এটি সত্য নয়, তবে শুধুমাত্র দ্বিতীয় উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 1 এবং 2 বিশেষ গুরুত্ব বহন করে।

উপপাদ্য 1 আনয়নের ভিত্তি তৈরি করে। উপপাদ্য 2 এই বেসের সীমাহীন স্বয়ংক্রিয় প্রসারণের অধিকার দেয়, এই বিশেষ ক্ষেত্রে থেকে পরবর্তীতে, n থেকে n + 1 পর্যন্ত যাওয়ার অধিকার দেয়।

যদি উপপাদ্য 1 প্রমাণিত না হয়, কিন্তু উপপাদ্য 2 প্রমাণিত হয়, তাহলে, তাই, আনয়নের ভিত্তি তৈরি করা হয়নি, এবং তারপরে উপপাদ্য 2 প্রয়োগ করার কোন মানে হয় না, যেহেতু বাস্তবে প্রসারিত করার কিছু নেই।

যদি উপপাদ্য 2 প্রমাণিত না হয়, এবং শুধুমাত্র উপপাদ্য 1 প্রমাণিত হয়, তবে, যদিও আবেশ পরিচালনার ভিত্তি তৈরি করা হয়েছে, এই ভিত্তিটি প্রসারিত করার অধিকার অনুপস্থিত।

মন্তব্য.

কখনও কখনও প্রমাণের দ্বিতীয় অংশটি শুধুমাত্র n =k এর জন্য নয়, n =k -1 এর জন্যও বিবৃতির বৈধতার উপর ভিত্তি করে। এই ক্ষেত্রে, প্রথম অংশের বিবৃতিটি n এর পরবর্তী দুটি মানের জন্য পরীক্ষা করা আবশ্যক।

কখনও কখনও বিবৃতিটি কোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য নয়, n > m এর জন্য প্রমাণিত হয়, যেখানে m কিছু পূর্ণসংখ্যা। এই ক্ষেত্রে, প্রমাণের প্রথম অংশে, দাবিটি n =m +1-এর জন্য এবং প্রয়োজনে n-এর পরবর্তী মানের জন্য যাচাই করা হয়।

যা বলা হয়েছে তার সংক্ষিপ্তসারে, আমাদের আছে: গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি, একটি সাধারণ আইনের সন্ধানে, এই ক্ষেত্রে উদ্ভূত অনুমানগুলি পরীক্ষা করার, মিথ্যাগুলিকে বাতিল করে এবং সত্যগুলিকে জোরদার করার অনুমতি দেয়।

প্রত্যেকেরই অভিজ্ঞতামূলক, পরীক্ষামূলক বিজ্ঞানের জন্য পৃথক পর্যবেক্ষণ এবং পরীক্ষা-নিরীক্ষার ফলাফলগুলিকে সাধারণীকরণের প্রক্রিয়াগুলির ভূমিকা জানে। অন্যদিকে, গণিতকে দীর্ঘকাল ধরে বিশুদ্ধভাবে ডিডাক্টিভ পদ্ধতির প্রয়োগের একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে, কারণ এটি সর্বদা স্পষ্টভাবে বা অস্পষ্টভাবে ধরে নেওয়া হয় যে সমস্ত গাণিতিক প্রস্তাবনা (প্রাথমিক হিসাবে গৃহীত - স্বতঃসিদ্ধগুলি ব্যতীত) প্রমাণিত হয়, এবং নির্দিষ্ট প্রয়োগগুলি এই প্রস্তাবগুলি সাধারণ ক্ষেত্রে (ডিডাকশন) এর জন্য উপযুক্ত প্রমাণ থেকে প্রাপ্ত।

গণিতে আবেশ মানে কি? এটিকে কি যথেষ্ট নির্ভরযোগ্য নয় পদ্ধতি হিসাবে বোঝা উচিত এবং এই জাতীয় প্রবর্তক পদ্ধতির নির্ভরযোগ্যতার জন্য একটি মানদণ্ড কীভাবে সন্ধান করা যায়? অথবা পরীক্ষামূলক বিজ্ঞানের পরীক্ষামূলক সাধারণীকরণের মতো একই প্রকৃতির গাণিতিক উপসংহারের নিশ্চিততা, যে কোনও প্রমাণিত সত্যকে "যাচাই" করা খারাপ হবে না? প্রকৃতপক্ষে, এই ঘটনা না।

একটি অনুমানের উপর আবেশ (নির্দেশনা) গণিতে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কিন্তু বিশুদ্ধভাবে হিউরিস্টিক ভূমিকা পালন করে: এটি সমাধানটি কী হওয়া উচিত তা অনুমান করতে দেয়। কিন্তু গাণিতিক প্রস্তাবনা শুধুমাত্র deductively প্রতিষ্ঠিত হয়. এবং গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিটি প্রমাণের একটি বিশুদ্ধভাবে ডিডাক্টিভ পদ্ধতি। প্রকৃতপক্ষে, এই পদ্ধতি দ্বারা সম্পাদিত প্রমাণ দুটি অংশ নিয়ে গঠিত:

তথাকথিত "ভিত্তি" - একটি (বা একাধিক) প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য পছন্দসই বাক্যের একটি অনুমাণমূলক প্রমাণ;

একটি সাধারণ বিবৃতির একটি অনুমাণমূলক প্রমাণ সমন্বিত একটি প্রবর্তক পদক্ষেপ। সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য উপপাদ্যটি সঠিকভাবে প্রমাণিত। প্রমাণিত ভিত্তি থেকে, উদাহরণস্বরূপ, 0 নম্বরের জন্য, আমরা পাই, আনয়ন ধাপের মাধ্যমে, 1 নম্বরের প্রমাণ, তারপর একইভাবে 2 এর জন্য, 3-এর জন্য ... - এবং তাই বিবৃতিটি ন্যায্য হতে পারে যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা।

অন্য কথায়, "গাণিতিক আনয়ন" নামটি এই কারণে যে এই পদ্ধতিটি কেবল আমাদের মনের মধ্যে প্রচলিত প্রবর্তক যুক্তির সাথে যুক্ত (সব পরে, ভিত্তিটি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়); প্রাকৃতিক এবং সামাজিক বিজ্ঞানের অভিজ্ঞতার উপর ভিত্তি করে প্রবর্তক যুক্তির যুক্তির মানদণ্ডের বিপরীতে প্রবর্তক পদক্ষেপ হল একটি সাধারণ বিবৃতি যার কোনো বিশেষ ভিত্তির প্রয়োজন নেই এবং ডিডাক্টিভ যুক্তির কঠোর নিয়ম অনুসারে প্রমাণিত হয়। অতএব, গাণিতিক আবেশকে "সম্পূর্ণ" বা "নিখুঁত" বলা হয়, যেহেতু এটি প্রমাণের একটি অনুমাণমূলক, সম্পূর্ণ নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি।

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

বীজগণিত মধ্যে আনয়ন

বীজগণিতীয় সমস্যার কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন, সেইসাথে বিভিন্ন অসমতার প্রমাণ যা গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

কার্যক্রম 1. যোগফলের সূত্র অনুমান করুন এবং এটি প্রমাণ করুন।

কিন্তু( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 ।

সমাধান।

1. А(n) যোগফলের জন্য অভিব্যক্তিটি রূপান্তর করা যাক:

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), যেখানে B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n) = 1 2 + 2 2 + …+ n 2।

2. C (n) এবং B (n) যোগফল বিবেচনা করুন।

ক) গ( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিতে প্রায়শই সম্মুখীন হওয়া সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল প্রমাণ করা যে কোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য সমতা

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

অনুমান করুন যে (1) সমস্ত n এর জন্য সত্য  এন.

খ ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 । আসুন লক্ষ্য করি কিভাবে n এর উপর নির্ভর করে B(n) এর মান পরিবর্তিত হয়।

B(1) = 1 3 = 1।

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

সুতরাং, এটি অনুমান করা যেতে পারে
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) ফলস্বরূপ, যোগফল А(n) এর জন্য আমরা পাই

কিন্তু( n) ==

= (*)

3. গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত সূত্র (*) প্রমাণ করা যাক।

ক) n = 1 এর জন্য সমতা (*) পরীক্ষা করুন।

A(1) = 2  =2,

স্পষ্টতই, সূত্র (*) n = 1 এর জন্য সত্য।

খ) ধরুন যে সূত্র (*) n=k এর জন্য সত্য, যেখানে k N, অর্থাৎ সমতা

A(k)=

অনুমানের উপর ভিত্তি করে, আমরা n =k +1 এর সূত্রটির বৈধতা প্রমাণ করব। সত্যিই,

A(k+1)=

যেহেতু সূত্র (*) n =1 এর জন্য সত্য, এবং অনুমান থেকে যে এটি কিছু প্রাকৃতিক k এর জন্য সত্য, এটি অনুসরণ করে যে এটি n =k +1 এর জন্য সত্য, গাণিতিক আবেশের নীতির উপর ভিত্তি করে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে সমতা

যে কোনো প্রাকৃতিক n জন্য ধারণ করে।

টাস্ক 2।

যোগফল 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n গণনা করুন।

সমাধান।

চলুন আমরা পর পর n এর বিভিন্ন মানের জন্য যোগফলের মান লিখি।

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3।

প্যাটার্নটি পর্যবেক্ষণ করে, আমরা অনুমান করতে পারি যে A (n)= - এমনকি n এবং A (n)= এর জন্য
বিজোড় n জন্য. আসুন উভয় ফলাফলকে একটি একক সূত্রে একত্রিত করি:

A(n) =
, যেখানে r হল n কে 2 দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ।

এবং r , স্পষ্টতই নিম্নলিখিত নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়

0 যদি n সমান,

r=

1 যদি n বিজোড়।

তারপর r(অনুমান করা যেতে পারে) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

অবশেষে আমরা A(n) এর সূত্র পাই:

A(n)=

(*)

আসুন সকলের জন্য সমতা (*) প্রমাণ করি  এন গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি।

2. ক) n =1 এর জন্য সমতা (*) পরীক্ষা করুন। A(1) = 1=

সমতা ন্যায্য

খ) ধরা যাক সমতা

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

এ সত্য n=k আসুন প্রমাণ করি যে এটি n =k + 1 এর জন্যও বৈধ।

A(k+1)=

প্রকৃতপক্ষে,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

বিভাজ্য সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক আবেশ পদ্ধতিও ব্যবহার করা হয়।

টাস্ক 3।

প্রমাণ করুন যে N(n)=n 3 + 5n সংখ্যাটি যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য 6 দ্বারা বিভাজ্য।

প্রমাণ।

এ n =1 সংখ্যাটি N (1)=6 এবং তাই বিবৃতিটি সত্য।

কিছু স্বাভাবিক k এর জন্য N (k )=k 3 +5k সংখ্যাটিকে 6 দ্বারা বিভাজ্য করা যাক। আসুন প্রমাণ করি যে N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) 6 দ্বারা বিভাজ্য। প্রকৃতপক্ষে, আমরা আছে
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k)+3k (k +1)+6.

কারন k এবং k +1 হল সংলগ্ন প্রাকৃতিক সংখ্যা, তারপর তাদের মধ্যে একটি অগত্যা জোড়, তাই 3k (k +1) রাশিটি 6 দ্বারা বিভাজ্য। এইভাবে, আমরা পাই যে N (k +1)ও 6 দ্বারা বিভাজ্য। আউটপুট সংখ্যা N (n)=n 3 + 5n যেকোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য 6 দ্বারা বিভাজ্য।

একটি আরও জটিল বিভাজ্যতা সমস্যার সমাধান বিবেচনা করুন, যখন সম্পূর্ণ গাণিতিক আবেশ পদ্ধতিটি কয়েকবার প্রয়োগ করতে হবে।

টাস্ক 4।

যে কোনো প্রাকৃতিক n সংখ্যার জন্য প্রমাণ করুন
এমনকি 2 n +3 দ্বারাও বিভাজ্য নয়।

প্রমাণ।

কল্পনা করুন
একটি কাজের আকারে
=

= (*)

অনুমান অনুসারে, (*) এর প্রথম গুণনীয়কটি সংখ্যা 2 k +3 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য নয়, অর্থাৎ একটি যৌগিক সংখ্যার উপস্থাপনায়
মৌলিক সংখ্যার গুণফলের আকারে, 2 সংখ্যাটি (k + 2) বারের বেশি পুনরাবৃত্তি হয় না। তাই সংখ্যাটি প্রমাণ করতে হবে
2 k +4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, আমাদের তা প্রমাণ করতে হবে
4 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

এই দাবীটি প্রমাণ করার জন্য, আমরা একটি সহায়ক দাবী প্রমাণ করি: যেকোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য, 3 2 n +1 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। n =1 এর জন্য, দাবীটি সুস্পষ্ট, যেহেতু 10 অবশিষ্টাংশ ছাড়া 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। ধরে নিলাম যে 3 2 k +1 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, আমরা প্রমাণ করি যে 3 2(k +1) +1ও বিভাজ্য নয়
4 দ্বারা। শেষ রাশিটিকে যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যাক:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k। যোগফলের দ্বিতীয় পদটি 4 দ্বারা বিভাজ্য, তবে প্রথমটি বিভাজ্য নয়। অতএব, অবশিষ্টাংশ ছাড়া পুরো যোগফল 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। সহায়ক বক্তব্য প্রমাণিত হয়।

এখন এটা পরিষ্কার
4 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ 2k একটি জোড় সংখ্যা।

অবশেষে, আমরা যে সংখ্যা পেতে
কোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য 2 n +3 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য নয়।

এখন বৈষম্যের প্রমাণে আনয়ন প্রয়োগের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

টাস্ক 5।

কোন প্রাকৃতিক n এর জন্য অসমতা 2 n > 2n + 1 সত্য?

সমাধান।

1. কখন n=1 2 1< 2*1+1,

এ n=2 2 2< 2*2+1,

এ n =3 2 3 > 2*3+1,

এ n =4 2 4 > 2*4+1।

দৃশ্যত, অসমতা কোনো প্রাকৃতিক n জন্য বৈধ  3. আসুন এই দাবি প্রমাণ করি।

2. কখন n =3 অসমতার বৈধতা ইতিমধ্যেই দেখানো হয়েছে। এখন অসমতা n =k এর জন্য বৈধ হতে দিন, যেখানে k হল কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা 3 এর কম নয়, যেমন

2 k > 2k+1 (*)

আসুন প্রমাণ করি যে তাহলে অসমতা n =k +1 এর জন্যও বৈধ, অর্থাৎ 2 k +1 >2(k +1)+1। (*) 2 দিয়ে গুণ করলে আমরা 2 k +1 > 4k +2 পাব। আসুন 2(k +1)+1 এবং 4k +2 অভিব্যক্তির তুলনা করি।

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1। স্পষ্টতই, যেকোনো প্রাকৃতিক k-এর জন্য 2k -1>0। তারপর 4k +2>2(k +1)+1, অর্থাৎ 2k+1 >2(k+1)+1। দাবী প্রমাণিত হয়েছে।

টাস্ক 6।

n নন-নেতিবাচক সংখ্যার পাটিগণিত গড় এবং জ্যামিতিক গড় (কচির অসমতা) জন্য অসমতা।, আমরা পাই =

অন্তত একটি সংখ্যা হলে
শূন্যের সমান, তাহলে অসমতা (**)ও বৈধ।

উপসংহার।

কাজটি করার সময়, আমি গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির সারাংশ এবং এর প্রমাণ অধ্যয়ন করেছি। কাগজটি এমন সমস্যাগুলি উপস্থাপন করে যেখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা অসম্পূর্ণ আনয়ন দ্বারা পরিচালিত হয়েছিল, যা বাড়ে সঠিক সিদ্ধান্ত, এবং তারপর গাণিতিক আবেশন পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত প্রমাণ বাহিত হয়.

সাহিত্য।

বোল্টিয়ানস্কি ভিজি, সিডোরভ ইউ.ভি., শাবুরিন এম.আই. প্রাথমিক গণিতের বক্তৃতা এবং সমস্যা; বিজ্ঞান, 1974।

ভিলেনকিন এন ইয়া। , Shvartsburd S.I. গাণিতিক বিশ্লেষণ।-
এম.: শিক্ষা, 1973।

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণ কোর্সের গভীরভাবে অধ্যয়ন। - এম.: শিক্ষা, 1990।

পোটাপভ এম.কে., আলেকসান্দ্রভ ভি.ভি., পাসিচেঙ্কো পি.আই. বীজগণিত এবং প্রাথমিক ফাংশন বিশ্লেষণ।- এম.: নাউকা, 1980।

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. গাণিতিক আবেশে। - এম.: নাউকা, 1967।

যদি A(n) বাক্যটি, যা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n এর উপর নির্ভর করে, n=1 এর জন্য সত্য হয়, এবং সত্য যে এটি n=k (যেখানে k যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা) এর জন্য সত্য হয়, তাহলে এটি অনুসরণ করে যে এটিও পরবর্তী সংখ্যা n=k +1 এর জন্য সত্য, তাহলে অনুমান A(n) যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা n এর জন্য সত্য।

অনেক ক্ষেত্রে, সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য নয়, শুধুমাত্র n>p এর জন্য একটি নির্দিষ্ট বিবৃতির বৈধতা প্রমাণ করার প্রয়োজন হতে পারে, যেখানে p একটি নির্দিষ্ট প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই ক্ষেত্রে, গাণিতিক আনয়নের নীতিটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়।

যদি প্রস্তাব A(n) n=p এর জন্য সত্য হয় এবং A(k) X A(k+1) কোনো k>p এর জন্য, তাহলে A(n) কোনো n>p এর জন্য সত্য।

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ নিম্নরূপ বাহিত হয়. প্রথমত, দাবীটি n=1 এর জন্য পরীক্ষা করা হয়, অর্থাৎ, A(1) বিবৃতির সত্যতা প্রতিষ্ঠিত। প্রমাণের এই অংশটিকে ইন্ডাকশন ভিত্তি বলা হয়। এটি প্রমাণের একটি অংশ দ্বারা অনুসরণ করা হয় যাকে ইন্ডাকশন ধাপ বলা হয়। এই অংশে, n=k+1-এর জন্য বিবৃতির বৈধতা এই অনুমানে প্রমাণিত হয় যে বিবৃতিটি n=k (আবরণীয় অনুমান) এর জন্য সত্য। প্রমাণ করুন যে A(k) ~ A(k+1)

প্রমাণ কর যে 1+3+5+…+(2n-1)=n 2।

• 1) আমাদের n=1=1 2 আছে। অতএব, বিবৃতিটি n=1 এর জন্য সত্য, অর্থাৎ A(1) সত্য
• 2) আসুন প্রমাণ করি যে A(k) ~ A(k+1)

k কে যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা ধরা যাক এবং n=k এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হোক, যেমন

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

আসুন আমরা প্রমাণ করি যে পরবর্তী প্রাকৃতিক সংখ্যা n=k+1 এর জন্যও দাবীটি সত্য। কি

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 প্রকৃতপক্ষে,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

সুতরাং, A(k) X A(k+1)। গাণিতিক আনয়নের নীতির উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে A(n) অনুমানটি যে কোনো n О N এর জন্য সত্য

প্রমাণ কর যে

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), যেখানে x নং 1

• 1) n=1 এর জন্য আমরা পাই
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

সুতরাং, n=1 এর জন্য সূত্রটি সত্য; A(1) সত্য

• 2) k যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা হোক এবং সূত্রটিকে n=k এর জন্য সত্য হোক,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

তাহলে প্রমাণ করা যাক সাম্য

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) প্রকৃতপক্ষে
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

সুতরাং A(k) ⋅ A(k+1)। গাণিতিক আনয়নের নীতির উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে সূত্রটি যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য সত্য

প্রমাণ করুন যে একটি উত্তল n-gon এর কর্ণের সংখ্যা n(n-3)/2

সমাধান: 1) n=3 এর জন্য, বিবৃতিটি সত্য, কারণ ত্রিভুজে

A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 কর্ণ; A 2 A(3) সত্য

2) ধরুন যে কোন উত্তল k-gon-এ A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 টি কর্ণ আছে। A k এবার প্রমাণ করা যাক যে একটি উত্তল A k+1 (k+1)-এ কর্ণের সংখ্যা A k+1 =(k+1)(k-2)/2।

ধরা যাক А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -উত্তল (k+1)-gon। এর মধ্যে একটি তির্যক A 1 A k আঁকি। গণনা করা মোট সংখ্যাএর কর্ণ (k + 1)-gon, আপনাকে k-gon A 1 A 2 ...A k-তে কর্ণের সংখ্যা গণনা করতে হবে, ফলাফলের সংখ্যার সাথে k-2 যোগ করুন, যেমন A k+1 শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত (k+1)-গনের কর্ণের সংখ্যা, এবং উপরন্তু, একটি কর্ণ A 1 A k বিবেচনা করা উচিত

এইভাবে,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

সুতরাং A(k) ⋅ A(k+1)। গাণিতিক আনয়নের নীতির কারণে, বিবৃতিটি যেকোনো উত্তল n-gon-এর জন্য সত্য।

প্রমাণ করুন যে কোনো n বিবৃতি সত্য:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

সমাধান: 1) ধরুন n=1, তারপর

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) অনুমান করুন যে n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1-এর জন্য এই বিবৃতিটি বিবেচনা করুন

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

আমরা n=k+1 এর জন্য সমতার বৈধতা প্রমাণ করেছি, তাই, গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির ভিত্তিতে, বিবৃতিটি যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য সত্য।

প্রমাণ করুন যে কোনো প্রাকৃতিক n সমতা সত্য:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

সমাধান: 1) ধরুন n=1

তারপর X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে n=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য।

2) অনুমান করুন যে সমতা n=k এর জন্য সত্য

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) আসুন n=k+1 এর জন্য এই বক্তব্যের সত্যতা প্রমাণ করি, অর্থাৎ

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4। X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

উপরের প্রমাণ থেকে দেখা যায় যে বিবৃতিটি n=k+1-এর জন্য সত্য, তাই, সমতা যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য সত্য।

প্রমাণ কর যে

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), যেখানে n>2

সমাধান: 1) n=2 এর জন্য, পরিচয়টি এরকম দেখায়:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. এটা সত্য
• 2) অনুমান করুন যে রাশিটি n=k এর জন্য সত্য
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
• 3) আমরা n=k+1 এর জন্য রাশিটির সঠিকতা প্রমাণ করব
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

আমরা n=k+1 এর জন্য সমতার বৈধতা প্রমাণ করেছি, তাই, গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির ভিত্তিতে, বিবৃতিটি যেকোনো n>2-এর জন্য সত্য।

প্রমাণ কর যে

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) যেকোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য

সমাধান: 1) ধরুন n=1, তারপর

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) অনুমান করুন যে n=k তারপর
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) আমরা n=k+1 এর জন্য এই বক্তব্যের সত্যতা প্রমাণ করব
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1-এর জন্য সমতার বৈধতাও প্রমাণিত, তাই বিবৃতিটি যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য সত্য।

পরিচয়ের বৈধতা প্রমাণ করুন

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) কোন প্রাকৃতিক n জন্য

• 1) n=1 এর জন্য পরিচয়টি সত্য 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) অনুমান করুন যে n=k এর জন্য
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) আমরা প্রমাণ করি যে পরিচয়টি n=k+1 এর জন্য সত্য
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

উপরোক্ত প্রমাণ থেকে দেখা যায় যে দাবিটি যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য সত্য।

প্রমাণ করুন যে (11 n+2 +12 2n+1) অবশিষ্ট ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য

সমাধান: 1) ধরুন n=1, তারপর

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

কিন্তু (23 ґ 133) একটি অবশিষ্ট ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য, তাই n=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য; A(1) সত্য।

• 2) অনুমান করুন যে (11 k+2 +12 2k+1) অবশিষ্টাংশ ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য
• 3) আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে (11 k+3 +12 2k+3) একটি অবশিষ্ট ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য। প্রকৃতপক্ষে
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

ফলের রাশিটি একটি অবশিষ্ট ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য, যেহেতু এর প্রথম পদটি অনুমান দ্বারা একটি অবশিষ্ট ছাড়া 133 দ্বারা বিভাজ্য, এবং দ্বিতীয়টিতে 133 গুণনীয়ক। সুতরাং, A (k) Yu A (k + 1)। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, দাবী প্রমাণিত হয়

প্রমাণ করুন যে কোনো n 7 এর জন্য n -1 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য

• 1) ধরুন n=1, তারপর X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 কে 6 দিয়ে ভাগ করা হবে একটি অবশিষ্ট ছাড়া। সুতরাং n=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য
• 2) ধরুন যে n \u003d k 7 k -1 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য
• 3) আসুন প্রমাণ করি যে বিবৃতিটি n=k+1 এর জন্য সত্য

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

প্রথম পদটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, যেহেতু 7 k -1 অনুমান দ্বারা 6 দ্বারা বিভাজ্য, এবং দ্বিতীয় পদটি 6। সুতরাং 7 n -1 হল যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য 6-এর গুণিতক। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, দাবী প্রমাণিত হয়।

প্রমাণ করুন যে একটি নির্বিচারে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য 3 3n-1 +2 4n-3 11 দ্বারা বিভাজ্য।

1) তাহলে n=1 ধরুন

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 11 দ্বারা ভাগ করা হয়।

সুতরাং n=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য

• 2) ধরুন যে n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 এর জন্য অবশিষ্টাংশ ছাড়া 11 দ্বারা বিভাজ্য
• 3) আমরা প্রমাণ করি যে বিবৃতিটি n=k+1 এর জন্য সত্য

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

প্রথম পদটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া 11 দ্বারা বিভাজ্য, যেহেতু 3 3k-1 +2 4k-3 অনুমান দ্বারা 11 দ্বারা বিভাজ্য, দ্বিতীয়টি 11 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ এর একটি গুণনীয়ক হল 11 নম্বর৷ তাই, যোগফল হল এছাড়াও 11 দ্বারা বিভাজ্য কোন প্রাকৃতিক n জন্য একটি অবশিষ্ট ছাড়া. গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, দাবী প্রমাণিত হয়।

প্রমাণ করুন যে 11 2n -1 একটি নির্বিচারে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য

• 1) ধরুন n=1, তারপর 11 2 -1=120 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং n=1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য
• 2) ধরুন যে n=k 1 2k -1 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

উভয় পদই অবশিষ্টাংশ ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য: প্রথমটিতে 6 সংখ্যা 120 এর গুণিতক রয়েছে, এবং দ্বিতীয়টি অনুমান দ্বারা একটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং যোগফলটি অবশিষ্ট ছাড়া 6 দ্বারা বিভাজ্য। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, দাবী প্রমাণিত হয়।

প্রমাণ করুন যে একটি নির্বিচারে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য 3 3n+3 -26n-27 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 26 2 (676) দ্বারা বিভাজ্য।

আসুন প্রথমে প্রমাণ করি যে 3 3n+3 -1 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 26 দ্বারা বিভাজ্য

• 1. যখন n=0
• 3 3 -1=26 26 দ্বারা বিভাজ্য
• 2. ধরুন n=k এর জন্য
• 3 3k+3 -1 26 দ্বারা বিভাজ্য
• 3. আসুন প্রমাণ করি যে বিবৃতিটি n=k+1 এর জন্য সত্য
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 দ্বারা বিভাজ্য

আসুন এখন সমস্যার শর্তে প্রণীত দাবীটি প্রমাণ করি

• 1) এটা স্পষ্ট যে n=1-এর জন্য বিবৃতিটি সত্য
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) ধরুন n=k-এর জন্য 3 3k+3 -26k-27 রাশিটি 26 2 দ্বারা বিভাজ্য একটি অবশিষ্ট ছাড়াই
• 3) আসুন প্রমাণ করি যে বিবৃতিটি n=k+1 এর জন্য সত্য
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

উভয় পদই 26 2 দ্বারা বিভাজ্য; প্রথমটি 26 2 দ্বারা বিভাজ্য কারণ আমরা প্রমাণ করেছি যে বন্ধনীর রাশিটি 26 দ্বারা বিভাজ্য, এবং দ্বিতীয়টি প্রবর্তক অনুমান দ্বারা বিভাজ্য। গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, দাবী প্রমাণিত হয়

প্রমাণ করুন যে যদি n>2 এবং х>0 হয়, তাহলে অসমতা (1+х) n >1+n ґ х

• 1) n=2 এর জন্য, অসমতা সত্য, যেহেতু
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

সুতরাং A(2) সত্য

• 2) আসুন প্রমাণ করি যে A(k) ⋅ A(k+1) যদি k> 2. ধরে নিই যে A(k) সত্য, অর্থাৎ অসমতা
• (1+х) k >1+k ґ x। (৩)

আসুন প্রমাণ করি যে তাহলে A(k+1)ও সত্য, অর্থাৎ অসমতা

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

প্রকৃতপক্ষে, অসমতার উভয় দিককে (3) একটি ধনাত্মক সংখ্যা 1+x দ্বারা গুণ করলে আমরা পাই

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

শেষ অসমতার ডান দিক বিবেচনা করুন; আমাদের আছে

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

সুতরাং A(k) ⋅ A(k+1)। গাণিতিক আনয়নের নীতির উপর ভিত্তি করে, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে বার্নউলির অসমতা যেকোনো n> 2 এর জন্য বৈধ

প্রমাণ করুন যে অসমতা (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 a> 0 এর জন্য সত্য

সমাধান: 1) m=1 এর জন্য

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 উভয় অংশই সমান
• 2) অনুমান করুন যে m=k এর জন্য
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) আসুন প্রমাণ করি যে m=k+1-এর জন্য অ-সমতা সত্য
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

আমরা m=k+1 এর জন্য অসমতার বৈধতা প্রমাণ করেছি, তাই, গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির কারণে, অসমতা যেকোনো প্রাকৃতিক m-এর জন্য বৈধ।

প্রমাণ কর যে n>6 এর জন্য অসমতা 3 n > n ґ 2 n+1

আসুন অসমতাকে (3/2) n >2n আকারে আবার লিখি

• 1. n=7 এর জন্য আমাদের আছে 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 অসমতা সত্য
• 2. ধরুন n=k (3/2) k >2k এর জন্য
• 3) আসুন n=k+1 এর জন্য অসমতার বৈধতা প্রমাণ করি
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 থেকে, শেষ অসমতা স্পষ্ট।

গাণিতিক আবেশ পদ্ধতির কারণে, অসমতা যেকোনো প্রাকৃতিক n-এর জন্য বৈধ

n>2 অসমতার জন্য প্রমাণ কর

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 এর জন্য অসমতা সত্য
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. ধরুন n=k এর জন্য
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
• 3) আসুন n=k+1 এর জন্য অসমতার বৈধতা প্রমাণ করি
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

আসুন প্রমাণ করি যে 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

পরেরটি সুস্পষ্ট, এবং তাই

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতির দ্বারা, অসমতা প্রমাণিত হয়।